7.1.1 角的推广（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.1.1 角的推广 题型一 任意角的相关概念及应用 1．(多选)下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第一象限角一定不是负角 C．小于的角是钝角、直角或锐角 D．在范围内的角不一定是钝角 2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 . 4．（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 题型二 求与已知角终边相同的角 1．（2024上·河南洛阳·高一校联考阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．与角终边相同的角可以表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）已知角的集合为，回答下列问题： （1）集合M中有几类终边不相同的角？ （2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ （3）求集合M中的第二象限角． 4．（2024上·高一课前预习）已知，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)之间的角． 题型三 求终边落在直线上的角的集合 1.终边在直线上的角的集合 ． 2.（2023·全国·高一专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合． （2）写出终边在射线（）与（）上的角的集合． 3.（23-24高一上·全国·月考）已知角的终边在直线上， (1)写出角的集合； (2)写出集合中适合不等式的元素. 题型四 区域角的集合表示 1.（22-23高一下·广西钦州·月考）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·陕西渭南·月考）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 题型五 象限角的判定 1．（2024上·全国·高一专题练习）给出下列四个命题： ①角是第四象限角； ②角是第三象限角； ③是第二象限角； ④角是第一象限角． 其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（多选）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 题型六 判定倍角、分角是第几象限角 1．（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 2．（2024·高一课时练习）若α是第一象限的角，则是（    ） A．第一象限角 B．第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 3.（23-24高一下·江西·月考）（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023上·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 题型七 终边对称问题 1. （2023·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A． B． C． D． 2.若角与的终边垂直，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，其中常数，若与所对应的角的终边关于轴对称，则的最小值为 . 4。若角的终边与角的终边关于直线对称,且,求角的值. 1．（22-23高一·全国·课后作业）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（    ） A．编号① B．编号② C．编号③ D．编号④ 2.（2024·高一课时练习）设集合，集合，则（    ） A． B．  C．  D． 3．（23-24高一上·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为 ． 4．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）（2023·全国·高一课时练习）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.1 角的推广 题型一 任意角的相关概念及应用 1．(多选)下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第一象限角一定不是负角 C．小于的角是钝角、直角或锐角 D．在范围内的角不一定是钝角 【答案】AD 【分析】A选项，锐角终边一定落在第一象限，故是第一象限角；BC选项，举出反例；D选项，当时，不是钝角. 【详解】锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，所以锐角是第一象限角，所以A正确； －350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误； 0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误： 由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确． 故选：AD 2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算分针走过的角度大小的同时考虑他的方向即可求解. 【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， 走过的角度大小为， 综上，分针走过的角度是． 故选：D． 3．（2024上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 . 【答案】 【分析】由题意分针顺时针转过1圈半，结合任意角定义写出转过的角度. 【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过. 故答案为：. 4．（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】． 【分析】由角的定义即可求解. 【详解】由角的定义可得． 故答案为： 题型二 求与已知角终边相同的角 1．（2024上·河南洛阳·高一校联考阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将改写为，根据终边相同角的定义即可求解. 【详解】因为，所以角与角终边相同. 故选：C 2．与角终边相同的角可以表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】变换，得到答案. 【详解】，故与角终边相同的角可以表示为，. 故选：C. 3．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）已知角的集合为，回答下列问题： （1）集合M中有几类终边不相同的角？ （2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ （3）求集合M中的第二象限角． 【答案】（1）四类；（2）－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°； （3）， 【解析】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角． （2）令，得， 又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个， 分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°． （3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， 所以，. 4．（2024上·高一课前预习）已知，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)之间的角． 【答案】(1) (2) (3)、、 【分析】（1）写出与角终边相同的角为，取可得出在与终边相同的角中最小的正角； （2）取可得出在与终边相同的角中最大的负角； （3）分别取、、，可得出在与终边相同的角中，在之间的角． 【详解】（1）解：与角终边相同的角为， 当时，，当时，， 故在与终边相同的角中，最小正角为. （2）解：由（1）可知，在与终边相同的角中，最大的负角为. （3）解：与角终边相同的角为， 当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，. 因此，在与终边相同的角中，在之间的角为、、. 题型三 求终边落在直线上的角的集合 1.终边在直线上的角的集合 ． 【答案】 【解析】在范围内，终边在直线上的角有两个：、（如图， 所以终边在上的角的集合是： ， 2.（2023·全国·高一专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合． （2）写出终边在射线（）与（）上的角的集合． 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）如图，在范围内，终边在直线上的角为和， 因此终边在直线上的角的集合为 . ∴终边在直线上的角的集合为． （2）终边在射线（）上的角即与角终边相同，集合为， 终边在射线（）上的角即与角终边相同，集合为． 3.（23-24高一上·全国·月考）已知角的终边在直线上， (1)写出角的集合； (2)写出集合中适合不等式的元素. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）角的终边在直线上 且直线与轴正半轴的夹角为， 角的集合. （2）在中， 取，得，取，得， 取，得，取，得， 取，得，取，得， 中适合不等式的元素分别是. 题型四 区域角的集合表示 1.（22-23高一下·广西钦州·月考）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B. 2.（23-24高一下·陕西渭南·月考）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【答案】 【解析】终边落在射线OA上的角的集合是， 终边落在射线OB上的角的集合是， 所以终边落在阴影部分(含射线OA， 不含射线OB)的角的集合是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【答案】（1）； （2）. 【分析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可求解. 【详解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 题型五 象限角的判定 1．（2024上·全国·高一专题练习）给出下列四个命题： ①角是第四象限角； ②角是第三象限角； ③是第二象限角； ④角是第一象限角． 其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用终边相同的角将角转化在范围内确定象限即可. 【详解】①②显然为真命题； ③为真命题，∵角与角的终边相同，角是第二象限角，∴角是第二象限角； ④为真命题，∵角与角的终边相同，角是第一象限角，∴角是第一象限角． 故真命题有4个． 故选：D． 2.（多选）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】CD 【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答. 【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是； 对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是； 对于③，，是第二象限角，③是； 对于④，，是第二象限角，④是. 故选：CD 3．（24-25高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【答案】 【分析】根据与角终边相同的角是，对k取满足要求的整数可得解. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 当时，与角终边相同的最大负角是. 故答案为：，. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【答案】(1) ,第一象限角 (2) ,第三象限角 (3) ,第四象限角, (4) ,第二象限角 【分析】根据终边相同的角的公式，写出即可. 【详解】（1） 是第一象限的角, 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角, 是第三象限的角; （3） 是第四象限的角, 是第四象限的角; （4） 是第二象限的角, 是第二象限的角. 题型六 判定倍角、分角是第几象限角 1．（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 【答案】ABC 【分析】由角的终边在第三象限可得，，进而可求，则的终边所在象限可定. 【详解】角的终边在第三象限， ，， ，． 的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴． 故选：ABC. 2．（2024·高一课时练习）若α是第一象限的角，则是（    ） A．第一象限角 B．第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据题意求出的范围即可判断. 【详解】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 3.（23-24高一下·江西·月考）（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【解析】依题意，得， 所以， 当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC. 4．（2023上·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围即可得，根据的取值即可求解. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故选：D 题型七 终边对称问题 1. （2023·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误.故选：C. 2.若角与的终边垂直，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若角与的终边垂直，则， .故选：D 3.已知函数，其中常数，若与所对应的角的终边关于轴对称，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据所对应的角的终边关于x轴对称可得解之即可求解. 【详解】由题意知，， 因为所对应的角的终边关于x轴对称， 所以，解得，， 又，所以的最小值为. 故答案为： 4。若角的终边与角的终边关于直线对称,且,求角的值. 【答案】或. 【解析】根据对称性先找到锐角，写出终边相同的角，适当取整数，即可求出. 【详解】如图, 设角的终边为OA, 射线OA关于直线对称的射线为OB, 则以射线OB为终边的一个角为, 以射线OB为终边的角的集合为.又, ,,或. 当时,;当时,. 角的值为或. 【点睛】本题主要考查了角的终边的对称性，终边相同的角，属于中档题. 1．（22-23高一·全国·课后作业）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（    ） A．编号① B．编号② C．编号③ D．编号④ 【答案】C 【分析】由题目得出小兔的位置4次一个循环，即可得出第2014次互换座位后，小兔的位置． 【详解】由已知和题图得，小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环， 因为的余数为2，所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为③， 故选：C． 2.（2024·高一课时练习）设集合，集合，则（    ） A． B．  C．  D． 【答案】D 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角，   四条射线分别是射线 ，   它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 3．（23-24高一上·全国·专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为 ． 【答案】 【解析】因为角的终边与角的终边相同，可得， 则，令， 即，则， 又因为，所以， 所以终边与角的终边相同的钝角为． 故答案为：. 4．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ. 【答案】或. 【解析】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z， 则一定有k＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，∴θ＝， 从而90°<<135°，∴<n<，∴n＝4或5. 当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝. 所以或. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）（2023·全国·高一课时练习）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角； 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【解析】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$