精品解析：山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高一上学期质量检测一数学试题

高一数学质量检测一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 2. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】选项A：是奇函数，不满足题意； 选项B：令，定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以既是周期函数又是偶函数，满足题意； 选项C：画出的图象如图所示， 则不是周期函数，不满足题意； 选项D：令，则， 所以不是偶函数，不满足题意； 故选：B 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角函数之间关系即可求的结果. 【详解】因为，所以，又， 联立上述式子,又，所以， 解得,，故 故选：A 4. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（ ） A. 960 B. 480 C. 320 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】易知，根据题意可知扇面的面积为. 故选：B 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求定义域，再判断函数奇偶性，最后根据函数值的正负确定选项. 【详解】由得，故函数定义域为，关于原点对称. 设，则， ∴为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除选项B、D. 当时，，故，选项C错误. 故选：A 6. 下述正确的是（ ） A. 若为第四象限角，则 B. 若，则 C. 若的终边为第三象限平分线，则 D. “”是“”的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，算出的范围即可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可 【详解】对于A，若为第四象限角，根据三角函数定义可得，故A不正确； 对于B，若，则，故B不正确； 对于C，若的终边为第三象限平分线，则，此时，故C不正确； 对于D，由可得，即，满足充分性； 由可得，所以，满足必要性，故D正确. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再利用诱导公式和二倍角公式转化求值即可. 【详解】由题意， 得：，即． 故． 故选：A. 8. 已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用三角恒等变换化简函数式，结合余弦型函数的周期性及已知区间和零点个数有，即可求参数范围. 【详解】由 ， 又，则， 函数在上恰有2个零点，即在上有2个解， 所以，解得． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立. 【详解】已知函数， 由于，所以点是图象的一个对称中心，A选项正确； 由于，是函数最值，所以直线是图象的一条对称轴，B选项正确； 由于时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； 由于，D选项错误. 故选：AB. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是以为周期的函数 C. 的图象关于直线对称 D. 时，的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B，判断是否成立即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，可得时，单调递增，由此即可得解. 【详解】对于A ，的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，， 即不是以为周期的函数，故B错误； 对于C，， ， ，即的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，时，均单调递增函数， 则此时也单调递增， 所以时，单调递增，其最大值为，故D正确． 故选：AD． 11. 已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期函数 D. ，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法及函数奇偶性、周期性的定义、单调性一一判断选项即可． 【详解】令，则，所以，故A正确； 令，则， 所以，故是奇函数，故B错误； 令，则， 所以， 由B知是奇函数，所以， 所以是周期函数，故C正确； 当时，得， 则， 所以， 即，即，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两边平方可求，判断的象限，再结合同角关系求结论. 【详解】由两边平方可得， 又， 所以，又， 所以，故， 又， 所以 故答案为：. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值. 【详解】∵函数的图象关于直线对称， ∴对任意的，有，则，即， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：0． 14. 已知函数，则______；若在上恒成立，则整数的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用分段函数性质计算即可得空一；由题意画出函数图象，并可得函数满足，可得当时，有或，使得，即可得时，恒成立，从而可得空二. 【详解】因，所以， 因为， 所以， 图象如图： 则， 当时，； 当时，或， 当时，， 所以时，恒成立，整数的最小值为． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【小问1详解】 由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点， 则点到原点的距离， 则； 【小问2详解】 ． 16. 已知函数的最小正周期为的一个零点是． （1）求的解析式； （2）当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）借助正弦型函数的周期可得，再结合零点可得，即可得的解析式； （2）结合正弦型函数图象，可得，解出即可得. 【小问1详解】 由题知，又，所以， 又因为，所以， 即：，又，则， 所以； 【小问2详解】 因为， 令， 因为在上的最小值为，如图： 可知须使，解得， 所以的取值范围是． 17. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． 【小问2详解】 解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 18. 如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米） （1）若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； （2）求S最小值． 【答案】（1） （2）1400平方米 【解析】 【分析】（1）由题意用的三角函数表示出，的长，即可求得答案； （2）将化简，利用三角代换，即令，即可将转化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 延长FG交AB于H， 则米，米， 则米，米， 故． 【小问2详解】 由（1）得：． 令，则． 因为， 所以． 所以， 因为， 所以当时，． 即当时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米． 19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”． （1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； （2）证明：函数在上为“伴和函数”； （3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义得到，利用判别式判断是否存在实根，即可得结论； （2）根据已知可得，令并应用零点存在定理判断零点的存在性，即可证结论； （3）根据题设有，令，问题化为有解，结合对勾函数性质求参数范围. 【小问1详解】 不存在，理由如下： 若，则，整理得， 因为，该方程无实数解， 所以不存在实数，使得函数为“伴和函数”； 【小问2详解】 若函数在上为“伴和函数”，则， 得，整理得， 设， 因为在内连续，且，则， 所以在内存在零点，所以在内存在零点， 即方程在内存在实根， 故在上为“伴和函数”． 【小问3详解】 若函数在上为“1伴和函数”，则， 即， 整理得， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：根据函数新定义，应用方程法、零点存在性定理及函数在给定区间内有解求解证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学质量检测一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则值为（ ） A. B. C. D. 4. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（ ） A. 960 B. 480 C. 320 D. 240 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C D. 6. 下述正确的是（ ） A. 若为第四象限角，则 B. 若，则 C. 若的终边为第三象限平分线，则 D. “”是“”的充要条件 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 上单调递增 D. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是以为周期的函数 C. 的图象关于直线对称 D. 时，的最大值为 11. 已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数偶函数 C. 函数是周期函数 D. ，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则______． 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为______． 14. 已知函数，则______；若在上恒成立，则整数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求值． 16. 已知函数的最小正周期为的一个零点是． （1）求的解析式； （2）当时，的最小值为，求的取值范围． 17. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米） （1）若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； （2）求S的最小值． 19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”． （1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； （2）证明：函数在上为“伴和函数”； （3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $