精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期1月自主学习效果评估数学试题

高三数学自主学习效果评估 2025.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 3. 已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：     由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 4. 过点的直线与圆：交于，两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线过圆心时，弦长最大即可求解. 【详解】由题意可知当直线经过圆的圆心时，弦长最大，即为直径， 由， 得：，半径为，直径为， 所以的最大值为， 故选：A 5. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，以及辅助角公式，即可化简求值. 【详解】 ， 即. 故选：D 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则， 故， 当且仅当，则时取等号， 综上，目标式的最小值为3. 故选：B 8. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用基本不等式证明，从而得，使用证明，再证明可得. 【详解】由题知、均在和之间， ，于是， 当时，令，则， 所以在上为减函数， 故，故， 所以， ，于是. 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知条件可知A和B选项；利用等差数列求和判断C选项；根据，判断D选项. 【详解】因为，，，所以和异号，且， 所以，，所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为，，，，所以当时，最大，故D错误. 故选：BC. 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B错误； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得， 所以，即D正确. 故选：ACD 11. 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为3 B. 二面角的余弦值为 C. 球的表面积为 D. 若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据题意求得棱锥的高，再结合棱锥的体积计算公式，求解即可；对B：根据二面角的定义，取中点为，找到二面角的平面角为，再利用余弦定理求解即可；对CD：根据棱锥内切球半径的计算公式，直接求解即可. 【详解】对A：根据题意，连接，作图如下： 由题可知为正三棱锥，故点为△的中心， 又底面是边长的等边三角形，故，因为面面，故， 则由勾股定理可得：； 又等边三角形的面积为，故，故A正确； 对B：连接，取中点为，连接，如下所示： 由A可知，，同理可得，又，故△，则，故， 且； 又，故，又面面，面面， 故即为二面角的平面角； 在△中，，在△中，； 在△中，，则由余弦定理可得：，故B错误； 对C：设内切球的半径为，的表面积为，则， 则，故可得； 又， 故，则球的表面积为，故C正确； 对D：易知在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交于点，如下所示： 显然也为正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球； 又，故，设球半径为，三棱锥表面积为， 则由C所得公式，以及三角形相似可得：， 故球的半径为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题CD选项的处理，考察了三棱锥内切球半径的求解，一般的，对任意三棱锥的内切球半径的求解，都可以采用的公式进行处理；属中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的各项均为正数，若，，则______. 【答案】448 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为， 所以，由得即，解得或（舍弃）， 所以， 故答案为： 13. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用第百分位数的定义求出，再利用组合的应用列式计算作答. 【详解】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 14. 已知关于x的方程有解，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的辅助角公式，结合三角函数的值域，可得不等式，整理不等式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】由，其中， 则，可得，即， 两边平方化简可得，因此， 由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤. 15. ①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 （1）； （2）的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】选①根据二倍角公式以及辅助角公式化简整理，可得；选②利用正弦定理边角互化，整理可得；选③利用余弦定理可知；由根据正弦定理可求得或，分情况求得三角形面积. 【小问1详解】 选①：由得， 即，因为，所以． 选②：由正弦定理得得，因为， 所以． 因为，所以．因为，所以． 选③：由题意得，得． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 由，所以或． 当时，，又因为，所以，． 则面积． 当时，，所以．又因为，所以． 则面积． 综上所述，的面积为或． 16. 如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以. 因为，，即，所以， 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）由面面垂直性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AC中点，连接DO，OE 因为为正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为O，E分别为AC，AB中点，则. 又因为，所以. 以为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 故，，. 设平面的法向量为，直线BD与平面所成角为， 则，即，取. 则， 所以BD与平面所成角的正弦值为. 17. 黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出不同事件的概率，得到分布列，再得出数学期望即可. （2）结合给定条件并利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意得，随机变量的可能取值为， 可得，， ，所以的分布列如下表所示： 2 3 4 所以数学期望为. 【小问2详解】 由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁， 所以， 则， 由两式相减可得， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，过的右顶点的直线与的另一交点为.当为的上顶点时，原点到的距离为. （1）求的标准方程； （2）过与垂直的直线交抛物线于两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线距离、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程； （2）当直线斜率为时，易求得；当直线斜率不为时，分别将直线与椭圆、直线与抛物线方程联立，求得，进而得到，采用换元法，令，利用导数可求得最小值；综合两种情况可得所求面积的最小值. 【小问1详解】 由题意知：， 若为的上顶点，则，，即， 原点到的距离， 又离心率，，，， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意知：直线斜率存在； ①当直线斜率为时，，；此时直线， 则，，； ②当直线斜率存在且不为时，， 由得：， 又，，则，； 又直线， 由得：，； 的焦点为，， 又， ， 设，则，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， 即； 综上所述：面积的最小值为. 【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合弦长公式、点到直线距离公式等知识，利用变量表示出所求三角形的面积； ④将所求三角形面积转化为关于变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）. 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求椭圆在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均曲率的定义，代入计算可得结果； （2）由在第一象限，可得，两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可； （3）求出，其中，令，，则，令，构造函数，利用导数判断单调性，求出最小值即可. 【小问1详解】 易知单位圆上圆心角为的圆弧， 所以， 【小问2详解】 由题意，因为在第一象限，所以， ，， 故，，故 【小问3详解】 ，， 故，其中， 令，，则，设，则， 令，， 时，，在递减， 时，，在递增， 故； 令， ， 令， 则，当时，恒成立， 故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 故， 故的最小值为. 【点睛】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学自主学习效果评估 2025.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 过点的直线与圆：交于，两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 8. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 11. 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为3 B. 二面角的余弦值为 C. 球的表面积为 D. 若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的各项均为正数，若，，则______. 13. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 14. 已知关于x的方程有解，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤. 15. ①，②，③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求 （1）； （2）的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值. 17. 黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求 18. 已知椭圆的离心率为，过的右顶点的直线与的另一交点为.当为的上顶点时，原点到的距离为. （1）求的标准方程； （2）过与垂直的直线交抛物线于两点，求面积的最小值. 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求椭圆在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $