4.3 探究三角形全等的条件 同步个性化分层作业2024-2025学年 北师大版（2024）七年级数学下册（中等生篇）

4.3 探究三角形全等的条件 同步个性化分层作业 2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级（中等生篇） 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•市中区校级期末）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于D，若CB＝CD，且∠1＝30°，AC＝2，则AD的长为（　　） A．1 B．4 C． D． 2．（2024秋•虹口区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝BF，BD＝CE，∠A＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．59° B．60° C．61° D．62° 3．（2024•河口区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 4．（2024秋•静安区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠ABC和∠DEF的关系为（　　） A．∠ABC＝∠DEF B．∠DEF＝2∠ABC C．∠ABC+90°＝∠DEF D．∠ABC+∠DEF＝180° 5．（2023秋•焦作期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．30 C．42 D．48 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•石景山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于点E．若DE＝DC，∠B＝40°，则∠CAD＝　 　°． 7．（2024秋•浦东新区校级期中）如图：已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D在边BC上，BF⊥AC分别交线段 DA、线段CA于点E、F，若BD＝8，∠BAD＝45°，AE＝2，那么DC的长是 　 　． 8．（2024•牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可） 9．（2024秋•西城区校级期中）如图，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为 　 　． 10．（2024秋•兴文县期中）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BE＝CD，∠B＝∠C，若AE＝4，BD＝3，则AC的长为 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•滨海新区期末）已知：如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，点F是AC中点．过点A作BC的平行线交DF的延长线于点E． （Ⅰ）求证：△AEF≌△CDF； （Ⅱ）若AE＝4，BC＝6，求BD的长． 12．（2024秋•海淀区期末）如图，E是AB上一点，CA＝CD，CB＝CE，∠BCE＝∠ACD． 求证：EC平分∠BED． 13．（2024秋•长沙期末）如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，连接BE，AD＝BD，BE＝AC． （1）求证：△BDE≌△ADC； （2）若AD＝4，S△ABC＝14，求线段DC和AE的长． 14．（2024•云梦县校级一模）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD． （1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB． 15．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，AD∥BC，点E是AB的中点，联结DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． （1）求证：AD＝BF； （2）当点G是FC的中点时，判断△FDC的形状． （中等生篇）2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级同步个性化分层作业4.3 探究三角形全等的条件 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 C A C D A 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•市中区校级期末）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于D，若CB＝CD，且∠1＝30°，AC＝2，则AD的长为（　　） A．1 B．4 C． D． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC，可得∠1＝∠CAD＝30°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠1＝∠CAD＝30°， ∴CDAC＝1，ADCD， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2．（2024秋•虹口区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝BF，BD＝CE，∠A＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．59° B．60° C．61° D．62° 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】由AB＝AC，∠A＝62°，求得∠B＝∠C＝59°，再证明△BDF≌△CED，得∠BFD＝∠CDE，则∠B＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝∠EDF＝59°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝62°， ∴∠B＝∠C（180°﹣62°）＝59°， 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∴180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF， ∴∠B＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF，∠EDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF， ∴∠B＝∠EDF＝59°， ∴∠EDF的度数为59°， 故选：A． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BDF≌△CED是解题的关键． 3．（2024•河口区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　） A．4 B．5 C．1 D．2 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】C 【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE＝EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEH＝∠BEC＝90°， ∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵在△HEA和△BEC中， ， ∴△HEA≌△BEC（AAS）， ∴AE＝EC＝4， 则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1． 故选：C． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．（2024秋•静安区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠ABC和∠DEF的关系为（　　） A．∠ABC＝∠DEF B．∠DEF＝2∠ABC C．∠ABC+90°＝∠DEF D．∠ABC+∠DEF＝180° 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】D 【分析】取小正方形的顶点G，连接EG、DG、AC，可证明△DEG≌△ABC，得∠DEG＝∠ABC，而∠DEG+∠DEF＝180°，则∠ABC+∠DEF＝180°，于是得到问的答案． 【解答】解：如图，取小正方形的顶点G，连接EG、DG、AC， ∵在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， ∴DG＝AC＝3，EG＝BC＝1，∠G＝∠ACB＝90°， 在△DEG和△ABC中， ， ∴△DEG≌△ABC（SAS）， ∴∠DEG＝∠ABC， ∵∠DEG+∠DEF＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， 故选：D． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，取小正方形的顶点G，证明△DEG≌△ABC是解题的关键． 5．（2023秋•焦作期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．30 C．42 D．48 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】A 【分析】由AAS可证△ABF≌△DEF，可得S△ABF＝S△DEF，即可求解． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABF和△DEF中， ， ∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴S△ABF＝S△DEF， ∴阴影部分的面积＝S△ACDAC•AD＝24， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•石景山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于点E．若DE＝DC，∠B＝40°，则∠CAD＝　25　°． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】25． 【分析】由∠C＝90°，∠B＝40°，求得∠BAC＝50°，再根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，则∠CAD＝∠EAD∠BAC＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝50°， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠AED＝90°， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠CAD＝∠EAD∠BAC＝25°， 故答案为：25． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键． 7．（2024秋•浦东新区校级期中）如图：已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D在边BC上，BF⊥AC分别交线段 DA、线段CA于点E、F，若BD＝8，∠BAD＝45°，AE＝2，那么DC的长是 　6　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】6． 【分析】首先根据已知得出∠EBD＝∠DAC，进而利用ASA得出△BDE≌△ADC，利用全等三角形的性质得出DC＝DE，进而得出DC＝BD﹣AE即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴BD＝AD， ∵AD⊥BC， ∴∠C+∠DAC＝90°， 同理：∠C+∠EBD＝90°， ∴∠EBD＝∠DAC， 在△BDE和△ADC中， ， ∴△BDE≌△ADC（ASA）， ∴BD＝AD＝8，DE＝DC， ∵DE＝AD﹣AE＝8﹣2＝6， ∴DC＝DE＝6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得出三角形全等的条件是解答此题的关键． 8．（2024•牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　DE＝EF　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可） 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；推理能力． 【答案】DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）． 【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【解答】解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE， ∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS）， 添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA）， 故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答． 9．（2024秋•西城区校级期中）如图，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为 　3　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】3． 【分析】根据题意得出∠DCA＝∠BCF＝∠AEF＝90°，再根据同角的余角相等得出∠ADC＝∠F，根据AAS证明△ADC≌△BFC（AAS），最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高， ∴∠DCA＝∠BCF＝∠AEF＝90°， ∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠EAF+∠F＝90° ∴∠ADC＝∠F， 在△ADC和△BFC中， ， ∴△ADC≌△BFC（AAS）， ∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝7﹣2＝5 ∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．（2024秋•兴文县期中）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BE＝CD，∠B＝∠C，若AE＝4，BD＝3，则AC的长为 　7　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】7． 【分析】由∠B＝∠C，∠A＝∠A，BE＝CD，根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，得AE＝AD＝4，AB＝AC，而BD＝3，所以AB＝AC＝7，于是得到问题的答案． 【解答】解：点D，E分别在线段AB，AC上，且BE＝CD，∠B＝∠C， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AD，AB＝AC， ∵AE＝4，BD＝3， ∴AD＝4， ∴AB＝AC＝AD+BD＝4+3＝7， ∴AC的长为7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABE≌△ACD是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•滨海新区期末）已知：如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，点F是AC中点．过点A作BC的平行线交DF的延长线于点E． （Ⅰ）求证：△AEF≌△CDF； （Ⅱ）若AE＝4，BC＝6，求BD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】（Ⅰ）证明见解答； （Ⅱ）BD的长为2． 【分析】（Ⅰ）由AE∥BC，得∠E＝∠CDF，而∠AFE＝∠CFD，AF＝CF，即可根据“AAS”证明△AEF≌△CDF； （Ⅱ）由全等三角形的性质得AE＝CD＝4，而BC＝6，所以BD＝BC﹣CD＝2． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AE∥BC， ∴∠E＝∠CDF， ∵点F是AC中点， ∴AF＝CF， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）． （Ⅱ）解：由（1）得△AEF≌△CDF， ∴AE＝CD， ∵AE＝4，BC＝6， ∴CD＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝6﹣4＝2， ∴BD的长为2． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠E＝∠CDF，AF＝CF，进而证明△AEF≌△CDF是解题的关键． 12．（2024秋•海淀区期末）如图，E是AB上一点，CA＝CD，CB＝CE，∠BCE＝∠ACD． 求证：EC平分∠BED． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】见解析． 【分析】证明△ABC≌△DEC（SAS），可推出结论． 【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠ECD， 在△ABC与DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠CED＝∠B， 又∵CB＝CE， ∴∠B＝∠CEB＝∠CED， ∴EC平分∠BED． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△DEC（SAS）是解题的关键． 13．（2024秋•长沙期末）如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，连接BE，AD＝BD，BE＝AC． （1）求证：△BDE≌△ADC； （2）若AD＝4，S△ABC＝14，求线段DC和AE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解答； （2）线段DC的长为3，线段AE的长为1． 【分析】（1）由AD是△ABC的高，得∠BDE＝∠ADC＝90°，而BE＝AC，BD＝AD，即可根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△ADC； （2）由AD＝4，S△ABC＝14，得S△ABC4BC＝14，AD＝BD＝4，求得BC＝7，则DC＝BC﹣BD＝3，由全等三角形的性质得DE＝DC＝3，则AE＝AD﹣DE＝1． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高，E是AD上一点， ∴AD⊥BC， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）． （2）解：∵AD＝4，S△ABC＝14， ∴S△ABC4BC＝14，AD＝BD＝4， ∴BC＝7， ∴DC＝BC﹣BD＝7﹣4＝3， 由（1）得Rt△BDE≌Rt△ADC， ∴DE＝DC＝3， ∴AE＝AD﹣DE＝4﹣3＝1， ∴线段DC的长为3，线段AE的长为1． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△BDE≌Rt△ADC是解题的关键． 14．（2024•云梦县校级一模）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD． （1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB． 【考点】作图—基本作图．版权所有 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的角平分线即可； （2）通过证明△ABP≌△ADP得到PB＝PD． 【解答】（1）解：如图，AP为所作； （2）证明：∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠DAP， 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴PB＝PD． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质． 15．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，AD∥BC，点E是AB的中点，联结DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF． （1）求证：AD＝BF； （2）当点G是FC的中点时，判断△FDC的形状． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）△FDC是直角三角形，理由见解答过程． 【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质即可得解； （2）连接EG，根据题意，结合全等三角形的性质得到GE⊥DF，GE是△FDC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出△FDC是直角三角形． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴AD＝BF； （2）解：△FDC是直角三角形，理由如下： 连接EG， ∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE， ∴∠GDF＝∠BFE， 由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE， 即GE为DF上的中线， ∴GE⊥DF， ∵点G是FC的中点，DE＝FE， ∴GE∥CD， ∴CD⊥DF， ∴△FDC是直角三角形． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用AAS证明△ADE≌△BFE是解本题的关键． 考点卡片 1．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 2．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$