精品解析：黑龙江省佳木斯市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试卷

2024—025年九年级上学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线（）上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为________． 12. 二次函数的最小值是______． 13. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，抛物线的解析式为________． 14. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到△的位置，使，则旋转角的度数为________． 15. 如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为______． 16. 一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______． 17. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“>”连接）． 18. 如图，在中：，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值________． 19. 已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到⋯⋯依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为_____． 三、解答题（满分60分） 21. 用适当的方法解下列方程． （1） （2）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，与关于原点成中心对称，是由绕着原点顺时针旋转后得到的． （1）画出，并写出点的对应点的坐标； （2）画出，并写出点的对应点的坐标； （3）求旋转过程中点到达点的路径长度． 23. 课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 24. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积． 26. 平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． （1）当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 27. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 28. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—025年九年级上学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式：（、、为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A：原方程可化为，是关于的一元二次方程，故此选项符合题意； B：，是二元一次方程，故此选项不合题意； C：，不是方程，故此选项不合题意； D：，化简得，是一元一次方程，故此选项不合题意． 故选：A ． 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意． B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意． C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意． D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项不符合题意． 故选：B． 3. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 【详解】列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴， 故选：A. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5. 已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据双曲线的图象分布在第二、四象限得出，求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵双曲线的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得：． 故选：D． 6. “绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，年新能源汽车手销售量将达到万辆，年新能源汽车手销售量将达到万辆，然后依据题意列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形与圆的综合，切线的性质，切线长的运用，勾股定理的知识，掌握切线的性质，切线长的运用是解题的关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线（）上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，待定系数法求反比例函数解析式，由旋转可得，，，即得，进而得到，最后把代入反比例函数解析式即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在轴上，，点的坐标为， ∴，， 由旋转得，，，， ∴轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∵点恰好落在双曲线上， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的图象判断出<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：<0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出<0, c>0. 10. 如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据旋转的性质得，，，由知，即可判断①； ②由°、知，继而可得，可判断②； ③由、，根据可判断③； ④根据可判断④． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴，，， 又∵在中，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：3． 12. 二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及将配成抛物线顶点式的方法，能正确配方是解决本题的关键．整理成顶点式即可求解． 【详解】解：将抛物线解析式配方成顶点式得：， ， 当时，取最小值为：， 故答案为：． 13. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，抛物线的解析式为________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位长度，得到平移后解析式为：， 再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为：，即（或）． 故答案为：（或）． 14. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到△的位置，使，则旋转角的度数为________． 【答案】##56度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、等腰三角形的性质．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】∵， ∴ ∵在平面内绕点旋转到的位置， 等于旋转角，， ∴， ， 旋转角为． 故答案为：． 15. 如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为______． 【答案】16． 【解析】 【详解】解：连接OA， ⊙O的直径CD=20， 则⊙O的半径为10， 即OA=OC=10， 又∵OM：OC=3：5， ∴OM=6， ∵AB⊥CD，垂足为M， ∴AM=BM， 在Rt△AOM中，AM==8， ∴AB=2AM=2×8=16， 故答案为：16． 16. 一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先用圆锥的底面周长得到圆锥的侧面扇形的弧长，然后再利用弧长公式求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长是6cm， ∴圆锥的侧面扇形的弧长为6πcm， ，解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式成为解答本题的关键． 17. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“>”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质的性质是解题的关键． 根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中：，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，连接，根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∵点是的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值， ∴的最大值为， 故答案为：． 19. 已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________． 【答案】2或14 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF-OE=2cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm． 故答案为2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到⋯⋯依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等腰三角形的性质、图形的规律等知识点，发现各点坐标的变化规律是解题的关键．根据题意可以求得的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，，从而发现其中的变化的规律，然后根据规律即可解答． 【详解】解：如图：作轴于H， ∵点，， ， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴的纵坐标为1，， ∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到， ∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ∴， 当时，． 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 用适当的方法解下列方程． （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）方程的左边利用十字相乘法因式分解后求解可得； （2）移项后，提取公因式，因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，与关于原点成中心对称，是由绕着原点顺时针旋转后得到的． （1）画出，并写出点的对应点的坐标； （2）画出，并写出点的对应点的坐标； （3）求旋转过程中点到达点的路径长度． 【答案】（1） 如图，为所作，． （2） 如图，为所作，． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了中点对称作图和旋转作图，弧长计算，勾股定理与网格问题，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）作出点A、B、C绕着原点顺时针旋转后的对应点、、，然后再顺次连接即可； （3）根据弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵， ∴旋转过程中点到达点的路径长度为： ． 23. 课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，概率所求情况数与总情况数之比． （1）所有等可能的情况数有3种，其中小灯泡发光的情况只有一种，求出小灯泡发光的概率即可； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合， 其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合， 则（小灯泡发光）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： 共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， 能够让灯泡发光的概率为：． 24. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】（1）；； （2）当为时，矩形花园的面积为； （3） 嘉嘉的说法不正确， 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵∠BCA＝90°，∠B＝30°， ∴∠OAD＝∠BAC＝60°， ∵OD＝OA， ∴△OAD是等边三角形， ∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°， ∴∠ODC＝60°+30°＝90°， 即OD⊥DC， ∵OD为半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）S阴影＝2﹣ π． 【解析】 【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可； （2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴OD＝OA＝AC＝AB＝2， 由勾股定理得：CD＝ ∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ． 【点睛】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度． 26. 平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． （1）当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 【答案】（1） 解：仍成立， 证明：如图，过B作于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过B作于点H，可证，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，，通过线段的等量代换可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不成立，线段、、之间的数量关系为：， 证明：如图，过点B作，交的延长线于点G， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴． 27. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）利润为元，求的值；（3）求出利润函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 与之间的函数关系式：； 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为元； 【小问3详解】 ， 获利不得高于进价的，， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时． 答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元． 28. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或 【解析】 【分析】（1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 由（2）得：， ， 对称轴为直线， 当四边形为平行四边形时， 则，， ，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ， 存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用平移规律进行分类讨论求出存在的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $