7.2.1 三角函数的定义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

(2如题因②，：30=晋，210-吾，这两个角的终边所在的5.解析“孤四所在国的丰径为6，孩AB的长是65， 直线相同，因此终边在直线AB上的角为a=x十若，A∈乙 ∴益田所在圈的圈心角∠AOB=号孤田的孤长为6 又终边在y轴上的角为B=kx十受，k∈Z, ×2红=4x:扇形A0B的面积为豆 3 ×4x×6=12π，三角形 从而终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 A0B的面积为号×6厅X3=9,5孤国的面积为12 {0kx+吾<Kkx+受，k∈Z。 -93. 跟踪训练 答案4π12π-9√3 2解折由-<经-吾<，得-号<<号因为∈乙， 【随堂巩固促应用】 1.解析210×10-石心 7 所以k=-1,0,12,脚。=-晋，-子吾号，则MnN 答案B 2.解析 3红=2×180°-108°，故选B. 55 答案A 答案B 3.解析(0,2x)范国内，第一象限角的终边对应的角为0：3.解析当角a终边在x轴正半轴上时，a=2kπ(k∈Z),当 孤度的角到受孤度的角，结合三角函数的周期性，那么第 角a终边在x轴负半轴上时，a=2kπ十π=(2k十1)x(k∈D, 因此终边在x轴上角的集合为{aa=kπ，k∈Z分. 一象限角的集合为{a2kx<a<2x十2，k∈Z 答案{aa=kπ，k∈Z} 答案 {a2k<a<2kx+吾，k∈Z 4解折150-吾，所以纸长为吾x×2-号xcm 5 探究三 答案 3π [例3][解]设扇形国心角的燕度数为(0<0<2x),孤 长为1，半径为r,面积为S. 7.2 任意角的三角函数 l+2x=10, ① （山限超意有合= 7.2.1三角函数的定义 ② 【自主学习探新知】 ①代入②得2-5r+4=0,解得r1=1,r=4. 微判断 当r=1时，l=8cm,此时，0=8rad>2πrad,舍去： (1)(X)(2)()(3)(×) 当=4时，1=2m,此时，0=是=nd, 知识点二全正正弦正切余弦 (2)由1十2r=10得1=10-2r 微练习 s=号r-号10-2r)r=5r-2=-(r-号)}'+ 5<0,所以角a所 .解析因为ina=3>0,cosa三-1 草0<5. 在的象限是第二象限，故选B 答案B 当r=号时，S取得最大值华，这时1=10-2X号=5， 2.解析对于①，因为一100°为第三象限角，所以sin(一100) <0:对于②，图为一220°为第二象限角，所以c0s(-220) 0=5=5=2(rad. <0:对于③，因为2孤度角为第二象限角，所以tan2<0: r 5 2 对于④，因为1弧度角为第一象限角，所以c0s1>0,故选 ABC, 跟踪训练 答案ABC 1 【互动探究解疑难】 4.解析设扇形的半径为R,由 S- 1=5-1 2aR”a 1 2 探究一 [例1](1)汇解析]因为角a的终边与半径为1的圆交于 故D正确：由a,十，=2x,所以52。g十，=2，解得a =5-1),故C正确，由5，≈0.618，则5-1 所以r=|OP=1,所以sina= √3 2 3,cos a= 1.236,所以a2=(W5-1)π≈1.236×180°≈222.5°，所以 a1≈360°-222.5°=137.5°，故B正确. 所以sin acos a= E62 = 33 3 答案BCD [答案]B 3 (2)[解]，x=3a,y=4a, 即号∈(x+2m,吾+2m)(a∈Z),所以号的体边在第 ∴.r=√(3a)+(4a)=5al. ①当a>0时，r=5a, 三象限，当k=3n十2n∈Z)时，号∈（停+5红，受 3 则m0之-铝名 +m）6nezD,即号∈（管+2m,+2)a∈， 3 5a亏，an0=义=4=4 cos0=2=3a=3 x 3a 3 所以号的终边在第四泉限，综上，商号的终边可能在第 ②当a<0时，r=一5a, 一象限或第三象限或第四象限，故选ACD. 则sin0=义=4a=一4 r--5a 5 [答案](1)ACD m0=-a=-号am0-是-铝号 (2)[解]①：105°，230°分别为第二、第三象限角， x3a31 .sin105>0,cos230°<0.于是sin105°cos230°<0. 跟踪训练 ②：受<3<，3是第二象限角，0s3<0. 1.解角口的终边落在直线y=一3x上，设终边上任一点 P(x,-3x). 又”-受是第三象限角an(一写）>0， 若>0，则=而h。=-mg=, ∴cos3an(-）<0, 若x<0,则r=-V而x,ina=3y0 10.cos a=10 跟踪训练 10 4.解析第二象限只有sina>0,cosa<0,tana<0.A,C 探究二 满足题意， [例2][解析](1)设交点坐标为P(x,y),根据三角函： 答案AC 数的定义，可得x=cosa=- y=血a=是所以角a5解折时于A,250为第三泉限角，所以@250<0，故 12 的林这与半径为1的周的文点金标是（一号）： A正确：对于B,一晋为第四象限角，所以s血（一）< 0,故B错误：对于C,一672为第一象限角，所以tan(一672)> (2)由cos0叶3sin0=0得tan0=加g- 1 cos 0 一3，由三角函 0,故C正确，对子D,当为第回象限角，所以am号< 数定义知an0=一a=号=一子，解得a- 2 1 3 ,b=-6, 0,故D正确 .∴.3a-b=1+6=7. 答案ACD [答案](1)D(2)D 【随堂巩固促应用】 跟踪训练 2.解析由已知可得x<0,利用三角函数的定义得 .解析因为角a的终边经过点P(3。一4，所以ana一兰 一4 √+8 一号解得x=-6 答案B 答案D 2.解析因为P(2,y)是角0终边上一点，所以sin0= √+y=5, y 3 3.解析设P(x,y),则由题可得 tana=义=2， 解得 √2+y =-(<0)，解得y=-号，故选C 答案C 任发任数点P的坐标为1,2减（-1，一2》. 3.解析因为cosa与tana同号，所以cosa与tana的乘 y=2ly=-2, 积为正，即正孩值为正，所以α在第一、二象限」 答案(1,2)或(-1，-2) 答案B 探究三 [例3](1)[解析]因为点P(sin0,tan0)在第二象限， 4解析由已知可得0<a<,则0<号<受，sima>0, 所以血00：所以0E(x+2kx,受+2)（∈D,所 Itan 0, tan受>0，当受<a<x时，cosa<0,tana<0, 以号∈（景+2，吾+2）ez),当k=3n(mez) 答案BC 时，号∈（答+吾+）aeD,即号∈（答+2m, 7.2.2单位圆与三角函数线 【自主学习探新知】 +2m)(n∈ZD,所以号的终边在第一象限，当k=3m+1 知识点二1.正数负数余弦线正弦线2.正切线 acD时，号∈（骨+时2红，吾+时4）a∈z0, 微判断 (1)(×)(2)(×)(3)(√)(4)(/)第七章三角函数。 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 [学习任务] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 2.能利用定义解决相关问题。 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一三角函数的定义 (2)若角a终边过点(1,3)，则sina=30 10 1.正弦、余弦与正切 ( 如图所示，设P(x,y)是任意角aα终边上 (3)终边在x轴上的角的正切值不存在， 异于原点的任意一点，r=√十y, ) 名称 定义 定义域 说明 知识点二 正弦、余弦与正切在各象限的符号 正弦 sina=之 R a的终边 y P(.y) 0 余弦 c0sa= R sin a cos a lan a 记忆口诀：“一 ,四 aa≠kx十 ①a为任意角， 正切 tna=义 ②P(x,y), 飞微练习 ③OP=r 1,已知sina= 5,C0sa=-4 3 5，则角a所在的象 2.三角函数 限是 () 对于每一个角a,都有唯一确定的正弦、 A.第一象限 余弦与之对应：当a≠x十受(k∈Z)时，有唯 B.第二象限 C.第三象限 一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正 D.第四象限 切，都称为a的三角函数. 2.(多选)给出下列各三角函数值：①sin(一100)； 《微判断 ②@cos(一220)；③tan2;④cos1.其中符号为 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 负的是 () (1)角的三角函数值随终边上点的位置变化 A.① B.② 而变化. ( C.③ D.④ 7 高中数学·必修第三阳(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 三角函数的定义及应用 探究二 已知三角函数值求参数或点的坐标 [例1](1)已知角a的终边与半径为1的圆交 [例2] 1已知sma=点osa=-是则角 5 于P 3 ,则sin acos a= α的终边与半径为1的圆的交点坐标是 A.一③ 3 B一 3 A(品) C 3 号 B(-是 (2)已知角0的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，求 角0的正弦、余弦和正切值 c(-) n(-最》 (2)已知第二象限角0的终边上有两点 A(-1,a),B(b,2),且cos0+3sin0=0,则 3a-b= () A.-7 B.-5 引规律方法川 C.5 D.7 利用三角函数的定义求值的策略 川规律方法川 (1)已知角a的终边在直线上，求角a的三角函数值 巴知三角函数值求点的坐标或参数值的关健是熟 时，常用的解题方法有以下两种： 练应用三角函数的定义，利用定义构建方程成方程组， ①先利用直线与半径为1的圆相交，求出交点坐 可时要注意验证参数值是否满足题意， 标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值， ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处 理，取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sina 跟踪训练 V2+6,余弦值c0s。= b Va+万'正切值tma a 2.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的 a 非负半轴，且cos0=- 若点M,8)是角 (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出 () 时，要根据问题的实际情况对参数远行分类讨论 0终边上一点，则x等于 A.-12 B.-10 跟踪训练 C.-8 D.-6 1.若角a的终边落在直线y=-3x上，求sina 3.若tana=2,且a终边上点P到原点的距离 和cosa的值. 为√5，则点P的坐标为 探究三三角函数的符号 [例3](1)（多选）已知点P(sin0,tan)在第 二象限，则角的终边可能在 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8 第七章三角函数4 (2)判断下列各式的符号： 川规律方法 ①sin105°·cos230°； 三角函数值的符号规律 (1)当角0为第-象展角时，sin0>0,cos0>0或 ②cos3·tan(-. sin>0,tan6>0或cos>0,tan>0,反之也咸立i (2)当角0为第二象限角时，sin0>0,cos0<0或 sin>0,tan00或cos0<0,tan0<0,反之也成立； (3)当角0为第三象限角时，sin9<0,cos0<0或 sin00,tan8>0或cos0<0,tan>0,反之也成立； (4)当角0为第四象限角时，sin0<0,cos>0或 sin0<0,tan0<0或cos>0,tan0<0,反之也成立. ☑跟踪训练 4.(多选)下列哪个选项能确定角α是第二象 限角 () A.sin a>0,cos a<0 B.tan a>0,cos a<0 C.sin a>0,tan a<0 D.sin a<0,cos a0 5.(多选)确定下列三角函数值的符号，下列选 项正确的是 () A.c0s250°<0 B.sin(-4）>o C.tan(-672)>0 11x∠0 D.tan 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知角a的终边经过点P(3,一4)，则tana= 3.若cosa与tana同号，则a在 () ( A.第一、三象限 A. B-青 B.第一、二象限 C.第三、四象限 C. D-是 D.第二、四象限 2.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的：4.（多选）设α是三角形的一个内角，则下列哪 非负半轴，若P(2,y)是角0终边上一点，且 些值可能为负值 () 如9=一是，则y A.sin a B.cos a C.tan a A.-√3 B.③ D.tan号 3 提示请完成《素能提升训练》训练三 c.- D.-号 9