精品解析：广东省惠州市龙门县中山纪念中学教育集团龙门县高级中学2024-2025学年高一上学期第二次段考（11月）数学试题

中山纪念中学教育集团龙门县高级中学2027届高一年级 第一学期第二次段考数学试题 考试时长：120分钟 命题人：梁德宝 审题人：王珂 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列哪个函数在定义域上是奇函数，且在上是增函数（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足（其中，为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 设表格表示的函数为，关于此函数下列说法正确的是 （ ） x -2 -1 0 1 2 y 1 0 1 0 1 A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 是偶函数 D. 的最小值是0，最大值是1 11. 下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是______． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________. 14. 若，则的最小值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 16. 已知幂函数的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并用定义加以证明； （3）判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明. 17. 设函数. （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，，，求的最小值. 18. 已知函数（且）的图象经过点和. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 19. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）写出服药后与之间的函数关系式； （2）进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山纪念中学教育集团龙门县高级中学2027届高一年级 第一学期第二次段考数学试题 考试时长：120分钟 命题人：梁德宝 审题人：王珂 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题“，”的否定是：“，”. 故选：C 3. 下列哪个函数在定义域上是奇函数，且在上是增函数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性的概念，以及基本初等函数的图像与性质，逐一判断每个选项. 【详解】是奇函数，但在上是减函数，A错误； 是非奇非偶函数，B错误； 在定义域上是奇函数，但在上是减函数，上是增函数，C错误； 在定义域上是奇函数，且在上是增函数，D正确； 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【详解】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 5. 已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B 6. 设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可. 【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 8. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足（其中，为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中函数模型，列方程，结合对数运算求解即可. 【详解】由五分记录法的数据为时小数记录法的数据为， 五分记录法的数据为时小数记录法的数据为， 则，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 10. 设表格表示的函数为，关于此函数下列说法正确的是 （ ） x -2 -1 0 1 2 y 1 0 1 0 1 A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 是偶函数 D. 的最小值是0，最大值是1 【答案】CD 【解析】 【分析】从表格可以读出函数的定义域，值域，最大值等信息，同时结合函数奇偶性定义判断. 【详解】A选项，的定义域是，A错误； B选项，的值域是，B错误； C选项，由A知，定义域关于原点对称，且，故是偶函数，C正确； D选项，从表格可以看出，的最小值是0，最大值是1，D正确. 故选：CD 11. 下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性判断A，根据幂函数的单调性判断B，根据指数函数的单调性判断C，根据对数函数单调性以及中间值1判断D. 【详解】对于A，因为对数函数在定义域上单调递减，且，所以，故A错误； 对于B，因为幂函数在上单调递增，且，所以，故B正确； 对于C，因为指数函数在R上单调递减，且，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合对数运算，令即可得定点的坐标. 【详解】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇偶性分析的关系，然后根据的值求解出的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 14. 若，则的最小值是_________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故答案为. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行配凑，考查运算求解能力，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知幂函数的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并用定义加以证明； （3）判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明. 【答案】（1） （2）函数为偶函数，证明见详解 （3）函数在区间上单调递增，证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，代入点运算求解即可； （2）根据奇偶性的定义分析证明即可； （3）根据函数单调性的定义分析证明即可. 【小问1详解】 设， 代入点可得，解得， 所以. 【小问2详解】 函数为偶函数，证明如下： 显然的定义域为，且， 所以函数为偶函数. 【小问3详解】 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 设，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增. 17. 设函数. （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集得是方程的两根，再由根与系数的关系可得答案； （2）由得到，再利用基本不等式求最小值即可． 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则是方程的两个根，且， 可得，解得； 【小问2详解】 若，则，可得， 又，， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为16. 18. 已知函数（且）的图象经过点和. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或16 【解析】 【分析】（1）代入图象上的两个点，求a，b，即可求解函数的解析式； （2）首先求解，再代入（1）的结果，解对数方程. 【小问1详解】 由题知，解得，； 故. 【小问2详解】 由，. 解得或3， 所以或， 所以或16. 19. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）写出服药后与之间的函数关系式； （2）进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间． 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，将点的坐标代入函数的解析式，由此可得出函数的解析式； （2）解不等式，即可得解. 【小问1详解】 解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时； 当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以． 综上，. 【小问2详解】 解：当时，由，可得； 当时，由，可得. 所以，不等式的解集为. 因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $