精品解析：海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

海南省农垦实验中学2025届高三12月月考 数学 试卷考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A，利用交集的定义可得出集合. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据的实虚部可知对应的点的坐标. 【详解】因为，所以对应的点的坐标是， 故选：A. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程首先求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：C 4. 如图，在长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得，即可得结果. 【详解】如图，以为轴，建立空间直角坐标系， 设，由，则， 所以. 因为为的中点，所以， 所以，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D 5. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，由向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】向量，，，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程求出的值，再根据可求结果. 【详解】因为渐近线方程为，所以， 所以. 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式，商数关系求解. 【详解】因为， 所以， 所以原式. 故选：A. 8. 已知函数若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出分段函数的图像，然后把方程根的个数转化为函数的交点个数，数形结合求解即可. 【详解】因为方程有3个实数解，所以与的图像有三个交点， 因为 所以做出与的大致图像，如图， 由图可知， 故选：D. 二､多选题 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则. C. 若，则 D. 若，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间直线和平面平行、垂直的判定与性质分别进行判断即可． 【详解】对于A：因为，可知在平面内存在直线，使得，如图所示， 又因为，且，则，所以，因此A正确； 对于B：如图所示：，但，故B错误； 对于C：若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确. 对于D：，如图所示，，故D错误. 故选：AC. 10. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，的最大值为，B正确； 对于C，设的顶点，则， 可得的面积， 所以的面积的最大值为12，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点， 当点此交点之一时，， 所以存在点，使得，D正确. 故选：BCD. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值计算判断AB；利用奇函数的性质求解判断CD. 【详解】在上的奇函数满足，当时，， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，，函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，得，则， 因此函数的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，，当时，，设，则， 于是，因此， 所以，D正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 在等差数列中，若，则的值为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 则， 故答案为：40 13. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数的互化，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由题得， 故. 故答案为： 14. 若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：    为正四棱台， 连接，得， 过作，过作， 得：，, 在直角三角形中，得， 得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为， 所以体积 故答案为：. 四､解答题 15. 已知的内角的对边分别为. （1）证明：； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，再根据三角函数恒等变换公式，化简求解角的关系式； （2）根据正弦定理求，再根据（1）的结果和正弦定理求，，，最后代入三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知，， 即，因为，且， 所以，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 而，则C为锐角， ， 则， ， 所以. 16. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）可得，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 当时，, 当时，， 又符合上式，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 17. 如图， 在四棱锥中，面，，且，为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：设E为CD的中点，连接AE，则， 结合，，可知四边形为矩形，故； 又面，面，故, 以点A为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 又，则， 即，而平面，故平面； （2）存在, 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）结合（1），利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设在线段上存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是， 则直线和平面所成角的正弦值是； 由（1）知，设， 则，， 故， 设直线和平面所成角为， 则， 即得，解得或（舍）， 故在线段上存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是，且. 18. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. （1）已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； （2）现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： （3）为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 【答案】（1）“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为人、人 （2） （3）班级成绩优于年级成绩 【解析】 【分析】（1）根据题设中已知区间上的概率可求及，故可求成绩优秀的人数和不及格人数； （2）根据条件概率的概率公式可求同学丙入选的概率： （3）根据小概率几乎不发生可判断该班成绩由于年级成绩. 【小问1详解】 由已知， “成绩优秀”的概率为： . “不及格”的概率为： ， 所以“成绩优秀”的人数为人， “不及格”的人数为人. 【小问2详解】 设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选， 则， 【小问3详解】 由条件知年级中， 而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了， 这说明班级成绩优于年级成绩. 19. 已知. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导可得，又，可求切线方程； （2）求导得，分，，三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，可得 所以，又， 所以切线方程：，即. 【小问2详解】 由已知得 1.若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在取得最小值，符合题意. 2.若， i）若即， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调递增， 所以在取得最小值， ii）当，，所以无极值，不符合题意， iii）当即， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调递增， 所以在取得极小值符合. 3.若， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 在取得极小值，符合题意； 综上所述：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省农垦实验中学2025届高三12月月考 数学 试卷考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则. C. 若，则 D. 若，则. 10. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 当时， 三､填空题 12. 在等差数列中，若，则的值为__________． 13. 若，则______. 14. 若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 四､解答题 15. 已知的内角的对边分别为. （1）证明：； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 16. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和为. 17. 如图， 在四棱锥中，面，，且，为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角的余弦值是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. （1）已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； （2）现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： （3）为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 19. 已知. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $