中考专题3 二次函数综合题(精讲册)-【练客中考】2025年甘肃中考数学提优方案

中考专题三 二次函数综合题（针对省卷27题） (省卷：5年5考) 考点线段问题（省卷：5年4考） 类型1单条线段最值问题 例1如图，二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,3),连接BC,点 P是直线BC上方抛物线上一动点. (1)求二次函数和直线BC的表达式； (2)如图1，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标： (3)如图2，过点P作PM∥x轴，交CB于点M,求线段PM的最大值及此时点P的坐标： (4)如图3，过点P作PM⊥BC,垂足为M,求线段PM的最大值及此时点P的坐标 中考专题 图1 图2 图3 例1题图 )通性通法 二次函 平行于y轴的线段最值问题解题思路：点P和点Q的横坐标相等，则PQ的长等于点P的纵坐标减 综 去点Q的纵坐标，再利用二次函数性质求出线段最值. 平行于x轴的线段最值问题解题思路：将平行于x轴的线段转化为平行于y轴的线段.这里可以利 题 用相似三角形或者三角函数值，例如解图1中的△PMQ∽△OBC,从而得到PM与PQ的数量关系， 从而将PM的最值问题转化为PQ的最值问题；或者利用在不同直角三角形中，相等的角对应的三 角函数值相等得到PM与PQ的数量关系，最后利用二次函数性质求出线段最值， 垂直于某条直线的线段最值问题解题思路：化“斜”为“直”，即将PM的最值问题转化为PQ的最值 问题，利用相似三角形或者三角函数值将其转化，最后利用二次函数性质求出线段最值， 【自主作答】 47 练区中害■甘肃数学精讲册 类型2PA+PC型线段和最小值问题（将军饮马模型） 圆2如图，已知二次函数)=-子-亭+2的图象与x辅分别交于A,B两点，与)辅交于点C,点 P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，求点P的坐标 【自主作答】 A 例2题图 中 类型3周长最小值问题 例3如图，直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点，P是y轴上的一个动点，当△PAB 专 的周长最小时，求点P的坐标 三 【自主作答】 二次函数综合题 70 例3题图 )通性通法 如图1，两定点A,B在直线I同侧时，在直线I上找一点P,使得PA+PB最小，最小值为A'B. 如图2，点P在∠AOB内部，在射线OA上找点C,在射线OB上找点D,使得△PCD的周长最小，最 小值为P'P 如图3，点P,Q在∠AOB内部，在射线OA上找点C,在射线OB上找点D,使得四边形PQDC的周长 最小，最小值为P'Q'+PQ. 如图4，两定点A,B在直线I同侧时，MN=a,且线段MN在直线I上滑动，使得AM+BN最小，最小 值为AB” 图 图2 图3 图4 48 第三章盖鼓练运中密■ 类型4BD+CE型线段和最小值问题（逆等线模型） 例4[2022省卷28题节选]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=人(x+3)(x-)与x轴交于A, 4 B(4,0)两点，点C在y轴上，且OC=OB,D,E分别是线段AC,AB上的动点（点D,E不与点A,B,C重合）. (1)求此抛物线的表达式： (2)如图2，连接BD,CE,当CD=AE时，求BD+CE的最小值， 图 图2 例4题图 )通性通法 逆等线模型的一般情况：①题目中有双动点：②首尾不相连的等线段. 如图，点D,E在AB,AC边上运动，且AD=CE,求CD+BE的最小值. 中考专题 ①双动点：E和D:②首尾不相连的等线段：AD=CE,符合逆等线模型. 解题思路：动点运动过程中，始终有AD=CE,利用AD=CE构造全等，从而将要 求和的两条线段拼接在一起，转化为两定一动的问题，就是我们熟悉的“将军饮马”问题了， 【自主作答】 二次函数综合题 49 练区中密■甘肃数学特讲册 @针对训练) 2.[2023省卷27题]如图1，抛物线y=-x2+bx 1.[2024省卷27题]如图1，抛物线y=a(x-h)2+k 与x轴交于点A,与直线y=-x交于点 交x轴于0，A(4,0)两点，顶点为B(2,23) B(4,-4),点C(0,-4)在y轴上.点P从点B 点C为OB的中点， 出发，沿线段B0方向匀速运动，运动到点O (1)求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式： 时停止。 (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线于 (1)求抛物线y=-x2+bx的表达式： 点E.求线段CE的长； (2)当BP=22时，请在图1中过点P作 (3)点D为线段OA上一动点(0点除外)，在 PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四 OC右侧作平行四边形OCFD 边形OCPD的形状，并说明理由： ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的 (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点 坐标： O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方 ②如图3，连接BD,BF,求BD+BF的最小值， 向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运 动.连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值 中考专题三 图1 图2 图3 第1题图 二次函数综合题 图】 第2题图 50 第三章属数练国中害■ 3.[2021省卷28题]如图，在平面直角坐标系 4.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0), 中，抛物线y=了+低+c与坐标轴交于 B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,BC.点 P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的 A(0,-2),B(4,0)两点，直线BC:y=-2x+8 横坐标为m 交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上 (1)求此抛物线的表达式： 一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G,DG (2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M,PM交BC 分别交直线BC,AB于点E,F 于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在 (1)求抛物线y=+:+c的表达式： 这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是 等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐 (2)当CF=时，连接BD,求△BDF的面积： 标：若不存在，请说明理由： (3)①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩 (3)过点P作PN⊥BC,垂足为N.请用含m的 形时，求点H的坐标； 代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值 ②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足 时PWN有最大值，最大值是多少？ PH=PC+2,求△PHB周长的最小值， 考专题 B B 第4题图 第3题图 二次函数综合题 51 练富中害■甘肃数学特讲册 考点2面积问题（省卷：2020.28） 例5如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点，在第二象限上的抛物线上 是否存在一点P,使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值：若不存 在，请说明理由. 例5题图 解法1补形法 解法2分割法 解法3铅锤法 41 EO 0 中考专题三 【自主作答】 【自主作答】 【自主作答】 二次函数综合题 52 第三章盖数练国中害■ @针对训练) 6.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过 5.[2020省卷28题]如图，在平面直角坐标系 点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点 中，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A,B两点， P是直线BC上方的抛物线上一动点， 交y轴于点C,且OA=2OC=8OB.点P是第 (1)求二次函数y=a.x2+2x+c的表达式： 三象限内抛物线上的一动点， (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得 (1)求此抛物线的表达式： 到四边形POPC.若四边形POPC为菱形，请 (2)若PC∥AB,求点P的坐标： 求出此时点P的坐标： (3)连接AC,求△PAC面积的最大值及此时点 (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB P的坐标. 的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形 ACPB的最大面积 第5题图 第6题图 中考专题 二次函数综合题 53微专题一平面直角坐标系中的面积问题 m=--2y2+3pW 5P0 4 1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.C8.C 9.12 -2-2+3=--2+号 中考专题三二次函数综合题 3 -<0.0<1<4」 例1解：(1)设二次函数的表达式为y=x2+bx+c, 把A(-1,0),B(4,0),C(0,3)代入，得 3 :当：=2时，PW有最大值，最大值为号 4=- r0=a-b+3 4 0=16a+4b+3,解得 9 2,. 1b= c=3 4 例2解：如解图，连接AC交对称轴于点P,连接PB,P c=3 点即为所求 4 三次函数的表达式为y=-子+骨+3 9 2 由二次函数y=-号-子+2，得C(0,2). 设直线BC的表达式为y=x+b, 令y=0.则-号-亭+2=0， 把B(4,0),C(0,3)代入， 解得x,=-3,1=1, 精讲册 得代+6 ,解得 4 故A(-3,0),B(1,0), Lb=3 故对称轴为直线 3 直线BC的表达式为y=-子x+3 x=31-1 2 (2)设Pu,-+是+3).则0，-子+3 3 设直线AC的表达式为 例2题解图 y=kx+b(k≠0). m=(-++3)-(-子+3) 9. 则{，3张+6=0 2 k= 1b=2 解得 3 -*3=--2+3 b=2 -<0.0<1<4, 六直线AC的表达式为y=3+2 把x=-1代人直线AC的表达式， 当1=2时，PQ有最大值，最大值为3， 点P的坐标为(-1，学》 4 解得y= P2》 (3)如解图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于点Q 例3解：由题意，联立 y=x+1 y=x2-4x+5 交x轴于点E, PM∥x轴..∠PMQ=∠CBO, 解得=1 m∠pm0=m∠ca0岛-8胎=子 ,点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(4,5)， AB=√(4-1)2+(5-2)7=32. P0=-u-2y+3. 如解图，作点A关于y pm=号P0=--2P+3= 轴的对称点A',连接 A'B与y轴交于点P, -(1-2)2+4.-1<0,0<1<4, 则此时△PAB的周长 当1=2时，PM有最大值，最大值为4， 最小 P2号. 点A'的坐标为 (-1,2),点B的坐 标为(4,5)， 例3题解图 设直线A'B的表达式为y=x+b(k≠0)， 3 则{：4+6=2 k5 4+6=5,解 131 b= 图1 图2 例1题解图 直线AB的表达式为y子+号 (4)如解图2，过点P作PE⊥x轴，交BC于点Q, 13 交x轴于点E,:∠MPQ=∠CBO, 当x=0时，y=5 .cos L MPQ=cos LCBO,PO=BC=5 PM OB 4 ∴△PMB的周长最小时，点P的坐标为(0，号). 例4解：)：抛物线y=(x+3)(x-a)与x轴交 ·点P的坐标为(-2·4 315 于A,B(4,0)两点， ∴(4+3)(4-a)=0,解得a=4, =+3)-4(或y=子2-子-3) 1 (2)如解图，在AB下方作∠EAQ=∠DCB且 图1 图2 AQ=BC.连接EQ,CQ. 例5题解图 AE=CD,∴.△AEQ≌△CDB,∴.EQ=BD, 解法2分割法 :当C,E,Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最 解：存在.B(-3,0),C(0,3), 小，最小为CQ ,直线BC的表达式为y=x+3. 过点C作CH⊥AQ,垂足为H. 如解图2，过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于 :0C⊥0B,0C=0B=4, 点F .∠CBA=45°，BC=42. 设P(n,-2-2n+3),则F(n,n+3)(-3<n<0). 精讲册 ∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°- ∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°， Am+SPFE+PF OE- AC=0M+0C=32+4=5. p(陇+0E)=号p,0B=--2+3 4M=0m-号4c5g 0=+40=A÷c5+4:B2 2 - 3 <0当n=-时，Sam最大 2 2 0网V09+3=m Sam的最大值为此时，--2n+3-宁 即BD+CE的最小值为√97. 点P的坐标为(-昌孕》 解法3铅锤法 解：存在.如解图3，过点P作x轴的垂线，与BC 交于点F,设P(m,-m2-2m+3),同(2)得F (m,m+3)(-3<m<0) 5m=pf.0B=-m2-2m+3-(m+ 3x3-2+3m)=-(m+ 3)+23 8 0 2 例4题解图 号0， 例5解法1补形法 解：存在，如解图1，过点P作PE⊥x轴于点E, 设P(1,-2-21+3)(-3<1<0). 当号时 SAr最大. 9 SAPW=S的Ew-SaBc=S助无m0一2， S。的最大值为 例5题解图3 若S国边nm有最大值，则S。Pc的值就最大， Sau=SaE+Sax=子BE,PE+ 此时，-m2-2m+3=15 4 0e(PE+00)=:+3)(-f-2+3)+ 点P的坐标为(-. -0--2+3+3)-- .9 针对训练 21+2 1.解：(1)：抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为B(2,23), 927 .y=a(x-2)2+25 子<0当1=-名时.Sao最大. 、3 y=a(x-2)2+23交x轴于点A(4,0) S的最大值为号，受。 和+25=0，解得a=-号 Sm的最大值为}+骨-号受 =-(-2y+2a (2)如解图1，过点B作BG⊥OA于点G 15 此时，-2-21+3= CH⊥OA,CH∥BG. 41 B(2,23),∴0G=2,BG=23 ,∴，PD=DH+PH=2+2=4. 点C为OB的中点，∴.C(13) C(0,-4)∴.0C=4,PD=0C. OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴.PD∥OC, Cn=2B=5,0n=20G=l .四边形OCPD是平行四边形. 当=1时，m=-号x1-2+2=3 (3)由题意，得BP=OQ,如解图2，连接BC, 在OA上方作△OMQ,使得∠MOQ=45°，OM=BC, cB=Bm-Cm=3y5--号 连接BM.OC=BC=4,BC⊥OC, ∴∠CBP=45°..∠CBP=∠MOQ=∠BOQ=45°. (3)①当口OCFD的顶点F落在抛物线上时， BP=OQ,∠CBP=∠MOQ,BC=OM, :点F,C的纵坐标都等于5， ∴.△CBP≌△MOQ(SAS),∴.CP=MQ, -x-2y+25 .CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当且仅当M,Q,B三点 共线时等号成立)， ,CP+BQ的最小值为MB 解得x1=2-2(不合题意，舍去)，x2=2+2 :∠M0B=∠M0Q+∠B0Q=45°+45°=90°， .F(2+2,3). MB=0M+0B=42+(42)2=45. ②，：四边形OCFD是平行四边形， ∴OB∥DF,OC=DF.OC=BC,∴BC=DF 即CP+BQ的最小值为4√5. 精讲册 如解图2，连接CD,·BC∥DF, ∴四边形BCDF是平行四边形，∴.BF=CD 作点B关于OA的对称点M,连接BM,交CF于点 N,交OA于点G.连接DM,CM BM=2BG=2×23=43, ∴.OA垂直平分MB,∴.BD=DM, ..BD+BF=DM+CD≥CM. 当C,D,M三点共线时，DM+CD=CM, 图1 图2 即BD+BF的最小值等于CM的长. 第2题解图 BM⊥OA,OA∥CF,.BM⊥CF, C是OB的中点， 3解：(1)：抛物线y=宁+低+c过40，-2). cN=20G=1,BN=2BG=3, B(4,0)两点， 3 六.NM=BM-BN=45-3=33. ∫c=-2 b=- “8+46+e=0解得 2 CM=√CW+Nm=2+(33)2=2万. c=-2 即BD+BF的最小值为2√7 y--2 (2)B(4,0),A(0,-2),∴.0B=4,0A=2. GF⊥x轴，OA⊥x轴， ∴.在RI△BOA和R△BGF中， 1 mLm器器子高 GB=1,∴OG=0B-GB=4-1=3. 图1 图2 第1题解图 当=3时=×9-}×3-2=-2， 2.解：(1)：抛物线y=-x2+bx过点B(4,-4), ∴D(3,-2),即GD=2, .-16+46=-4,.6=3, .y=-x2+3x. 六FD=GD-GF=2-2=2 13 (2)四边形OCPD是平行四边形.理由如下： 如解图1，设PD交x轴于点H,连接BC sm=f.ac=×号x1= :点P在直线y=-x上， (3)①如解图1，过点H作HM⊥EF于点M. .∴.OH=PH.∠POH=45, ,四边形BEHF是矩形， :0C=BC=4,.0B=42 ∴EH∥BF,EH=BF,∴.∠HEF=∠BFE. ∠EMH=∠FGB=90°， BP=22.∴OP=0B-BP=22. ∴△EMH≌△FGB(AAS), 0m=m-号ae号2a-2 ∴.MH=GB,EM=FG. 当xn=2时，DH=yn=-22+3×2=2, HW=0c0G=6B=0B=2 A(0,-2),B(4,0), AQ°=AW+QM=(m+3)2+(-m+4)2= 1 ·直线AB的表达式为y=2-2 2m2-2m+25,4C=52, .2m2-2m+25=5,解得m,=1,m=0(含去）， 1 设E(a,-2a+8),F(a,2a-2), 此时点Q的坐标为(1,3) ③当AQ=CQ时，即AQ=CQ, 由MH=BG得，a-0=4-a,∴.a=2, .E(24),F(2,-1),.FG=1. 有2m2-2m+25=2m2,解得m=25( (舍去) .EM=FG,..4-yn=1, y=3,.H(0,3). 综上所述，满足条件的点Q的坐标为(5,2 21 ②如解图2.BH=√0m+0B=3+4=5. :PH=PC+2,.△PHB的周长=PH+PB+HB= 8-52)或(1,3) 2 PC+2+PB+5=PC+PB+7. 要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小 （6)设点P(m.写+写+4).0m,-m+40< PC+PB≥BC, m<4) ∴当点P在BC上时，PC+PB=BC的值最小 1 1 4 BC=√0C+0B=82+4=45, 则PQ=-3m+ 多 3m+4+m-4=-} 3m+3m, .△PHB周长的最小值为45+7 0C=0B=4,,△OCB为等腰直角三角形， ∴，∠QBM=45°，∴，∠PQN=∠BQM=45, m=m:6-号(-言+号)=- 4 (m- 6 2,3 :-2<0,当m=2时，PY有最大值，最大值 6 为 图 图2 5.解：(1)抛物线y=aw2+bx-2,则c=-2, 第3题解图 4.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-4)= 故0C=2.01=20C=80B0A=4,0B= 2 a(x2-x-12)=ax2-ax-12a(a≠0)， 六4(-4.0)，B(20,C(0,-2). .y=ax'+bx+4, -12a=4,解得a=-3 1 把A,B两点坐标代入y=ax2+x-2, 解得a=1,b=2 7 =+4 (2)存在 y=+7-2 由题意知，点C的坐标为(0,4)： (2)PC∥AB,C(0,-2),点P的纵坐标为-2. 设直线BC的表达式为y=kx+4(k≠0)， -2=+子-2.解得名=-子。=0（合去） 把B(4,0)代入，可得k=-1, “直线BC的表达式为y=-x+4 -子-2 设Q(m,-m+4)(0<m<4), 当△ACQ为等腰三角形时，分三种情况讨论： (3)设直线AC的表达式为y=x-2(片≠0). ①当CQ=AC时，如解图， 把A(-4.0)代入可得k=-宁 过点Q作QE⊥C0,垂足 为E. 直线4C的表达式为y=宁-2 .CQ'=EQ+CE2 =m2+ 如解图，过点P作x轴的垂线，垂足为D,交线段AC [4-(-m+4)]2=2m2, B 于点E,过点C作CM⊥PE,垂足为M. AC=0A2+0C2=32+49 =5, 第4題解图 设点Pa,i+子n-2)(-4<m<0. 52台 2m=5解得m之，%。 则点E(m,-m-2). 此时点Q的坐标为学8一 E=Pm-D=-(m+子m-2)-(分+2) ②当AQ=AC时， -m2-4m, Se=Sm+Se=号PE·AD+pE:MC 即当点P的坐标为（号，宁）时，因边形ACPB的最 =方PE,A0=号x(-m2-4m)x4=-2m2- 大面积为？ 8m=-2(m+2)2+8. 当m=-2时，S么Pc最大=8 此时m+3m-2=(-2)+7x(-2)-2=-5, 7 .P(-2,-5) 图 图2 OB 第6题解图 第14讲二次函数的实际应用 重难点突破 例1能 例2解：(1)由题意可得，抛物线的对称轴是直线 第5题解图 x=10+20=15. 精讲册 2 6.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数表达式， 抛物线的顶点为(15,9). 得26+60拼 .可设抛物线的表达式为y=a(x-15)2+9. 1c=3 抛物线过(10,8)， y=-x2+2x+3. (2)若四边形POP'C为菱形，则点P在线段C0的 25a=-1a=-25 垂直平分线上， 如解图1，连接PP,则PE⊥CO,垂足为E 抛物线的表达式为y= 25x-15)2+9. yC0,3)50,点P的飘坐标为号， 1 (2)令x=5,则y=-255-15)2+9=5, 当y=时，即-2+2x+3= ∴，水火箭距离地面的竖直高度为5m. 甘肃5年中考真题及拓展 解得名2而2二（不合题高，合. 1.2 2 2.解：(1)根据题意可得，抛物线过(0,10)和(3,7)， 点P的坐标为2多》。 对称轴为直线x=1, 设y关于x的函数表达式为y=ax2+br+c(a≠0)， (3)如解图2，过点P作y轴的平行线，交BC于点Q, re=10 交x轴于点F,设P(m,-m2+2m+3)(0<m<3). 9a+3b+e=7 ra=-1 解得b=2, 设直线BC的表达式为y=x+b(k≠0)， 将点B和点C的坐标代人函数表达式，得 -2a (c=10 =0解得化 .y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. 16=3 (2)在y=-x2+2x+10中， ,直线BC的表达式为y=-x+3, 令y=0,得0=-x2+2x+10, .点Q的坐标为(m,-m+3), 解得x=1+1或x=-√1+1（含去）， ∴PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. 运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为 当y=0时，-x2+2x+3=0. (、1T+1)m 解得x1=-1,x=3, 3.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x-3)2+3 0A=1,AB=3-(-1)=4, (a≠0)， 六Sun=Sae+Sam+Sam=7AB.0C+ 1 把(0，)代入函数表达式，得号=a(0-3)+3。 P00F+P0,FB=3x4x3+(-m2+3m) 解得a=一分 x3=-3 3 (m、 75 4 2 )）2+ 8 六y关于x的函数表达式为y=-27x-3)+3 ?一是<0当m=时，四边形40PB的面积最 (2)该女生在此项考试中得满分.理由如下： 大，最大值为及 令y=0,则-x-3》2+3=0. 81 解得x,=7.5,x2=-1.5(含去) 当a=时，-㎡+2m+3= ,7.5>6.70, 4 ·该女生在此项考试中得满分。 9