专题06 反比例函数（3类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题06 反比例函数 课标要求 考点 考向 反比例函数： 1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 2．会用描点法画出反比例函数的图象； 3．知道当k>0和k<0时反比例函数 图象的整体特征； 4．能用反比例函数解决简单的实际问题． 反比例函数的图象与性质 考向一 反比例函数图象上点的特征 考向二 反比例函数增减性 考向三 反比例函数k的几何意义 考点一 反比例函数的图象与性质 知识提要 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 变量的取值范围 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 图像的两个分支分别在第一、三象限． 每个象限内，图象自左向右下降， 函数ｙ随ｘ的增大而减小． 图像的两个分支分别在第二、四象限． 每个象限内，图象自左向右上升， 函数ｙ随ｘ的增大而增大． ►考向一 反比例函数图象上点的特征 易错易混提醒 ①任意两点A、B若在同一个反比例函数上，这两个点要么都在1、3象限，要么都在2、4象限。 ②待定系数法确定反比例函数表达式：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 考查角度1 根据反比例函数图象上点的特征确定点的坐标 1.(2020陕西)在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ． 考查角度2 根据反比例函数图象上点的特征比较函数值的大小 2.(2024陕西)已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0． 考查角度2根据反比例函数图象上点的特征确定反比例函数的表达式 3.(2022陕西)已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． ►考向二 反比例函数增减性 4.(2021陕西)若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”） ►考向三 反比例函数k的几何意义 解题技巧 ·概念回顾：过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，． ·运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积问题： 5.(2023陕西)如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 1．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知点，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，大小关系为 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，若，则 ．（填“＞”，“＜”或“=”） 4．（2024·陕西西安·三模）已知反比例函数为常数，的图象在第二、四象限，点均在该反比例函数图象上，若，则 ．（填“>”“=”或“<”） 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 6．已知反比例函数，点是反比例函数图象上一点，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图像经过点，则 ． 8．（2024·陕西·模拟预测）已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，则该反比例函数的解析式为 ． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是，则 ． 10．（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 11．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，若的面积为1，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，在x轴上，平行四边形的面积为6，则 ． 13．如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ． 14．（2024·陕西·一模）如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为 ． 15．（2024·陕西榆林·一模）如图，点在双曲线上，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，．，相交于点，四边形的面积为，，则 ． 16．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ． 三、解答题 17．（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数的性质．以下是他的研究过程，请补充完整． (1)如表是y与x的几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … 2 1 m … 直接写出m的值，______； (2)在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______； (4)若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则下面关于x的取值范围描述正确的是（    ） A．    B．    C．    D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数 课标要求 考点 考向 反比例函数： 1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 2．会用描点法画出反比例函数的图象； 3．知道当k>0和k<0时反比例函数 图象的整体特征； 4．能用反比例函数解决简单的实际问题． 反比例函数的图象与性质 考向一 反比例函数图象上点的特征 考向二 反比例函数增减性 考向三 反比例函数k的几何意义 考点一 反比例函数的图象与性质 知识提要 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 变量的取值范围 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 图像的两个分支分别在第一、三象限． 每个象限内，图象自左向右下降， 函数ｙ随ｘ的增大而减小． 图像的两个分支分别在第二、四象限． 每个象限内，图象自左向右上升， 函数ｙ随ｘ的增大而增大． ►考向一 反比例函数图象上点的特征 易错易混提醒 ①任意两点A、B若在同一个反比例函数上，这两个点要么都在1、3象限，要么都在2、4象限。 ②待定系数法确定反比例函数表达式：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 考查角度1 根据反比例函数图象上点的特征确定点的坐标 1.(2020陕西)在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ． 【答案】-1． 【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限， 点一定在第三象限， 在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点， 反比例函数的图象经过，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 考查角度2 根据反比例函数图象上点的特征比较函数值的大小 2.(2024陕西)已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0． 【答案】/小于 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，先求出，，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考查角度2根据反比例函数图象上点的特征确定反比例函数的表达式 3.(2022陕西)已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】y= 【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)， ∴A′(2，m)， ∵点A′在正比例函数的图象上， ∴m=×2， 解得：m=1， ∴A(−2，1)， 设这个反比例函数的表达式为y=， ∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上， ∴k=-2×1=-2， ∴这个反比例函数的表达式为y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． ►考向二 反比例函数增减性 4.(2021陕西)若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【分析】先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大 ∵1<3 ∴< 故答案为：<． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键． ►考向三 反比例函数k的几何意义 解题技巧 ·概念回顾：过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，． ·运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积问题： 5.(2023陕西)如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 1．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意， 故选：A． 二、填空题 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知点，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，大小关系为 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，那么图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解： 图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小 故答案为：． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，若，则 ．（填“＞”，“＜”或“=”） 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质以及增减性，根据，得出，即反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∵， ∴， 即， 则反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， ∵在反比例函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 4．（2024·陕西西安·三模）已知反比例函数为常数，的图象在第二、四象限，点均在该反比例函数图象上，若，则 ．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数(为常数，的图象在第二、四象限，且， ∴反比例函数的性质是：在每个象限内，随的增大而增大， ， 故答案为：． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由反比例函数值求自变量、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 6．已知反比例函数，点是反比例函数图象上一点，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标，能理解函数图象上点的特点是解此题的关键．将点A代入解析式求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数的图象上一点 ∴， 则 故答案为：4． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据两点关于x轴对称的点的坐标特点，求A点坐标，再将A点坐标代入中求k的值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得：，， ∴， 将代入中， 得， 解得， 故答案为：． 8．（2024·陕西·模拟预测）已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：把代入反比例函数中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴， 故答案为：． 10．（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键． 设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 11．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，若的面积为1，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义得到，求出，然后得到，求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∵的面积为1 ∴ ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴． 故答案为：8． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，在x轴上，平行四边形的面积为6，则 ． 【答案】10 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 设，，则，平行四边形的边上高为b，然后根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴设，， ∵平行四边形且轴， ∴，， ∴平行四边形的边上高为b，面积为6， ∴，解得：． 故答案为10． 13．如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键． 由题意可知，，，利用的面积为4，得到，解方程求得k的值． 【详解】解：∵，轴， 由题意可知，，，， ∵的面积为4， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：． 14．（2024·陕西·一模）如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为 ． 【答案】8 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 15．（2024·陕西榆林·一模）如图，点在双曲线上，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，．，相交于点，四边形的面积为，，则 ． 【答案】5 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】 本题主要考查反比例函数k值的几何意义，设，由四边形的面积为得，再根据得，即，代入函数关系式可求出k的值． 【详解】解：根据题意得：四边形为矩形， ∴ 设，则， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 16．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要查反了比例函数中比例系数的几何意义，正确地作出辅助线成为解题的关键． 如图：过点A作y轴的垂线得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积，进而求得k的值． 【详解】解：如图：过点A作轴，连接， ∵垂直于轴于，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，即， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：9． 三、解答题 17．（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数的性质．以下是他的研究过程，请补充完整． (1)如表是y与x的几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … 2 1 m … 直接写出m的值，______； (2)在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______； (4)若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则下面关于x的取值范围描述正确的是（    ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)C 【知识点】用描点法画函数图象、由反比例函数值求自变量、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． （1）①将代入即得的值； （2）描点、连线即可； （3）根据图象即可求解； （4）求得时，函数和函数的的值，结合图象即可判断． 【详解】（1）解：①时，， ， 故答案为：； （2）解：如图： （3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为； 故答案为：； （4）解：作出直线如图： 把代入求得， 把代入，求得， 观察图象，若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则的取值范围是， 关于的取值范围描述正确的是C， 故答案为：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$