精品解析：四川省荣县中学校2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

荣县中学高2024级第一学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（共12个小题，每小题5分，共60分） 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，内接于是直径，连接，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 9. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角” 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … 则中，第三项系数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 12. 如图，动点M在边长为2的正方形内，且是边上的一个动点，E是边的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知一元二次方程的两根为，则的值为_______． 14. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为_______m．（，结果精确到0.1） 15. 已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_______． 16. 观察下列一组数：，……，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则_______． 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17. （1）计算：． （2）化简：． 18. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为_______度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的对法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 19. 清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价； （2）设芝麻青团每盒售价x元表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）P为y轴上一点，若面积为3，求P点的坐标 21. 阅读理解 材料一：若为整数，且三次方程有整数解t，则将t代入方程得，移项得，即有，由于与t及m都为整数，因此t是m因数．所以，对整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法． 例 解方程． 解：的因数有，将它们分别代入原方程， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 是方程的整数解． 有因式 利用竖式除法，可得 ． 原方程化为． 或． 原方程解为． 根据以上的阅读材料，解答下列问题： （1）因式分解：_______（在有理数范围内）； （2）解方程． 22. 如图，抛物线经过两点，与y轴交于点为第四象限抛物线上的动点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； （3）是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县中学高2024级第一学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（共12个小题，每小题5分，共60分） 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合选项中的图形，即可求解. 【详解】根据题意，利用图形的对称性，结合选项，只有选项A为对称图形， 故选：A. 2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的概念可得结果. 【详解】13.6亿. 故选：C. 3. 如图，内接于是的直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可计算. 【详解】∵CD是的直径，∴， ，∴， ∴， 故选：C. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式的乘法除法运算规则和平方差公式以及完全平方公式逐个运算求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 5. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系判断得解. 【详解】集合，则，ACD错误，B正确. 故选：B 6. 甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，表示出行驶时间并列出方程. 【详解】依题意，长途汽车在高速公路上行驶的速度为千米/时，用时小时， 长途汽车在原来国道上行驶用时小时， 所以. 故选：B 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0和二次根式被开方数非负列不等式，求解即可. 【详解】由且. 所以函数的定义域为：. 故选：C 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合二次函数对称性用表示，再逐一判断各个命题得解. 【详解】由二次函数的图象对称轴是直线，与x轴交于两点， 则，，于是，， 对于①，，①错误；对于②，点B的坐标为，②正确；对于③，，③正确； 对于④，，④正确， 所以所有正确结论的序号为②③④. 故选：C 9. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数取值范围为． 故选：D. 10. 如图，在四边形中，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据题意可证，进而可知，设，可得，进而可得结果. 【详解】如图，连接， 因为，则， 又因为，可知是的切线， 且为的切线，则， 因为，可得， 则，可得，， 又因为， 设，则， 可得，， 所以． 故选：D． 11. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角” 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … 则中，第三项系数为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，观察数据的变换规律，可知除1以外的每个系数等于它“肩上”两数之和，利用此规律推导即可求解. 【详解】由题意知，除1以外的每个系数等于它“肩上”两数之和， 所以第11行第3项的系数等于第10行从左到右数第2个与第3个数之和， 即. 故选：A 12. 如图，动点M在边长为2的正方形内，且是边上的一个动点，E是边的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知点M在以为直径圆上，作点E关于的对称点，设的中点为点O，当三点共线时，取得最小值即可求解. 【详解】动点M在边长为2的正方形内，且， 点M在以为直径的圆上（正方形内部）. 设的中点为点O，则. 作点E关于的对称点，连接交于点P，连接，如图所示. 正方形的边长为2，是的中点， ，. 点E与点关于对称， ，. 在中，， ∴线段的最小值为： . 故选：A. 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知一元二次方程的两根为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，再整体代入到中，即可求解. 【详解】一元二次方程的两根为， ，， . 故答案为：. 14. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为_______m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【解析】 【分析】分别在两个直角三角形中，利用三角函数求得和,再求和即可. 【详解】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 15. 已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求解一元一次不等式组，根据不等式组无解，即可列出的不等式，求解即可. 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， 又因为不等式组无解，∴，解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16. 观察下列一组数：，……，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，，根据规律可得，继而即可求解. 【详解】由题意得， ， ， ， ， ， ，…… ， . 故答案为：． 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）5；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算和特殊角的三角函数值化简可得结果. （2）利用完全平方式、平方差公式化简可得结果. 【详解】（1）. （2） . 18. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为_______度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的对法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40；作图见解析 （2）72 （3） 【解析】 【分析】（1）结合条形图中A组的人数以及扇形图中A组所占比可得到总人数，即可补全条形图； （2）根据C组的人数可得到所对应扇形的圆心角； （3）根据题意列得表格或树状图，可求得概率. 【小问1详解】 由图可得条形统计图中A组人数为4人，扇形图中A组所占比为， 所以总人数为（名）， 则C组人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可知C组人数为8名， 所以所占比为， 则话剧组所对应扇形的圆心角为， 【小问3详解】 先将女生编号为，将三位男生编号为， 列表如下： ， 画树状图如下： 共有12种等可能得结果， 其中刚好抽到1名男生与1名女生结果有：共6种， 所以刚好抽到1名男生与1名女生的概率为. 19. 清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价； （2）设芝麻青团每盒售价x元表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）芝麻青团的进价为每盒40元，肉松蛋黄青团的进价为每盒30元； （2），最大利润为1750元． 【解析】 【分析】（1）设肉松蛋黄青团的进价为元，根据题意列式求解即得. （2）根据给定信息列出函数关系，再借助二次函数求出最大值. 【小问1详解】 设肉松蛋黄青团进价为元，则芝麻青团的进价为元， 依题意，，解得， 所以芝麻青团的进价为每盒40元，肉松蛋黄青团的进价为每盒30元. 【小问2详解】 由（1）知，芝麻青团的进价为每盒40元， 该商家每天售出芝麻青团盒， 因此， 而，则当时，， 所以y关于x的函数解析式，最大利润为1750元. 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）P为y轴上一点，若面积为3，求P点的坐标 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）将给定的交点坐标代入函数解析式求解. （2）由（1）的信息，结合函数图象求出不等式的解集. （3）求出一次函数图象与轴交于点坐标，再利用三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 由点在反比例函数的图象上，得， 由点在一次函数的图象，得，解得， 所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式. 【小问2详解】 由（1）及函数图象知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 所以不等式的解集为或. 【小问3详解】 令一次函数的图象与轴交于点，则，设， 于是的面积，解得或， 所以P点的坐标为或. 21. 阅读理解 材料一：若为整数，且三次方程有整数解t，则将t代入方程得，移项得，即有，由于与t及m都为整数，因此t是m的因数．所以，对整数系数方程的整数解只可能是m的因数． 材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法． 例 解方程． 解：的因数有，将它们分别代入原方程， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 是方程的整数解． 有因式 利用竖式除法，可得 ． 原方程化为． 或． 原方程的解为． 根据以上的阅读材料，解答下列问题： （1）因式分解：_______（在有理数范围内）； （2）解方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先考虑常数项3的因数，代入检验多项式的值，找到因式，再利用竖式除法分解因式即得； （2）先考虑常数项的因数，代入方程进行检验，找到因式，再利用竖式除法分解因式，最后运用求根公式求出方程所有的根. 【小问1详解】 因为3的因数有，把它们分别代入多项式，可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，》 故有因式. ． 【小问2详解】 的因数有，将它们分别代入方程，可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 有因式． 利用竖式除法得： ． 原方程化为． 或． 原方程的解为． 22. 如图，抛物线经过两点，与y轴交于点为第四象限抛物线上的动点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； （3）是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接代入两点求解即可； （2）根据题意可得直线的解析式为，设，分两种情况求解； （3）在上取点E，使，作E关于直线的对称点F，可得，结合（2）可知重合，即可得结果. 【小问1详解】 因为抛物线经过两点， 则，解得， 所以抛物线的解析式为. 【小问2详解】 当时，，即，则， 设直线的解析式为， 将代入得，解得，， 所以直线的解析式为， 设，则， 可得， 由题意知，当以为顶点的三角形与相似时， 分两种情况求解： 当时，则，即， 解得，或（舍去）或（舍去），即； 当时，，可知轴， 把代入，得，即， 此时，成立； 综上所述，当以为顶点的三角形与相似时，或； 【小问3详解】 如图，在上取点E，使，连接， 因为， 可知，可得， 又因为，则， 可得，即， 作E关于直线的对称点F，连接， 则，可得，， 当时，P为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点，即重合， 所以存在点P，使得，点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $