精品解析：山东省济宁市任城区济宁市第一中学2024-2025学年高二上学期1月月考数学试题

济宁市第一中学2024—2025学年第一学期高二阶段性检测 数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，， ，，，共6个对数，其中为整数的有2个， 所以概率. 故选：B 2. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C． 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和性质求得，进而可得的值. 【详解】由已知，， 所以，故． 故选：D 4. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程写出渐近线，即得参数值. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以渐近线方程为，即，所以． 故选：D 5. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，判断出两圆的位置关系，即可得到结果. 【详解】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条． 故选：B 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 7. 已知平行六面体中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 8. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用累加法求得，进而有，结合对勾函数的单调性及确定的最小值. 【详解】由题设， 当时，等式两边分别相加，得， 因为，则，而满足上式， 所以，即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 当时，， 当时，， 因为，所以的最小值为． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可得，计算即可；对于B，由互斥事件的概率公式计算即可；对于C，由事件的独立性定义判断即可；对于D，由事件的独立性的概率公式计算即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 则相互独立，故C正确； 对于D，若相互独立，则相互独立，且， 所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的斜率是 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 C. 若线段的中点为，则一定平行于平面 D. 四面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求点到面的距离；对于B：利用空间向量求线面夹角；对于C：利用空间向量证明线面平行；对于D：结合锥体体积公式求结论. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 对于选项A：点到平面距离为，故A正确； 对于选项B：设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为， 所以直线与平面所成角的余弦的取值范围为，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，则， 可得，可知， 且平面，所以一定平行于平面，故C正确； 对于选项D：由题意知，所以四面体的体积为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由得，解得， 又，故， 故答案为： 13. 已知向量，若共面，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量共面列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 三个向量共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，所以，解得． 故答案为： 14. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】设直线与直线的交点为，利用相似三角形可得，，由此解出的关系代入离心率公式即可. 【详解】如图，设直线与直线的交点为， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知三点在圆C上，直线， （1）求圆C的方程; （2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长． 【答案】（1） （2）直线与圆C相交，弦长为 【解析】 【分析】（1）圆C的方程为:，再代入求解即可； （2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可 【小问1详解】 设圆C的方程为:， 由题意得:， 消去F得: ，解得: ， ∴ F=-4， ∴圆C的方程为:. 【小问2详解】 由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径; 点到直线的距离，故直线与圆C相交， 故直线被圆C截得的弦长为 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量运算列出方程组，解之即得，从而得到结果； （2）根据题意，分与讨论，然后结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， 解得， 则； 【小问2详解】 因为，则． 当时， 数列的前项和为； 当时，数列的前项和为 ． 故. 17. 一个不透明的口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）记第一个球摸到白球为事件，第二个球摸到白球为事件，得到事件与事件相互独立，结合互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：记2个白球分别白1，白2，其中3个黑球分别为黑1，黑2，黑3， 则从中摸出两个球的基本事件有：（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白1，黑3），（白2，黑1），（白2，黑2），（白2，黑3），（黑1，黑2）（黑1，黑3），（黑2，黑3） 共有10种， 其中两球恰好颜色不同的有：（白1，黑1），（白1，黑2），（白1，黑3），（白2，黑1），（白2，黑2），（白2，黑3），有6种， 所以两球恰好颜色不同的概率为. 【小问2详解】 解：从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，记第一个球摸到白球为事件，第二个球摸到白球为事件，则事件与事件相互独立， 可得：, 两球颜色恰好不同的概率为. 18. 如图，在直四棱柱中，在棱上，满足在棱上（包括两端点），满足， （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形，结合线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 在棱上取，使得，连接， 因为，所以，且， 当时，，则，且， 所以，且， 所以四边形平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，则， 分别以射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，所以， 因为，所以，所以， 设是平面的法向量，则 设，则， 为平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 化简得，解得或， 因为，所以． 19. 已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，的面积的最大值为4，直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点，设直线和的斜率分别为，若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的面积的最大值联立方程组解得的标准方程为； （2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及直线和椭圆的位置关系求得，得出的面积的表达式并利用基本不等式可求得最大值. 小问1详解】 （1）设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由已知可得，解得 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如下图所示： 设点， 联立可得， 由题意知直线不过点，即． ，可得且． 由韦达定理可得， ，同理可得， ， 化简得，； 所以，即， 设直线过定点，则， 当且仅当，即当时，等号成立． 故的面积存在最大值，且最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁市第一中学2024—2025学年第一学期高二阶段性检测 数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 在等差数列中，若，则值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 圆与圆的公切条数为（ ） A 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知平行六面体中，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则相互独立 D. 若相互独立， 10. 一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的斜率是 B. C D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 C. 若线段的中点为，则一定平行于平面 D. 四面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，则_______． 13. 已知向量，若共面，则_______． 14. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知三点在圆C上，直线， （1）求圆C的方程; （2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长． 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 一个不透明的口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 18. 如图，在直四棱柱中，在棱上，满足在棱上（包括两端点），满足， （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 19. 已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，的面积的最大值为4，直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点，设直线和的斜率分别为，若，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$