专题11锐角三角函数（3大模块知识梳理+9个考点+4个重难点+2个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题11 锐角三角函数 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理） 知识模块一：锐角三角函数 知识模块二：解直角三角形 知识模块三：解直角三角形的应用 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点） 考点一：理解锐角三角函数的概念 考点二：求角的三角函数值 考点三：由三角函数求边长 考点四：由特殊角的三角函数值求解 考点五：在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 考点六：在网格中求锐角三角函数值 考点七：三角函数综合 考点八：解直角三角形的相关计算 考点九：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点） 重难点一：运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 重难点二：运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 重难点三：运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 重难点四：12345模型 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点） 易错点1： 未在直角三角形中求锐角三角函数的值 易错点2： 误认为三角函数值与三角形各边的长短有关 知识模块一：锐角三角函数 知识点一： 正弦，余弦，正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则 【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同). 知识点二： 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小. 知识点三： 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识点四： 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 知识模块二：解直角三角形 知识点一： 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 知识点二： 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 知识模块三：解直角三角形的应用 知识点一：仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点二：坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点三：方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 考点一： 理解锐角三角函数的概念 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024广州市模拟预测）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 考点二： 求角的三角函数值 1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则 ． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 3．（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 考点三： 由三角函数求边长 1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 3．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    考点四： 由特殊角的三角函数值求解 1．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 2．（2023·山东·中考真题）计算： ． 3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ． 考点五： 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 2．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 3．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 考点六： 在网格中求锐角三角函数值 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点A、D、E、F在格点上，点B、C是直线与网格线的交点．请用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图1，将线段绕着点E逆时针旋转得到线段，在线段上取点P，使得，并画出点E关于的对称点Q； (2)如图2，在线段上画一个点N，使得 考点七： 三角函数综合 1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 2．（2022·甘肃武威·中考真题）已知正方形，为对角线上一点． (1)【建立模型】如图1，连接，．求证：； (2)【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，求的长． (3)【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：． 3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 考点八： 解直角三角形的相关计算 1．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 2．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 考点九： 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2024·广东广州·一模）已知在四边形中，，，． （1）的长是 ； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是 ． 2．（2023·安徽·二模）如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点． (1)求的面积； (2)求的长． 3．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 、 重难点一： 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    3．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． (1)求关于的函数表达式； (2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ (3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 重难点二： 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 1．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 3．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 重难点三： 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）    2．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    3．（2023·四川内江·中考真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    重难点四： 12345模型 1．（2021·北京丰台·一模）如图所示的网格是正方形网格，则 （点A，B，C，D，E是网格线交点）． 2．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 3．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）    A． B．3 C． D．2 4．（2020·吉林长春·二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（    ） A． B．2 C． D．3 易错点1： 未在直角三角形中求锐角三角函数的值 1. 在等腰三角形中，，求． 易错点2： 误认为三角函数值与三角形各边的长短有关 1．（2021·广西钦州·一模）在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（    ） A．扩大100倍 B．缩小 C．不变 D．不能确定 2．在中，，若的三边都放大倍，则的值（    ） A．缩小倍 B．放大倍 C．不变 D．无法确定 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 锐角三角函数 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理） 知识模块一：锐角三角函数 知识模块二：解直角三角形 知识模块三：解直角三角形的应用 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点） 考点一：理解锐角三角函数的概念 考点二：求角的三角函数值 考点三：由三角函数求边长 考点四：由特殊角的三角函数值求解 考点五：在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 考点六：在网格中求锐角三角函数值 考点七：三角函数综合 考点八：解直角三角形的相关计算 考点九：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点） 重难点一：运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 重难点二：运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 重难点三：运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 重难点四：12345模型 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点） 易错点1： 未在直角三角形中求锐角三角函数的值 易错点2： 误认为三角函数值与三角形各边的长短有关 知识模块一：锐角三角函数 知识点一： 正弦，余弦，正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则 【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同). 知识点二： 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小. 知识点三： 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识点四： 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 知识模块二：解直角三角形 知识点一： 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 知识点二： 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 知识模块三：解直角三角形的应用 知识点一：仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点二：坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点三：方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 考点一： 理解锐角三角函数的概念 1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 2．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 3．（2024广州市模拟预测）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 考点二： 求角的三角函数值 1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于， ， 四边形为矩形， ， ， 平分， ， ， ， ∴∠CDB=∠CBD ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 3．（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三： 由三角函数求边长 1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 3．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【答案】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 考点四： 由特殊角的三角函数值求解 1．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2023·山东·中考真题）计算： ． 【答案】1 【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键． 3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 考点五： 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 2．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②或或 【分析】（1）将代入，解方程即可； （2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此； （3）①记交于点M， ，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此； ②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：过点B作于点H，则， 由题意得：， ∴，， ∴在中，； （3）解：①如图，记交于点M， 由题意得，， 由， 得：对称轴为直线： ∵四边形是菱形， ∴点A、C关于对称，， ∵与此抛物线的对称轴重合， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，则， ∴； ②记抛物线顶点为点F，把代入，得：， ∴， ∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线， 当时，如图，符合题意， 当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图： 过点F作于点Q， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意； 当时，如图，符合题意： 当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图： ∴； 当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图： 过点F作于点Q，同上可得， ， ∴， 解得：或（舍）， 当m继续变小时，仍符合题意，如图： ∴， 综上所述，m的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键． 3．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 考点六： 在网格中求锐角三角函数值 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由题得，，，， ，， ，， 在中，， 则， 故选：C． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段，借助网格中平行线可得比例线段，从而求解． （2）利用矩形性质，可得，四边形是平行四边形，，即可求解． 本题考查作图——旋转变换，轴对称变换、平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图1，根据旋转的性质可得线段，取格点P，Q，连结交于点O， 此时，则 即， 连结交于点N， ， 则点N即为所求．    （2）解：如图2，连结，交于点O， 四边形是矩形， ， 与交于点， 四边形是平行四边形， ， 连结交于点E，点E即为所求． 连结、 交于点Q，连结  、交于点， 连结交于点，连结交于点F， 点F即为所求．    3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点A、D、E、F在格点上，点B、C是直线与网格线的交点．请用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图1，将线段绕着点E逆时针旋转得到线段，在线段上取点P，使得，并画出点E关于的对称点Q； (2)如图2，在线段上画一个点N，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，作出线段，在取点，使，连接交于点，作正方形，在上取点，使，连接，在上取点，延长至点，使，过点作，交与点，即可； （2）在上取格点，使，即可． 【详解】（1）解：如图，线段，格点即为所求； 由旋转的性质可知，，， 由作图和格点中的相似三角形可知：， ∴， ∴， 作正方形，在上取点，使，可得：， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使，过点作，交与点， 由平行线分线段成比例，可知，关于对称； （2）如图，点即为所求： 由作图可知：，， ∴ 【点睛】本题考查无刻度直尺的格点作图，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 考点七： 三角函数综合 1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①3；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）由（1）的结论，、证即可； （3）①通过角的转换得，即可求的长；②连结，证，设，则，由相似的性质即可求解； 【详解】（1）∵，① 又∵，② ②-①，得2， ∴． （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）①∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴． ∴． ∴与的度数之比为3∶2． ∴与的长度之比为3∶2， ∵， ∴． ②如图，连结． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 设与的相似比为k， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， ， ∴， 由，得， 解得，（舍）， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 2．（2022·甘肃武威·中考真题）已知正方形，为对角线上一点． (1)【建立模型】如图1，连接，．求证：； (2)【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，求的长． (3)【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①等腰三角形，见解析；② (3)见解析 【分析】(1)根据正方形的性质，证明即可． （2）①根据（1）的证明，证明∠FBG=∠FGB即可． ②过点作，垂足为.利用三角函数求得FH，AH的长度即可． (3)证明 即可． 【详解】（1））证明：∵四边形为正方形，为对角线， ∴，. ∵， ∴， ∴. （2）①为等腰三角形.理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴. ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形. ②如图1，过点作，垂足为. ∵四边形为正方形，点为的中点，， ∴，. 由①知， ∴， ∴. 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴. 在中，. （3）如图2，∵， ∴. 在中，， ∴. 由（1）得， 由（2）得， ∴. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键． 3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 考点八： 解直角三角形的相关计算 1．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键． 如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，由得，进而得 ，则，再由得，则，由，得，在中由勾股定理得，则，证明得，则，再证明得，由此可得BG的长． 【详解】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明实际解题的关键． （1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而即可解题； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过点G作于点H，如图，先利用得到，，所以，，然后利用解直角三角形解题即可． 【详解】（1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. （2）∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . （3）连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在中，， . 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 【答案】 或 【分析】四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形，过点作于点，于点，延长交CA于点，把穿过圆洞的四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，利用锐角三角函数分别求出、、的长度，根据求出穿过圆洞的最大面积； 点与点重合，过点作，可得，利用相似三角形的性质把各边用含的代数式表示出来，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长度； 当为直角三角形时，分两种情况：一种情况是当时，另一种情况是当时，分别利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如下图所示，四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形， 圆洞的最大直径为， ，，，， 过点作于点，于点，延长交CA于点， 则有， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示，当时，点与点重合，过点作， ，点为的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：或(舍去)，            当时，，， ， ， 故答案为：；                            如下图所示，当时，  过点作，                                则有， ， ，， ， 过点作，则四边形为矩形，， ，，， 在中，， ， 解得：； 如下图所示，当时，，，， 点、、在一条线上，                                则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 综上所述当或时为直角三角形．                                                                                                                                                                                                                                                                                                   【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形和全等三角形． 考点九： 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2024·广东广州·一模）已知在四边形中，，，． （1）的长是 ； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是 ． 【答案】 / 【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长； （2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ， ， ， 在中，； 故答案为：4 （2）在中，易得， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ， ， 点P是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接，得， 是等腰直角三角形， ， 过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小， 当点O、P、G共线时，， ， 是等边三角形，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ， ， 则， 故点P到的距离是． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 2．（2023·安徽·二模）如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可以得到，根据勾股定理求长，然后求出面积即可； （2）连，过点A作于点D，则，解直角三角形解题即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， （2）连，过点A作于点D， ∵E为半圆的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，能作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意，过点作，交于点，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系，即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， = ， ， ， ， 由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知： ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系． 4．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用; （2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【详解】 （1）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴， ∴，即， ∴， 由，∴， ∴，即， ∴． 又，∴， ∴，即， ∴， 即到岸边的距离为． （2）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴，∴， 即，∴． 由，∴，∴， 即，∴． ∴， ∴， 即点到岸边的距离为． 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度． 、 重难点一： 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． (1)求关于的函数表达式； (2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ (3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案； （2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值； （3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， ； （2）解：根据函数解析式得函数对称轴， 故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大； （3）解：， 延长与过点作的线交于点，令， ，， ， ， ， ， ， 延长交与点， ， ， ， ， ， ． 重难点二： 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 1．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    3．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2)2.0千米 (3) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 重难点三： 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）    【答案】堤坝高为8米，山高为20米． 【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于H，    ∵坡度i为， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， 则， 设， ∵． ∴， ∴， ∵坡度i为， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：堤坝高为8米，山高为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    【答案】斜坡的长约为10米 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中，（米）． 答：斜坡的长约为10米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2023·四川内江·中考真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    【答案】的长为米 【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，    ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， 在中，， ∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴， ∴， ∴的长为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 重难点四： 12345模型 1．（2021·北京丰台·一模）如图所示的网格是正方形网格，则 （点A，B，C，D，E是网格线交点）． 【答案】 【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解． 【详解】连接AD，如图： ∵，，， 即， ∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC， ∴∠ACD， ∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF， ∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 【答案】 【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长． 【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4， ∴NF=x，AN=4﹣x， ∵AB=2， ∴AM=BM=1， ∵AE=，AB=2， ∴BE=1， ∴ME=， ∵∠EAF=45°， ∴∠MAE+∠NAF=45°， ∵∠MAE+∠AEM=45°， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴， ∴， 解得：x= ∴AF= 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，    ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 在中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 4．（2020·吉林长春·二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图所示，连接AE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90° ∵G为BC的中点 ∴BG=GC=4 由折叠的性质可得AF=AB=8，BG=GF=4， 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∵AE=AE，AF=AD=8 ∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL） ∴DE=EF 设DE=EF=x，则EC=8-x 在Rt△CEG中， GC2+EC2=GE2，即 解得 故选：C． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键． 易错点1： 未在直角三角形中求锐角三角函数的值 1. 在等腰三角形中，，求． 【答案】，， 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D， 则∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝3， ， 在直角三角形ABD中， ， ∴，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质的应用，能构造直角三角形是解此题的关键． 易错点2： 误认为三角函数值与三角形各边的长短有关 1．（2021·广西钦州·一模）在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（    ） A．扩大100倍 B．缩小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】分别求出扩大前后sinA的值，由此即可得到答案． 【详解】解：设Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边的长分别为a、c，则扩大100倍后的对边和斜边的长分别为100a，100c， ∵扩大前，扩大后， ∴sinA的值不变， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求正弦值和分式的性质，熟练掌握直角三角形正弦值=对边÷斜边是解题的关键． 2．在中，，若的三边都放大倍，则的值（    ） A．缩小倍 B．放大倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，因为三角形三边都放大倍，所以的对边与斜边同时放大倍，它们的比值仍然不变． 【详解】解：三角形三边都放大倍， 的对边与斜边同时放大倍， ， 的值不变． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$