精品解析：上海市浦东新区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模）

初三数学期末练习卷 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 如果在一张比例尺为的地图上，量得A、B两点的距离是，那么A、B两点的实际距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，比例尺．根据比例尺的定义进行计算即可． 【详解】解：在一张比例尺为的地图上，量得A、B两点的距离是， 那么A、B两点的实际距离为， 就是， 故选：B． 2. 下列四个函数中，图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象上的点，函数图象上的点的坐标适合函数解析式，令，函数值也等于0，则图象经过原点．据此判断即可． 【详解】解：A、令，则，故不符合题意； B、无意义，故不符合题意； C、，则，故符合题意； D、，则，故不符合题意． 故选：C． 3. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，根据平行线分线段成比例定理逐项进行分析判断即可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等， 故A正确，C不正确，D不正确； 由得， 假设成立，则， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立， 故B不正确， 故选：A． 4. 如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查想点三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比、对应中线的比、高线的比、角平分线的比都等于相似比解题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比、对应角平分线的比都等于相似比， ∴这两个三角形对应角平分线的比是， 故选：B． 5. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，通过连接构造出直角三角形及熟知正切的定义是解答本题的关键． 根据所给网格，连接得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 则， 设小正方形网格的边长为， 则由勾股定理得：，， 在中， ， 故选：D． 6. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键 根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， 故②正确； 当或时， ， 故m的值为0， 故③正确； ∵图象过原点，对称轴为直线， ∴图象不过第三象限， 故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知，那么的值是______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解题关键．根据题意设，，将、的值代入求解即可． 【详解】解：由可设，， 则． 故答案：． 8. 已知点是线段的黄金分割点（），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则． 故答案为． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题为平面向量的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．按向量的运算法则即可得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 如果小华在小丽北偏东的位置上，那么小丽在小华______的位置上． 【答案】南偏西 【解析】 【分析】本题考查了方向角．根据方向角的定义即可得到答案． 【详解】解：如果小华在小丽北偏东的位置上，那么小丽在小华南偏西的位置上． 故答案为：南偏西． 11. 沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），勾股定理等知识点，熟练掌握坡度（或坡比）的定义是解题的关键：坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即，坡度通常写成的形式． 根据坡度的定义画图求解即可． 【详解】解：如图，由题意可知：米，米， 根据勾股定理可得： 米， 这个斜坡的坡度， 故答案为：． 12. 二次函数的图像上有两个点、，那么______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 二次函数的图像上有两个点、，且， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解答本题的关键． 由平行四边形的性质得，则，所以，而，，，则，所以，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ， 点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 14. 在中，，点G是的重心，如果，那么______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 如图，是的中线，由G是重心，，可求，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，计算求解即可． 详解】解：如图， ∵G是重心，， ∴是的中线，， ∴， 解得，， ∴， ∵，是的中线， ∴， 故答案为：12． 15. 在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由可得，再通过证明得到相似比，代入即可得到的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：3． 16. 如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离______米时落到地面． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 17. 如图，在四边形中，，过点A作的垂线，与边相交于点E，联结．如果，且，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，作于点，过点作交的延长线于点，根据可得，则，在中解直角三角形可得，，在中，根据，设，则，，根据可得，根据可得，，据此可得，由此可判定，利用相似三角形的性质可得，然后在中解直角三角形即可得出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点，作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 由勾股定理可得： ， ， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理可得： ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 18. 将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，求角的余弦值等知识，证明设证明，可得，，，可列式为，求出进而可求出的余弦值． 【详解】解：如图， 要想落在上，应为与平行的线，且到的距离相等， ， ∴ ∵ ∴， 设则，， ∴，， ∴， 整理得， 解得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值， 将特殊三角函数值代入，利用二次根式混合运算法则求解即可． 【详解】解：原式 20. 如图，在中，，，．点D是边中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键． （1)由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出; （2)作交于H，在直角三角形中由勾股定理求出长，从而求出的正弦值． 【小问1详解】 解：在中，， ∵点D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． 小问2详解】 解：过点E作，垂足为点H． ∵在中，，， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 21. 如图，平行四边形中，点E为边上的一点，，与相交于点F，设，． （1）用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； （2）在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】（1）；； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，则即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵ ∴； ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：如图所示，过点F分别作交于G， 交于H，则即为分别在、方向上的分向量． 22. 上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 方案一：测量距离，仰角α，仰角β． 方案二：测量高度，仰角α，仰角β． 测量项目 CD α β 方案一 方案二 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比 角度 sin cos tan cot 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：____________． 【答案】任务一：见解析；任务二：数据精确度不同（答案不唯一，言之成理即可）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 任务一：①选择方案一：利用正切的定义可得，，则有，代入数据可得米，即可求出的高度；②选择方案二：利用正切的定义可得，，由题意得可得，，进而得到，代入数据可得米，即可求出的高度； 任务二：从物理（测量）、地理（海拔）或数学（精确度）等角度进行分析，答案不唯一，言之成理即可． 【详解】解：任务一： ①选择方案一， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：米， ∴米； 答：双子山主峰的高度为米； ②选择方案二， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∵，即， ∴， 解得：米， ∴米． 答：双子山主峰的高度为米． 任务二： 求出的高度与48米不一致的原因：数据精确度不同（答案不唯一，言之成理即可）． 故答案为：数据精确度不同（答案不唯一，言之成理即可）． 23. 如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E． （1）求证：； （2）如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是结论得证； （2）方法一：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由（1）可知，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，，由可得，进而可得，，则，于是结论得证； 方法二：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由（1）可知，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，进而可得，由，可证得，由相似三角形的性质可得，即，进而可得，结合，可得，于是结论得证． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图， 方法一： ，点F是的中点， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， ； 方法二： ，点F是的中点， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段中点的有关计算，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【答案】（1） （2）①；②点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可； ②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可． 【小问1详解】 解：将，分别代入解析式，得： 解得：，． ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ①解：由题意，得， 抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线， 故抛物线的解析式可设为：． ∴，． 设直线解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵点P与点重合， ∴， ∴． ②解：记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么，且轴． ∵， ∴． 当点P在点B左侧时， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立， 有：； 解得：， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 25. 在平行四边形中，对角线、交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作、的平行线，交于点E，交、于点F、G，连接． （1）如图1，如果，求证：； （2）如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）补图见解析， 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出，则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，．求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形．设，，求出，得出，证明．设，那么．求出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，∵， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴只能，． ∴， 设，那么，， ∴． ∴， ∴； 【小问3详解】 解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形，． ∴， ∴， ∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 设，则有． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学期末练习卷 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 如果在一张比例尺为地图上，量得A、B两点的距离是，那么A、B两点的实际距离是（ ） A B. C. D. 2. 下列四个函数中，图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（ ） A B. C. D. 以上都不对 5. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知，那么的值是______． 8. 已知点是线段的黄金分割点（），若，则______． 9. 计算：______． 10. 如果小华在小丽北偏东的位置上，那么小丽在小华______的位置上． 11. 沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度______． 12. 二次函数图像上有两个点、，那么______（填“”“”或“”）． 13. 如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么______． 14. 在中，，点G是的重心，如果，那么______． 15. 在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么______． 16. 如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离______米时落到地面． 17. 如图，在四边形中，，过点A作的垂线，与边相交于点E，联结．如果，且，那么的长是______． 18. 将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． （1）求线段的长； （2）求的值． 21. 如图，平行四边形中，点E为边上的一点，，与相交于点F，设，． （1）用向量、分别表示下列向量； ______；______；______； （2）在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 22. 上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 方案一：测量距离，仰角α，仰角β． 方案二：测量高度，仰角α，仰角β． 测量项目 CD α β 方案一 方案二 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比 角度 sin cos tan cot 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：____________． 23. 如图，在中，，点D是边上一点，连接，过点B作，垂足为点E． （1）求证：； （2）如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 25. 在平行四边形中，对角线、交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作、的平行线，交于点E，交、于点F、G，连接． （1）如图1，如果，求证：； （2）如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $