4.4 利用三角形全等测距离 同步个性化分层作业2024-2025学年 北师大版（2024）七年级数学下册（中等生篇）

4.4 利用三角形全等测距离 同步个性化分层作业 2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级（中等生篇） 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•石林县期末）如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角形知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB和△DOC全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．（2024秋•南阳期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 3．（2024秋•南阳期末）如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（　　） A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去 4．（2024秋•桂平市期中）数学兴趣小组的同学想测量一个池墙两岸相对的两点A，B的距离，他们设计了如图所示的方案，在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 5．（2024秋•德州期中）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•太康县期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得AC＝AD，BC＝BE．若测得DE＝26m，则A，B间的距离是 　 　m． 7．（2024秋•永丰县期中）如图，有两个长度相同的滑梯（BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC＝25°，则∠DFE的度数为 　 　． 8．（2024秋•阳信县期中）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出ED的长，即可求出AB的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 　 　． 9．（2024秋•越秀区校级期中）小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　cm． 10．（2024春•梅州月考）如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径AB的长度是10cm，为了得到瓶子的壁厚a cm，小庆把两根相同长度的木条DE和CF的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到EF的长为6cm，则瓶子的壁厚a的值为 　 　cm． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•自流井区校级期中）为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝33米，求楼高AB是多少米？ 12．（2024秋•巫山县校级期中）第一小组同学们要测量池塘两端A，B的距离，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘直接到达点A和B；再连接AC，BC并分别延长到点D，E，使CD＝CA，CE＝CB；连接DE．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段DE与AB有什么样的数量关系？并说明理由． 13．（2024秋•巫山县校级期中）遥遥为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．如图，CD⊥DB，AB⊥DB，测得旗杆顶点C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，且CD＝PB．已知DB＝a，CD＝b，求大楼AB的高度（用a、b表示）． 14．（2024秋•大荔县校级期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB＝AC．当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗？请说明理由． 15．（2024秋•邓州市期中）如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　 　＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量 　 　的长度，即为点A的高度． （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段AE＝DE，你同意明明的观点吗？说明理由． （中等生篇）2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级同步个性化分层作业4.4 利用三角形全等测距离 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 B B D D B 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•石林县期末）如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角形知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB和△DOC全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：∵点O是AD，BC的中点， ∴OC＝OB，OD＝OA， 在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握SAS公理是解题的关键． 2．（2024秋•南阳期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【考点】全等三角形的应用；线段的性质：两点之间线段最短．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证． 【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点， ∴OA＝OA'，OB＝OB'， 由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'， 在△AOB和△A'OB'中， ， ∴△AOB≌△A'OB'（SAS）， ∴AB＝A'B'， 即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 3．（2024秋•南阳期末）如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（　　） A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力；应用意识． 【答案】D 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【解答】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带④去． 故选：D． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 4．（2024秋•桂平市期中）数学兴趣小组的同学想测量一个池墙两岸相对的两点A，B的距离，他们设计了如图所示的方案，在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【考点】全等三角形的应用；垂线段最短．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（2024秋•德州期中）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握SAS公理是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•太康县期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得AC＝AD，BC＝BE．若测得DE＝26m，则A，B间的距离是 　13　m． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】13． 【分析】根据三角形中位线定理即可得出结果． 【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BE， ∴AB为三角形DCE的中位线， ∴ABm， 即A，B间的距离是 13m， 故答案为：13． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 7．（2024秋•永丰县期中）如图，有两个长度相同的滑梯（BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC＝25°，则∠DFE的度数为 　65°　． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】65°． 【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠DEF＝∠ABC＝25°， ∴∠DFE＝90°﹣25°＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 8．（2024秋•阳信县期中）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出ED的长，即可求出AB的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 　全等三角形的对应边相等　． 【考点】全等三角形的应用；垂线段最短．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】全等三角形的对应边相等.. 【分析】根据全等三角形的对应边相等，只要测出ED的长，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AB⊥BF，ED⊥BF， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠ECD，CB＝CD， ∴△ACB≌△ECD（ASA）， ∴AB＝ED． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关结论即可． 9．（2024秋•越秀区校级期中）小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　36　cm． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】36． 【分析】根据题意可得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB＝∠BEC＝90°，再根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，AD＝24cm，CE＝12cm， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴BE＝AD＝24cm，DB＝CE＝12cm， ∴DE＝DB+BE＝36cm， 则两堵木墙之间的距离为36cm， 故答案为：36． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 10．（2024春•梅州月考）如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径AB的长度是10cm，为了得到瓶子的壁厚a cm，小庆把两根相同长度的木条DE和CF的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到EF的长为6cm，则瓶子的壁厚a的值为 　2　cm． 【考点】全等三角形的应用；两点间的距离．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】2． 【分析】先根据SAS定理得出△EOF≌△DOC，故可得出CD＝EF，进而可得出结论． 【解答】解：∵O是木条DE和CF的中点， ∴OC＝OF，OE＝OD， 又∵∠EOF＝∠DOC， ∴△EOF≌△DOC（SAS） ∴CD＝EF＝6cm， ∵a+6+a＝10cm， ∴a＝2cm， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查全等三角形的应用，两点间的距离，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•自流井区校级期中）为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝33米，求楼高AB是多少米？ 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长． 【解答】解：∵∠CPD＝17°，∠APB＝73°，∠CDP＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP＝∠APB＝73°， 在△CPD和△PAB中， ， ∴△CPD≌△PAB（ASA）， ∴DP＝AB， ∵DB＝33米，PB＝8米， ∴AB＝33﹣8＝25（米）， 答：楼高AB是25米． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 12．（2024秋•巫山县校级期中）第一小组同学们要测量池塘两端A，B的距离，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘直接到达点A和B；再连接AC，BC并分别延长到点D，E，使CD＝CA，CE＝CB；连接DE．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段DE与AB有什么样的数量关系？并说明理由． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】DE＝AB，理由见解析． 【分析】直接利用SAS证明△ABC≌△DEC即可得结论． 【解答】解：DE＝AB， 理由：由题意知CD＝CA，CE＝CB， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴DE＝AB． 【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键． 13．（2024秋•巫山县校级期中）遥遥为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．如图，CD⊥DB，AB⊥DB，测得旗杆顶点C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，且CD＝PB．已知DB＝a，CD＝b，求大楼AB的高度（用a、b表示）． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】楼AB高度是a﹣b． 【分析】先求出∠DCP＝∠APB＝54°，再证明全等，利用全等三角形的性质得出DP＝AB即可求解． 【解答】解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP＝∠APB＝54°， 在△CPD和△PAB中， ， ∴△CPD≌△PAB（ASA）， ∴DP＝AB， ∵DB＝a，CD＝b， ∴AB＝a﹣b， 故楼AB高度是a﹣b． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是牢记它的判定与性质． 14．（2024秋•大荔县校级期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，伞骨BD，CD的B，C点固定不动，且到点A的距离AB＝AC．当D点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD和CD相等吗？请说明理由． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；应用意识． 【答案】相等．理由见解析． 【分析】利用SAS证明△ABD≌△ACD，即可得出结论． 【解答】解：相等．理由如下： ∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD＝CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（2024秋•邓州市期中）如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　DCO　＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量 　OD　的长度，即为点A的高度． （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段AE＝DE，你同意明明的观点吗？说明理由． 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】（1）DCO，OD；理由见解析； （2）同意．理由见解析． 【分析】（1）证明△AOB≌△DOC（AAS），得出OA＝OD． （2）证明△ACE≌△DBE（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝DE． 【解答】解：（1）理由：∵AO⊥OD， ∴∠AOB＝∠DOC＝90°， 在△AOB与△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD． 故答案为：DCO，OD； （2）同意明明的观点． 理由：∵△AOB≌△DOC， ∴OB＝OC，OA＝OD，∠OAB＝∠ODC， ∴OA﹣OC＝OD﹣OB， 即AC＝DB， 在△ACE与△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（AAS）， ∴AE＝DE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形对应边相等． 考点卡片 1．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 2．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 3．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$