精品解析：辽宁省本溪市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

本溪市2024～2025学年上学期期末考试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若、是连续的两个整数，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（ ） A. 如果，则直角三角形 B. 如果，则是直角三角形 C. 如果，则是直角三角形 D. 如果，则是直角 4. 某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（ ） 身高 人数 A. 个， B. ， C. ， D. 个， 5. 若点，关于轴对称，则的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击次，平均环数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 下列命题中，错误的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 8. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有尺，木长尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（ ） A 30 B. 36 C. 60 D. 72 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果，，则点在第______象限． 12. 已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为______． 13. 某超市招聘收银员一名，对甲、乙、丙三名申请人进行了三项素质测试，三名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2，则这三人中______将被录用． 素质测试 测试成绩／分 甲 乙 丙 计算机 70 90 65 语言 50 75 55 商品知识 80 65 80 14. 若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是______． 15. 在平面直角坐标系中，线段的端点为，，点在线段上（包含端点）．直线经过点和点．点在线段上移动，直线中的值也随之发生变化．当是整数时，则的值为______． 三、解答题（本题满分16分） 16. 计算： （1）计算： （2）解方程组： 17. 解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． （1）求的整数部分； （2）仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 四、解答题（本题满分8分） 18. 2024年6月是第23个全国“安全生产月”，主题是“人人讲安全、个个会应急——畅通生命通道”．某校为了解七年级学生对安全生产知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：信息一：如图，信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．请根据信息，解答下列问题： （1）求所抽取学生的人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 五、解答题（第19题满分8分，第20题满分10分，共18分） 19. 阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．若，，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为， ， 如图，在， ， ． 因此，我们得到平面上任意两点，之间的距离公式为．根据上面得到的任意两点之间距离公式，解决下列问题：已知，，． （1）求边的长； （2）求边上的高． 20. 年月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心成功发射．通过此次里程碑式的成功，神舟十八号不仅展现了中国航天技术的高水平，还凸显了中国在全球航天领域的竞争力．为纪念“神舟十八号”成功，某超市从厂家购进两种型号的“航天模型”，两次购进模型的情况如表： 进货批次 型模型（个） 型模型（个） 总费用（元） 一 二 （1）求两种型号航天模型进价； （2）第三次进货用元购进这两种航天模型，如果每销售出一个型航天模型可获利元，售出一个型航天模型可获利元，超市决定每售出一个型航天模型就捐出元．若两种型号的航天模型在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 六、解答题（满分8分） 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 七、解答题（满分12分） 22. 【问题情境】 （1）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”，他比严谨的数学证明更为优雅和有条理．图1为某数学活动小组在研究“勾股定理几何证明”时构造的“无字证明”图形： 点、、在同一条直线上，且，．设，，，根据四边形面积来完成证明．①整体方法：用含的式子表示四边形面积；②分别求解：借助、、的面积和，用含的式子再次表示四边形面积，建立等式，得到．请根据上述思路，完成勾股定理的推理过程．（注：） 【思想应用】 （2）如图2，在中，，，以边为斜边作，使得，且，连接，当时．求边的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，点是四边形内一点，，，，判断和的面积是否相等？请你说明理由． 八、解答题（满分13分） 23. 【概念理解】对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的衍生函数． 【理解运用】例如：一次函数的衍生函数为． （1）已知一次函数．若点在这个一次函数的衍生函数图象上，求的值； （2）如图1，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象经过点，交轴于点，若，求该一次函数的表达式． 【拓展提升】 （3）如图2，点，点的坐标为，连接．当线段与一次函数的衍生函数的图象只有1个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 本溪市2024～2025学年上学期期末考试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无限不循环小数叫无理数是解题的关键． 根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． 是无理数，符合题意； B． 是有理数，不符合题意； C． 是有理数，不符合题意； D． 是有理数，不符合题意． 故选A． 2. 若、是连续的两个整数，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，确定出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵、是连续的两个整数， ∴，， ∴， 故选：D． 3. 中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（ ） A. 如果，则是直角三角形 B. 如果，则是直角三角形 C. 如果，则是直角三角形 D. 如果，则是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 4. 某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（ ） 身高 人数 A. 个， B. ， C. ， D. 个， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了极差和众数的定义，掌握极差和众数的定义是解答本题的关键． 根据极差和众数的定义解答即可． 【详解】解：极差是：， 出现了次，出现的次数最多，则众数是， 故选：C． 5. 若点，关于轴对称，则的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特征是解题关键．利用关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点，关于轴对称， ∴，． 故选：A． 6. 射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击次，平均环数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差，比较四个人的方差，然后根据方差的意义可判断谁的成绩最稳定，解题的关键是正确理解方差：反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四人中成绩最稳定的是乙， 故选：． 7. 下列命题中，错误的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、直线的性质、垂线的性质、三角形外角的性质判断即可得解． 【详解】A.同位角相等，两直线平行，故原命题为真命题，不符合题意； B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，符合题意； C.两点确定一条直线，故原命题为真命题，不符合题意； D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故原命题为真命题，不符合题意； 故选：B 8. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有尺，木长尺，所列方程组正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据等量关系“”和“”列方程组即可解答． 【详解】解：设绳长有尺，木长尺，， 依题意得，整理为：． 故选：A． 10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（ ） A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为13，即， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即，， ∴由勾股定理可知：， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果，，则点在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．牢记四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，本题根据这些进行解答即可解决. 【详解】，， ∴点在第一象限， 故答案为：一 12. 已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解． 根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与交点的坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 13. 某超市招聘收银员一名，对甲、乙、丙三名申请人进行了三项素质测试，三名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2，则这三人中______将被录用． 素质测试 测试成绩／分 甲 乙 丙 计算机 70 90 65 语言 50 75 55 商品知识 80 65 80 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，理解加权平均数的定义以及求解方法是解题关键． 分别计算出三人的加权平均数，比较即可得出结论． 【详解】解：甲的最终成绩：（分）； 乙的最终成绩：（分）； 丙的最终成绩：（分）； ∵， ∴乙将被录用． 14. 若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点在直线上，则，然后根据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，都是正整数， ∴，， ∴点坐标是， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，线段的端点为，，点在线段上（包含端点）．直线经过点和点．点在线段上移动，直线中的值也随之发生变化．当是整数时，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求出函数经过点A和点B时k的临界值，即可求出整数k的值． 【详解】解：当经过点和点时， ， 解得； 当经过点和点时， ， 解得； ∴， ∴整数k的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题满分16分） 16. 计算： （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算以及解二元一次方程组，掌握零指数幂，算术平方根，绝对值的定义，平方差公式以及二元一次方程组的解法是正确解答的关键． （1）根据零指数幂，算术平方根，绝对值的定义，平方差公式进行计算即可； （2）利用代入消元法，先将原方程组中的方程②变形为③，代入方程①求出y的值，y值再代入③求出x的值，即得． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 由②得，③， 将③代入①，得 ， ， 将代入③，得， 原方程组的解为． 17. 解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． （1）求的整数部分； （2）仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，据此即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 整数部分为3． 【小问2详解】 解：根据题意画出示意图，标注数据如下： 面积为13.8的正方形的边长是，且， 设，其中， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． 四、解答题（本题满分8分） 18. 2024年6月是第23个全国“安全生产月”，主题是“人人讲安全、个个会应急——畅通生命通道”．某校为了解七年级学生对安全生产知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：信息一：如图，信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．请根据信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生的人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）所抽取的学生的人数为30人，补图见解析 （2）85分 （3）120人 【解析】 【分析】本题主要考查条数统计图与扇形统计图、中位数、样本估计总体等知识点，从统计图获取所需信息成为解题的关键． （1）先求出样本容量，再求出抽取B等级的人数，并补全频数分布直方图； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以360即可解答． 【小问1详解】 解：； B：（人）． 补图如图 答：所抽取的学生的人数为30人． 【小问2详解】 解：将名学生的成绩按照由低到高顺序排列，第15名成绩为84分，第15名成绩为86分，（分），则抽取学生成绩的中位数为85分． 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校七年级成绩为等级的人数大约为120人． 五、解答题（第19题满分8分，第20题满分10分，共18分） 19. 阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．若，，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为， ， 如图，在， ， ． 因此，我们得到平面上任意两点，之间的距离公式为．根据上面得到的任意两点之间距离公式，解决下列问题：已知，，． （1）求边的长； （2）求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了两点距离公式，三角形的高的定义，坐标与图形； （1）根据勾股定理计算即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 解： ， 答：的长为． 【小问2详解】 过点作于点，过点作于点， ，， ， 答：边上的高为． 20. 年月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心成功发射．通过此次里程碑式的成功，神舟十八号不仅展现了中国航天技术的高水平，还凸显了中国在全球航天领域的竞争力．为纪念“神舟十八号”成功，某超市从厂家购进两种型号的“航天模型”，两次购进模型的情况如表： 进货批次 型模型（个） 型模型（个） 总费用（元） 一 二 （1）求两种型号航天模型的进价； （2）第三次进货用元购进这两种航天模型，如果每销售出一个型航天模型可获利元，售出一个型航天模型可获利元，超市决定每售出一个型航天模型就捐出元．若两种型号的航天模型在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】（1）种型号的航天模型进价为元，种型号的航天模型进价为元； （2）捐款后所得利润始终不变，此时为元，利润为元． 【解析】 【分析】（）设每个种型号的航天模型进价为元，每个种型号的航天模型进价为元，根据题意列出方程组，然后解方程即可； （）设总利润为元，购进种航天模型个，由题意得，捐款后所得的利润始终不变即可求出的值及利润； 本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每个种型号的航天模型进价为元，每个种型号的航天模型进价为元， ， 解得：， 答：种型号的航天模型进价为元，种型号的航天模型进价为元； 【小问2详解】 解：设总利润为元，购进种航天模型个， 依题意，得： ， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴，解得：， ∴， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 六、解答题（满分8分） 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 七、解答题（满分12分） 22. 【问题情境】 （1）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”，他比严谨的数学证明更为优雅和有条理．图1为某数学活动小组在研究“勾股定理几何证明”时构造的“无字证明”图形： 点、、在同一条直线上，且，．设，，，根据四边形面积来完成证明．①整体方法：用含的式子表示四边形面积；②分别求解：借助、、的面积和，用含的式子再次表示四边形面积，建立等式，得到．请根据上述思路，完成勾股定理的推理过程．（注：） 【思想应用】 （2）如图2，在中，，，以边为斜边作，使得，且，连接，当时．求边的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，点是四边形内一点，，，，判断和的面积是否相等？请你说明理由． 【答案】（1）见解析，（2）（3）相等，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据全等可得，，，然后根据梯形的面积公式计算即可； （2）先得到，，然后证明，即可得到，，然后利用勾股定理解题即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可解题． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作与点， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， 在中，， ， ， ， ，， 在中，， ， ； （3）相等； 证明：过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ． 八、解答题（满分13分） 23. 【概念理解】对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的衍生函数． 【理解运用】例如：一次函数的衍生函数为． （1）已知一次函数．若点在这个一次函数的衍生函数图象上，求的值； （2）如图1，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象经过点，交轴于点，若，求该一次函数的表达式． 【拓展提升】 （3）如图2，点，点的坐标为，连接．当线段与一次函数的衍生函数的图象只有1个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或，（2）或，（3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是理解题意，理解衍生函数的定义及分类讨论，数形结合思想的应用． （1）直接根据衍生函数的定义及点在直线上的性质求解即可； （2）分两种情况，由图1，点作轴于点，结合，，由勾股定理可知，得到图1中，图2中点，再由待定系数法确定一次函数的解析式； （3）结合图形，分当一次函数经过点，当一次函数经过点和经过线段所作直线与y轴的交点三种情况求解即可； 【详解】（1）解：依题意知：一次函数的衍生函数为 点在衍生函数的图象上 ①当时，有 ②当时，有 综合①②知，或． （2）解：①如图1 点作轴于点H， ， 在中， ，上 ②如图2，点的坐标为 ，在上 综上所述，一次函数的表达式为或 （3）或 ①当一次函数经过点时， ②当一次函数经过点时， （3），， 点的坐标为 综合①②③知，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$