7.2.1 三角函数的定义（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.1 三角函数的定义 题型一 利用定义求三角函数值 1．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】角的终边上有一点的坐标是， ，，， . 故选：D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知角的终边与单位圆的交点为，则（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值． 【答案】答案见解析 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】设为坐标原点，则， 根据任意角三角函数的定义， ，，， 4．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 5．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知角的终边落在直线上，求，，的值 【答案】答案见解析 【分析】分角的终边在第二象限和第四象限两种情况，结合三角函数定义进行求解. 【详解】直线过第二，第四象限， 取直线在第二象限上一点， 则，， 取直线在第四象限上一点， 则，， . 综上，当角的终边在第二象限时，，，； 当角的终边在第四象限时，，，. 题型二 利用三角函数值求参数 1.（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 2.（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以.故选：A. 3.(多选)（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）若角的终边经过点，且，则（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】ABC 【分析】由三角函数定义得到方程，求出答案. 【详解】由三角函数定义得， 故， 若，满足要求， 若，则，解得， 综上，. 故选：ABC 4．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故答案为: . 题型三 求特殊角的三角函数值 1．如果角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算三角函数值得，再根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由题意得，它与原点的距离， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·北京延庆·期中）计算： ． 【答案】0 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】， 故答案为：0. 3．（2024高三·全国·专题练习）点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数先求出该点坐标，再根据关于y轴对称后，点纵坐标不变，横坐标相反回答即可. 【详解】∵， ∴， 关于轴对称点的坐标是． 故答案为：． 题型四 确定三角函数的符合 1．（多选）给出下列各式的值：①；②；③；④.其中符号为负的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】确定角所在的象限，或角的范围，利用三角函数在各象限的符号、性质判断即可. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以，故； 因为，所以，故. 故选： ABC 2．已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在第四象限，根据各象限三角函数值的正负情况判断即可. 【详解】因为角终边经过点，所以在第四象限， 所以，，，，故C正确． 故选：C． 3.（多选）（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）的值可能是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据的不同取值去绝对值即可求解. 【详解】当是第一象限角时，均大于0，； 当是第二象限角时，大于0，小于0，； 当是第三象限角时，小于0，大于0，； 当是第四象限角时，小于0，大于0，； 故选：ACD 4．（2023高一上·全国·专题练习）确定下列三角函数的符号： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的终边所在象限或坐标轴求得正确答案. 【详解】（1）是第三象限角，所以. （2）是第四象限角，所以. （3）是第一象限角，所以. （4）角的终边在轴的负半轴，所以. 题型五 由三角函数符号确定角的范围 1.（23-24高一下·北京海淀·期中）若且，则的终边在所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】的终边过点，又且， 则的终边在所在象限为第四象限.故选：D. 2．如果角是第二象限角，则点位于第 象限. 【答案】四 【分析】利用象限角与三角函数值符号的关系可得出结论. 【详解】因为是第二象限角，则，，故点位于第四象限. 故答案为：四. 3．已知点在第三象限，则角的终边在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第三象限，所以，， 所以的终边在第四象限. 故选：D. 4．设，如果且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数在各象限符号判断． 【详解】， ，则，所以， ，则，所以． 故选：D． 题型六 圆上的动点及旋转点问题 1.点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由1秒到3秒，点A旋转的角度为， 又，所以点A的坐标为.故选：A. 2.（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ） A． B．（） C．（，） D．（－，） 【答案】A 【解析】设与轴正半轴的夹角为， 则点P逆时针方向运动弧长到达Q点后与轴正半轴的夹角为， 此时，则，， 故此时点Q的坐标为.故选：A 3．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是 . 【答案】/ 【分析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标. 【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标 故答案为： 4．如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动． (1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标； (2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程． 【答案】(1)时间为4秒， (2)点滚动的路程为，点滚动的路程为． 【分析】（1）设、第一次相遇时所用的时间是，列出方程，求出t，再求出相遇点的坐标；（2）再第一问的基础上，代入弧长公式即可求解. 【详解】（1）设、第一次相遇时所用的时间是， 则， （秒，即第一次相遇的时间为4秒． 设第一次相遇点为，则，， 点的坐标为， （2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为． 1．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角的终边在直线上，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由题意可得余弦值不为零，取直线上非原点的任一点，利用正弦函数与余弦函数的定义，可得答案. 【详解】由题知， 设角的终边上一点，则. 当时，，，， 所以； 当时，，，， 所以. 故选：C. 2.（23-24高一下·江西南昌·月考）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在第一象限，所以，， 所以，，所以是第一､三象限角， 当是第一象限角时，，，，； 当是第三象限角时，，，，； 综上，一定成立.故选：C 3．（2024高一下·甘肃酒泉·期末，多选）台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用对称方法即可求解. 【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此， C正确； 第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此，B正确. 故选：BC 4．角终边上的点P与关于x轴对称，角终边上的点Q与A关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】由题意，得点P的坐标为，点Q的坐标为，然后利用任意角的三角函数的定义求解即可 【详解】由题意，得点P的坐标为，点Q的坐标为． ，， ，， ，， 故． 故答案为： 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设点是角的终边上的任意一点（除原点外），求出点关于对称的点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得； 【详解】解：设点是角的终边上的任意一点（除原点外），则其关于直线的对称点为； 已知角的终边与角的终边关于直线对称，所以点必在角的终边上， 由三角函数的定义有，又， 所以，因为 所以， 所以的最大值为 故答案为： 6.（2024高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 【答案】 （或写作） 【分析】由题意解出重合时刻t的值，进而可得P点位置，可求坐标. 【详解】设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为； 设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为， 由起点坐标为，则点P相对于其起点的位移的大小为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：由点P和Q的位置和旋转方向可知，时P与Q重合，由，由的值，可确定P点位置，求出坐标 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.1 三角函数的定义 题型一 利用定义求三角函数值 1．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知角的终边与单位圆的交点为，则（        ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值． 4．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 5．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知角的终边落在直线上，求，，的值 题型二 利用三角函数值求参数 1.（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 3.(多选)（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）若角的终边经过点，且，则（     ） A．0 B．1 C． D．2 4．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知角的终边上一点，且，则 . 题型三 求特殊角的三角函数值 1．如果角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京延庆·期中）计算： ． 3．（2024高三·全国·专题练习）点关于y轴对称的点的坐标是 ． 题型四 确定三角函数的符合 1．（多选）给出下列各式的值：①；②；③；④.其中符号为负的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）的值可能是（    ） A． B．3 C． D． 4．（2023高一上·全国·专题练习）确定下列三角函数的符号： (1) (2) (3) (4) 题型五 由三角函数符号确定角的范围 1.（23-24高一下·北京海淀·期中）若且，则的终边在所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如果角是第二象限角，则点位于第 象限. 3．已知点在第三象限，则角的终边在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．设，如果且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 圆上的动点及旋转点问题 1.点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 2.（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上一点P从点（0，1）出发，逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ） A． B．（） C．（，） D．（－，） 3．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是 . 4．如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动． (1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标； (2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程． 1．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角的终边在直线上，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 2.（23-24高一下·江西南昌·月考）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·甘肃酒泉·期末，多选）台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．角终边上的点P与关于x轴对称，角终边上的点Q与A关于直线对称，则 ． 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为 ． 6.（2024高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$