精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

嘉祥锦江高 2022 级高三上半期数学试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结 束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存. 2．选择题部分必须用 2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 第Ⅰ卷 （选择题，共 58 分） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 已知 ，则“ ”是“”’的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知等比数列中，，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3. 在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线 的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ） A. −2 B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ） A. 9 B. C. 12 D. 8. 从重量分别为 1，2，3，4，… ，8 克的砝码（每种砝码各 2 个）中选出若干个，使其总重量恰为 9 克的方法总数为（ ） A. 48 B. 56 C. 64 D. 72 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射 击比赛，得到 8 名同学的射击环数如下：9，8，6，10，9，7，6，9 （单位：环），则这组样本数据的（ ） A. 极差为 4 B. 平均数是 8 C. 下四分位数是 9 D. 方差为 16 10. 已知曲线的方程为，曲线的方程为，则下列说 法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线过点(1, a) C. 若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为 D. 若曲线与无交点，则或 11. 已知各项都是正数的数列{an}的前 n 项和为Sn ，且，则（ ） A. ∀n ∈， B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知非零向量满足，则与的夹角为_____． 13. 若直线与曲线相切，则的最大值为______ 14. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为______ 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知 α，β为锐角，且角 α 的终边经过点 . （1）求 的值； （2）若 ，求sinβ 的值. 16. 如图，正四棱锥 的所有棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的余弦值； （2）是否存在点，使得直线与平面平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. （1）求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； （2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 18. .已知函数f (x )= xln (x + a) . （1）当a = 0 时，求 f (x ) 的极值； （2）若 f (x )存在两个极值点x1，x2 (x1 < x2 ) . （i）求 a 的取值范围； （ii）求f (x1 ) 的取值范围. 19. 已知椭圆，椭圆与椭圆具有相同的离心率，且经过点． （1）求的标准方程； （2）若的焦点在x轴上，为上一点，A、B两点在上，且线段PA、PB的中点都在上． （i）当点P运动时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由； （ii）记，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥锦江高 2022 级高三上半期数学试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结 束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存. 2．选择题部分必须用 2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 第Ⅰ卷 （选择题，共 58 分） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 已知 ，则“ ”是“”’的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式化简，解分式不等式化简，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以，即； 因为，所以且， 所以或，即； 因为是的真子集， 所以“ ”是“”’的充分不必要条件， 故选：A. 2. 已知等比数列中，，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项性质直接求解. 【详解】由等比数列中，， 所以，则. 故选：D 3. 在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义推得复数对应的点表示的轨迹，数形结合即可求得. 【详解】由复数的虚部为3，可知在复平面内，复数对应的点在直线上， 又复数满足条件，可得复数表示的点在以为圆心，半径为1的圆上. 而则表示直线上的点到圆的点的距离. 如图所示，则当点共线(在之间)且与直线垂直时距离最小， 最小值为. 故选：B. 4. 已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据图像的平移求出，最后再根据的图象与的图象关于 轴对称列式求解. 【详解】由题意得， 所以， 因为的图象与的图象关于 轴对称， 所以，即， 所以或（不合题意）， 解得：，又因为，所以的最小值为. 故选：B 5. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后利用球的体积公式求结论. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以， 因此点就是三棱锥的外接球球心， 在平面内过点作，为垂足， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 设球半径为，则， 又，则， 因为，，， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的体积为． 故选：C． 6. 设双曲线 的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ） A. −2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，且，求得，结合双曲线的定义求得，即可求得直线的斜率. 【详解】 如图所示，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为， 可得，又因为为的中点，为的中点， 所以，，， 所以， 又，得， 由双曲线的定义可得，所以， 所以，所以， 故选：A 7. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ） A. 9 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数和都关于点对称求解，即可得答案. 【详解】由已知得，所以关于点对称， 令，则 ， 所以关于点 对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， ， 故选：. 8. 从重量分别为 1，2，3，4，… ，8 克的砝码（每种砝码各 2 个）中选出若干个，使其总重量恰为 9 克的方法总数为（ ） A. 48 B. 56 C. 64 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，按照取的砝码个数讨论，结合组合数代入计算，即可得到结果. 【详解】取两个砝码时，有四种情况，方法有种； 取三个砝码时，有，六种情况， 方法有种； 取四个砝码时，有四种情况， 方法有种； 取五个砝码时，有，方法有种， 所以一共有种情况. 故选：C 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射 击比赛，得到 8 名同学的射击环数如下：9，8，6，10，9，7，6，9 （单位：环），则这组样本数据的（ ） A. 极差为 4 B. 平均数是 8 C. 下四分位数是 9 D. 方差为 16 【答案】AB 【解析】 【分析】由平均数、上四分位数、极差、方差的概念计算后逐一判断即可. 【详解】将这组数据从小到大排序得， 对于A，这组数据的极差为，故A正确； 对于B，平均数为，故B正确； 对于C，因为，所以下四分位数为，故C错误； 对于D，方差为， 故D错误． 故选：AB． 10. 已知曲线的方程为，曲线的方程为，则下列说 法正确的是（ ） A. 曲线的焦点坐标为 B. 曲线过点(1, a) C. 若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为 D. 若曲线与无交点，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，可得判断A；把点代入圆的方程，可判断B；所以圆过点，设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，求得的坐标，代入，可判断C；根据圆与抛物线的位置关系，联立方程组，结合，可判断D. 【详解】对于A，由曲线，抛物线的焦点坐标为，故A错误； 对于B，圆的标准方程为：， 点代入圆的方程得，所以圆过点，故B正确； 对于C，设被所截得的线段为，中点为， 联立方程组，整理得，可得， 则，故，所以， 代入，可得，解得，故C正确； 对于D，曲线与无交点，则可能圆在曲线的上方，也可能在下方， 如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点， 联立方程组，整理得， 由，解得， 当圆在曲线的下方时， 因为，所以且，解得， 综上所述：曲线与无交点，则或，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知各项都是正数的数列{an}的前 n 项和为Sn ，且，则（ ） A. ∀n ∈， B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求出，再将转化为,即可证明；对于B：利用A的结论求出，再利用基本不等式分析证明；对于C：取特值，即可判断正误；对于D：分析可得和，结合裂项相消法运算求解. 【详解】当时，则，且，解得：； 当时，，整理得：； 所以是等差数列，由等差数列的中项定义可得：，故A正确； 因为，且，可得， 则，故B正确； 因为，故C错误； 因为， 可得， 又因为当时，则， 可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：利用放缩可得和，结合裂项相消法运算求解. 第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知非零向量满足，则与的夹角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得. 【详解】由，故， ， 又，故. 故答案为：. 13. 若直线与曲线相切，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在处的切线，从而得到关于的表达式，进而构造函数，利用导数求得其最大值，从而得解. 【详解】依题意，设直线与曲线的切点为， 对于，，则， 所以曲线在处的切线为，即， 又切线为，所以， 则， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则的最大值为. 故答案为：. 14. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ， c = 2 ，则 的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正弦定理得到，再利用同角三角函数基本关系式，以及余弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即, 所以 . 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知 α，β为锐角，且角 α 的终边经过点 . （1）求 的值； （2）若 ，求sinβ 的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义求值，再结合诱导公式化简单求值； （2）利用平方关系求值，再结合拆角和两角差正弦公式，即可求出结果. 【小问1详解】 由是锐角，且终边经过点，可得， 再由； 【小问2详解】 若，是锐角，则， 由， 代入，，可得： ， 故. 16. 如图，正四棱锥 的所有棱长均为，为侧棱上的点，是中点. （1）若是中点，求直线与平面所成角的余弦值； （2）是否存在点，使得直线与平面平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为 【解析】 【分析】（1）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，得到，求得平面的法向量为，根据直线与平面平行，利用，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为的中点，可得，， 可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 若直线与平面平行，可得，即可得， 解得，所以， 即存在点 ，使得直线与平面平行，此时的值为. 17. 我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. （1）求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； （2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质可求当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）根据二项分布可求的分布列和数学期望. 【小问1详解】 由题知：第三组通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以 所以，当时，第三组进入决赛概率最大为. 【小问2详解】 由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为. 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以随机变量的分布列为: . 18. .已知函数f (x )= xln (x + a) . （1）当a = 0 时，求 f (x ) 的极值； （2）若 f (x )存在两个极值点x1，x2 (x1 < x2 ) . （i）求 a 的取值范围； （ii）求f (x1 ) 的取值范围. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）（i）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 （1）当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 （i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：对于函数极值点的个数的相关问题，一般求导后，构造函数，再利用导数研究函数的单调性、极值，分析新函数的零点个数进而得解． 19. 已知椭圆，椭圆与椭圆具有相同的离心率，且经过点． （1）求的标准方程； （2）若的焦点在x轴上，为上一点，A、B两点在上，且线段PA、PB的中点都在上． （i）当点P运动时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由； （ii）记，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）（i）是，定值；（ii） 【解析】 【分析】（1）由离心率的定义，椭圆的性质，点在椭圆上组成方程组解出，再分焦点在轴上与在轴上上分别求出即可； （2）（i）设，由中点坐标公式结合题意代入椭圆方程化简可得直线的方程为，再联立直线和椭圆的方程，用韦达定理表示出和点到直线的距离公式表示到直线的距离，最后由三角形面积公式求出面积即可；（ii）用（i）的韦达定理表示出和，再由向量数量积的坐标表示，然后结合的范围和三角形的面积公式求出即可； 【小问1详解】 由题意，椭圆的离心率为， ①当的焦点在轴上时，设方程为，则有， 解得，的方程为； ②当的焦点在轴上时，设方程为，同理可得， 的方程为； 综上，的标准方程为或. 【小问2详解】 （i）因的焦点在轴上，故的标准方程为 设，线段的中点在椭圆上， 故有， 整理得：， 将代入整理得：， 同理可得：， 所以点满足方程，故直线的方程为． 联立直线和椭圆的方程，消去得：， 代入，得：， ， ， 当时，， 点到直线的距离， 的面积， 当时，不妨， 则． 综上，的面积为定值. （ii）由 得：， 由得， 于是， 因，所以， 又， 所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问第一小问在求三角形面积是否为定值时，可采用直曲联立，用韦达定理表示出三角形边长，再由点到直线的距离公式求出三角形的高，最后用三角形面积公式结合题意化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $