精品解析：上海市徐汇区2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷

2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三数学试卷 （时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个等腰三角形 D. 两个正方形 4. 已知：在中，点分别是边上的点，那么下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一传送带和地面所成斜坡坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 6. “数形结合”是研究函数重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是__________． 8. 如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是__________． 9. 已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 10. 已知点是线段黄金分割点，如果，那么的长是__________． 11. 上海与杭州实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 12. 如图，在中，于，如果，那么的值是__________． 13. 如图，，如果，那么的长是__________． 14. 如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是__________千米（结果保留根号）． 15. 如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是__________米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 16. 如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是__________． 17. 如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是__________． 18. 如图，四边形中，，如果，且，那么的长是__________（用含的式子表示）． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23，24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 20. “2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 21. 如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． （1）求证：； （2）设，当时，求向量（用向量表示）． 22. 小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． （1）计算：； （2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 23. 如图，在梯形中，是梯形对角线，． （1）求证：； （2）以为一边作交边于点，求证：． 24. 通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． （1）求点的坐标； （2）当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 25. 如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． （1）求的长； （2）当点是的重心时，求的值： （3）如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三数学试卷 （时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式，即可求得对称轴，的对称轴为直线，据此求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，正确掌握正切公式是解题的关键．先由勾股定理求得，再由正切的定义求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 3. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个等腰三角形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形 的概念，掌握各个角对应相等，各边对应成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形各个角对应相等，但各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； B．任意两个菱形的各边对应成比例，但各个角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．任意两个等腰三角形的各个角不一定对应相等，各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； D．任意两个正方形各个角对应相等，各边对应成比例，故一定相似，符合题意． 故选：D． 4. 已知：在中，点分别是边上的点，那么下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．对于B，C，D选项，可化为，根据两边对应成比例且夹角相等证明相似，继而对应角相等，即同位角相等，即可证明平行，而A选项，以为圆心，为半径画弧，会存在另一个点E，满足，故不能证明平行． 【详解】解：当时，以为圆心，为半径画弧，上会存在另一个点E，满足， 故A不能证明平行，符合题意； 如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 故B能判断平行，选项不符合题意； ， ∴， 同上可得：； 故C能判断平行，不符合题意； ， ∴ ∴同上可得：， 故D选项能判断平行，不符合题意； 故选：A． 5. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∴米， 在中，，由勾股定理得米 ， 故选：D． 6. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 8. 如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 9. 已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：点是线段黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 11. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， ∴上海与杭州的图上距离约为； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． 12. 如图，在中，于，如果，那么的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，则，再根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，如果，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由，可得，根据可知，从而可求，根据可求结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，交于点，交于点， ， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 14. 如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是__________千米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用-方向角问题，过点P作于点C，则，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：过点P作于点C， 则， 由题意得， ∴， ∴， 设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， ∴千米． 故答案：． 15. 如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是__________米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 16. 如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 17. 如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 18. 如图，四边形中，，如果，且，那么的长是__________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】延长，过点D作，交的延长线于点H，证明A、B、C、D四点共圆，得出，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：延长，过点D作，交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆内角四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆内接四边形的判定和性质． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23，24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【小问1详解】 解：设，则，，， 所以原式； 【小问2详解】 解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 20. “2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 21. 如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． （1）求证：； （2）设，当时，求向量（用向量表示）． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例性质可得，再由可得，从而得出，再证，可得，再由平行线的判定即可得出结论； （2）由得出，可得出，再由可得．进而可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ． 22. 小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． （1）计算：； （2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 23. 如图，在梯形中，是梯形对角线，． （1）求证：； （2）以为一边作交边于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 作交边于点 ， 由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 24. 通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． （1）求点的坐标； （2）当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 25. 如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． （1）求的长； （2）当点是的重心时，求的值： （3）如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）为或 【解析】 【分析】（1）过点、作的垂线，垂足分别为、，通过解直角三角形求出、，利用勾股定理求出，即可解答； （2）连接并延长交于点，根据题意得到是的垂直平分线，证明，列出比例式即可解答； （3）若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：当时，证明，求出，即可解答；当时，证明，求得，，过作，垂足为，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， ，，， ，， 点是边的中点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 点是的三条中线的交点， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况： 当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图： ， ， ， ， ， ， 即， ，， 过作，垂足为， ， ， ， ， ； 综上，为或． 【点睛】本题考查三角形的综合运用，主要考查勾股定理、重心的性质、解直角三角形、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$