广东省揭阳市揭西县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024-2025学年广东省揭阳市揭西县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列关系式中，y与x是反比例关系的是（　　） A．y＝4x B． C． D．y＝2x+1 2．（3分）方程x2﹣3x＝2中二次项系数，一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，﹣3，﹣2 B．1，﹣3，2 C．1，3，﹣2 D．1，3，2 3．（3分）如图，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，则对角线BD的长为（　　） A． B．6 C． D． 7．（3分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件（　　） A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD 8．（3分）如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg），它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时（　　）m/s． A．8 B．3 C．9 D．4 9．（3分）若函数y＝kx（k＞0）与函数的图象相交于A，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．k D．k2 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，，点E为AD上一点，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1（　　） A． B． C． D．2 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（3分）已知△ABC与△DEF的相似比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 　 　． 12．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　 　． 13．（3分）已知点A（﹣6，1），B（1，y1），C（3，y2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 14．（3分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 　 　米． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点　 　． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16．（7分）解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）3x2+x﹣5＝0． 17．（7分）如图，D，E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC．如果AD＝9，AC＝10，求EC的长． 18．（7分）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标（﹣2，1）． （1）以点O为位似中心，在y轴左侧画△DEF，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）点A的对应点D的坐标是 　 　． 19．（9分）如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为90°． （1）转动转盘，指针指向红色区域的概率是 　 　． （2）小华认为转盘上共有三种不同的颜色，所以自由转动这个转盘两次，能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色），你认为小华说得正确吗？为什么？（利用树状图或列表法说明） 20．（9分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能 21．（9分）如图，在△ABC中，BA＝BC，延长BO至点D，使得OB＝OD （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H （1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 　 　°； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若＝，请求出的值． 23．（14分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0） （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A B C D A A 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列关系式中，y与x是反比例关系的是（　　） A．y＝4x B． C． D．y＝2x+1 【答案】C 【分析】根据反比例的定义，逐一判断即可得出答案． 【解答】解：A．y＝4x不是反比例关系； B．由＝3可得不是反比例； C．y＝，故本选项符合题意； D．y＝2x+3不是反比例关系． 故选：C． 2．（3分）方程x2﹣3x＝2中二次项系数，一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，﹣3，﹣2 B．1，﹣3，2 C．1，3，﹣2 D．1，3，2 【答案】A 【分析】先整理，然后再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【解答】解：x2﹣3x＝5， x2﹣3x﹣3＝0， 所以二次项系数是1，一次项系数是﹣8， 故选：A． 3．（3分）如图，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看，是一个矩形． 故选：B． 4．（3分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质可得，，再代入计算可得答案． 【解答】解：由题意可得：，， ∴， 故选：B． 5．（3分）一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【解答】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近， ∴估计摸到白球的概率为8.2， ∴共有小球4÷2.2＝20（个）， ∴估计袋子里黑球的个数为20﹣4＝16（个）． 故选：A． 6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，则对角线BD的长为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝6， 故选：B． 7．（3分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件（　　） A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【解答】解：∵∠C是公共角， ∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等． ∵∠C＝∠C， 若再添加，即BC2＝AC•CD，可证明△CAB∽△CBD． 故选：C． 8．（3分）如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg），它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时（　　）m/s． A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝90代入计算即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为v＝， ∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s； ∴k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为v＝， 当m＝90kg时，v＝， ∴它的最快移动速度是6m/s． 故选：D． 9．（3分）若函数y＝kx（k＞0）与函数的图象相交于A，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．k D．k2 【答案】A 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S△ABC＝2S△AOB＝|k|． 【解答】解：设点A的坐标为（x，y）， 故△ABO的面积为， 又∵△ABO与△CBO同底等高， ∴△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝8． 故选：A． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，，点E为AD上一点，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求出BC＝3，进而求出CG＝5，证明△BFG∽△DFC即可求出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，AB∥CD， 在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD6， ∴， 解得：BC＝3（舍去负值）， ∵AG＝1， ∴GB＝AG+AB＝4， 在Rt△BCG中，， ∵AB∥CD， ∴∠GBF＝∠CDF， ∵∠BFG＝∠DFC， ∴△BFG∽△DFC， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（3分）已知△ABC与△DEF的相似比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 　16　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△DEF的周长． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2， ∴24：△DEF的周长＝4：2， ∴△DEF的周长＝16． 故答案为：16． 12．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：令方程的另一个根为m， 因为方程的一个根为﹣2， 所以﹣2+m＝6， 解得m＝4， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 13．（3分）已知点A（﹣6，1），B（1，y1），C（3，y2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵点A（﹣6，1），y8），C（3，y2）在反比例函数y＝（k≠5）的图象上， k＝﹣6×1＝﹣6＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限， ∵0＜2＜3， ∴y1＜y8． 故答案为：＜． 14．（3分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 　5　米． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用中心投影的性质得到AB∥OP，则可判断△CAB∽△CPO，然后利用相似三角形的性质求OP的长即可． 【解答】解：∵AB在路灯O的照射下形成投影AC， ∴AB∥OP， ∴△CAB∽△CPO， ∴＝， ∵AB＝2m，AC＝3m， ∴＝， 解得OP＝5， 即路灯的高度PO长是6米． 故答案为：5． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AC，根据矩形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，点O为对角线BD的中点， ∴AC过点O，∠ADC＝90°， 设AD，CE交于G， ∵∠AGE＝∠CGD，∠EAD＝∠ECD， ∴∠AEG＝∠CDG＝90°， ∵AO＝CO， ∴OE＝， ∵BC＝6，AB＝3， ∴AC＝＝3， ∴OE＝AC＝， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16．（7分）解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）3x2+x﹣5＝0． 【答案】（1）x1＝1+2，x2＝1﹣2， （2）x1＝，x2＝． 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0， ∵a＝1，b＝﹣4， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣7）＝3+28＝32， ∴x＝， ∴x7＝1+2，x2＝1﹣6； （2）3x6+x﹣5＝0， ∵a＝5，b＝1， ∴Δ＝16﹣4×3×（﹣5）＝1+60＝61， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． 17．（7分）如图，D，E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC．如果AD＝9，AC＝10，求EC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝9，DB＝6， ∴＝， 解得：EC＝4． 18．（7分）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标（﹣2，1）． （1）以点O为位似中心，在y轴左侧画△DEF，使它与△ABC的相似比为2：1； （2）点A的对应点D的坐标是 　（﹣2，6）　． 【答案】（1）见解答； （2）（﹣2，6）． 【分析】（1）延长OA到点D使OD＝2OA，延长OB到点B使OE＝2OB，延长OC到点F使OF＝2OC，则△DEF满足条件； （2）利用（1）所画图形写出D点坐标即可． 【解答】解：（1）如图，△DEF为所作； （2）点A的对应点D的坐标为（﹣2，6）． 故答案为：（﹣6，6）． 19．（9分）如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为90°． （1）转动转盘，指针指向红色区域的概率是 　　． （2）小华认为转盘上共有三种不同的颜色，所以自由转动这个转盘两次，能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色），你认为小华说得正确吗？为什么？（利用树状图或列表法说明） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）画出树状图或列表，得到所有可能的结果及能配成紫色的结果，利用概率公式计算即可判断． 【解答】解：（1）黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为90°，则红色所在扇形的圆心角为180°， ∴指针指向红色区域的概率是＝； 故答案为：； （2）列表如下： 黄 蓝 红 红 黄 黄黄 黄蓝 黄红 黄红 蓝 黄蓝 蓝蓝 蓝红（紫） 蓝红（紫） 红 黄红 蓝红（紫） 红红 红红 红 黄红 蓝红（紫） 红红 红红 由表知，所有可能结果有16种， 则能配成紫色的概率为， 所以小华说法错误． 20．（9分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），可得，求出k，b即可得解； （2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2600元，从而可得x2﹣100x+2600＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2600＝﹣400＜0，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b， 又结合表格数据图象过（45，55），45）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+100． （2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x， 又销售额是2600元， ∴2600＝﹣x7+100x． ∴x2﹣100x+2600＝0． ∴Δ＝（﹣100）5﹣4×2600 ＝10000﹣10400 ＝﹣400＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 21．（9分）如图，在△ABC中，BA＝BC，延长BO至点D，使得OB＝OD （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出CE，进而利用菱形面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵O是边AC上的中点， ∴AO＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BA＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， 由勾股定理可知，， 由（1），可得BC＝CD＝5， ∴BE＝BC+CE＝8， 在 Rt△DBE 中，， ∵， ∴． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H （1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 　27　°； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若＝，请求出的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论； （2）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果； （3）设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF，AC由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°， 故答案为：27． （2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD； （3）∵＝， 设BF＝k，CF＝2k， ∴AF＝＝＝k，AC＝k， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF， ∴＝， ∴＝＝． 23．（14分）如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0） （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求得点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得即可； （3）过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，）（a＞1），通过证得△ACF≌△EDA（AAS），得到F（﹣2，4﹣a），代入y＝，即可求得a的值，从而求得点E的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（1，3），8）在反比例函数上， ∴m＝1×6＝n×1， ∴m＝3，n＝7， ∴反比例函数为y＝，点B（3， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数为：y＝﹣x+4； （2）令x＝6，则y＝﹣x+4＝4， ∴C（2，4）， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝＝4； （3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，ED⊥CD于D， 设E（a，）（a＞1）， ∵A（1，2）， ∴AD＝a﹣1，DE＝3﹣， ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F， ∴∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠EAD+∠CAF＝90°， ∵∠EAD+∠AED＝90°， ∴∠CAF＝∠AED， 在△ACF和△EDA中， ， ∴△ACF≌△EDA（AAS）， ∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3﹣， ∴F（﹣2， ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴（﹣2）（4﹣a）＝3， 解得a＝6或a＝1（舍去）， ∴E（3，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/29 19:50:36；用户：冯锦华；邮箱：13432702335；学号：60769856 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$