2025年中考数学选择题复习《图形的变化之图形的相似与相似三角形》

中考数学第一轮复习 选择题练习 图形的变化之图形的相似及相似三角形 单选题： 1．已知a＝3b，则的值等于（　　） A． B． C． D． 2．下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm 3．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长AB约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（　　） A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AE＝6，则EC的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．9 5．下列图形一定是相似图形的是（　　） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 6．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 8．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC＝1：9，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　） A．1：81 B．1：9 C．1：3 D．1：2 10．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．在△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（　　） A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 12．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OC：OF＝1：3，若S△ABC＝3，则S△DEF为（　　） A．6 B．9 C．27 D．48 13．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，已知CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝4，BD＝9，则CD的长为（　　） A．11 B．6 C．24 D．5 15．如图，一块矩形ABDC绸布的长AC＝a，宽AB＝1，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　） A． B． C．2 D． 16．已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．5 B．3 C．2 D．1 17．如果ab＝cd，且abcd≠0，则下列比例式不正确的是（　　） A． B． C． D． 18．我们把宽与长的比等于黄金比（）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 19．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点A，B，C．若线段AB＝6，则线段BC的长为（　　） A． B．2 C．3 D．9 20．下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 21．下列说法不正确的是（　　） A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似 B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2 C．若线段ABcm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则ACcm D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3 22．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（　　） A．1 B．3 C．9 D．81 23．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，下列条件中不能满足△ADE∽△ABC的是（　　） A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．AD•AC＝AB•AE 24．如图，当点P1、P2、O在同一直线上时，在D1处与D2处测得的视力相同．若b1＝5米，A1A2＝5米，OA2＝3米，则b2是（　　）米． A． B．2 C．3 D． 25．如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝2m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝2.5m．设小明的身高为1.5m，则灯杆AB的高度为（　　） A．7.5m B．6.4m C．8m D．12m 26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣2，0）的对应点为A′（﹣4，0），则点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2） 28．如图，已知反比例函数y（x＜0）图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1：2，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，设BD＝a，DC＝b，AD＝c，给出下面三个结论： ①c2＝ab；②a+b≥2c；③若a＞b，则a＞c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 30．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），C（3，0），点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．若（x，y，z均不为零），则的值为（　　） A．﹣11 B． C． D．11 32．如图，点B是线段AC上的一点，且线段AB：BC＝2：3，则线段AB：AC等于（　　） A．2：5 B．5：2 C．3：5 D．5：3 33．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 34．如图，已知直线a∥b∥c，两条直线l1，l2分别与a，b，c交于点A，B，C，D，E，F．下列线段的比与一定相等的是（　　） A． B． C． D． 35．如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　） A． B． C． D． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 37．如图，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B． C．∠B＝∠ADE D． 38．如图，E是矩形ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，分别交AD、AC于F、G，已知AB＝3，BC＝4，DE＝1，设∠ABF＝α．则在①；②BG2＝EG•FG；③；④tanα＝1中，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 39．《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池ABCD中，东西城墙AD长7里，南北城墙AB长9里，南门点E，东门点F分别位于AD，AB的中点处，EG⊥AD，FH⊥AB，GH经过点A，FH＝15里，则EG的长是（　　） A．2.15里 B．2.05里 C．1.05里 D．0.95里 40．如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC． 甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求． 乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求． 对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（　　） A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确 41．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB'A'C'，过点A'的反比例函数表达式为y，则四边形OBAC和四边形OB'A'C'的位似比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 43．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（　　） A．3 B． C．3或4 D．3或 44．如图，将⊙O的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（　　） A． B． C．BN＝NM＝ME D．∠A＝36° 45．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 46．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连结EF，GH相交于点I，且GH∥AD，EF∥AB，矩形BFIG∽矩形EIHD，连接AC交GH，EF于点P，Q．下列一定能求出△DPQ面积的条件是（　　） A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差 B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差 C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差 D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差 47．如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3 48．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论：①∠AEB＝∠AEF；②△ABN∽△MDA；③AM•AE＝AN•AF；④BM2+DN2＝MN2.其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 49．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中： ①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD；④△AMN∽△CAB． 正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE•DF＝DE•BF；③当n＝2时，EF＝CD；④∠EDF＝90°，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 39页） 解析答案 单选题 1．已知 a＝3b，则 �+� � 的值等于（ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 5 4 D． 5 3 【解答】解：∵a＝3b， ∴ �+� � = 3�+� 3� = 4 3 ． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 2．下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cm C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm 【解答】解：∵1×4≠2×3， ∴选项 A不成比例； ∵1×4＝2×2， ∴选项 B成比例； ∵3×13≠5×9， ∴选项 C不成比例； ∵3×1≠2×2， ∴选项 D不成比例 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前 两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果 与所选取的单位无关系． 3．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜 C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图）， 若该车车身总长 AB约为 4.14米，则车头 A与后视镜 C的水平距离约为（ ） 第 2页（共 39页） A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米 【解答】解：由题意可得： ∴BC＝0.618AB＝0.618×4.14≈2.559（米）， ∴AC＝AB﹣BC＝4.14﹣2.559≈1.58（米）， 即车头 A与后视镜 C的水平距离约为 1.58米． 故选：A． 【点评】本题考查了黄金分割，正确记忆把线段 AB分成两条线段 AC和 BC（AC＞BC），且使 AC是 AB和 BC的比例中项（即 AB：AC＝AC：BC），叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分 割点是解题关键． 4．如图，在△ABC中，DE∥BC， �� �� = 2，若 AE＝6，则 EC的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．9 【解答】解：∵DE∥BC， �� �� = 2， ∴ �� �� = �� �� = 2， ∵AE＝6， ∴ 6 �� =2， ∴EC＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是 解题的关键． 5．下列图形一定是相似图形的是（ ） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； B、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意； 第 3页（共 39页） C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意； D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键． 6．已知矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形 ABCD相似的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵ 4 2 = 3 1.5 =2， ∴A选项中的矩形与矩形 ABCD相似． 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 7．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ） A．20° B．40° C．60° D．80° 【解答】解：∵△ABC∽△AED， ∴∠C＝∠ADE， ∵∠ADE＝80°， ∴∠C＝80°， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 8．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） 第 4页（共 39页） A． B． C． D． 【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是 135°，选项中，有 135°角的三角形只有 B，且满足两边成 比例夹角相等， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考 题型． 9．如图，D，E是△ABC边 AB，AC边上的两点，且 DE∥BC，若 S△ADE：S△ABC＝1：9，则△ADE与△ ABC的周长之比为（ ） A．1：81 B．1：9 C．1：3 D．1：2 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵S△ADE：S△ABC＝1：9， ∴△ADE与△ABC周长之比为 1：3， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 10．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国 古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的 截面图为矩形 ABCD，设井深为 x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） 第 5页（共 39页） A． 5 � = 0.4 5 B． � 5+� = 5 0.4 C． � 5−� = 0.4 5 D． 5 5+� = 0.4 5 【解答】解：如图， ∵DF∥BC， ∴△EFD∽△EBC， ∴ �� �� = �� �� ， ∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x， ∴ 5 5+� = 0.4 5 ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明△EFD∽△EBC是解题的关键． 11．在△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在 AC上确定点 D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作 图，正确的是（ ） A．（作一个角的平分线） 第 6页（共 39页） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 【解答】解：当 BD是 AC的垂线时，△ABD∽△BCD， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴△ABD∽△BCD， 根据作图痕迹可知： A、BD是∠ABC的角平分线，不与 AC垂直，故不符合题意； B、BD是 AC的中线，不与 AC垂直，故不符合题意； C、BD是 AC的垂线，故符合题意； D、AB＝AD，BD不与 AC垂直，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解本题的关键． 12．如图，△ABC和△DEF是以点 O为位似中心的位似图形，OC：OF＝1：3，若 S△ABC＝3，则 S△DEF 为（ ） 第 7页（共 39页） A．6 B．9 C．27 D．48 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点 O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△BOC∽△EOF， ∴ �� �� = �� �� = 1 3 ， ∴ �△��� �△��� = 1 9 ， ∵S△ABC＝3， ∴S△DEF＝27， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 13．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：第一个图形中的位似中心为 A点，第二个图形中的位似中心为 AD与 BC的交点，第三个 图形中的位似中心为 O点，第四个图形中的位似中心为 O点． 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关 键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩 小的图形． 14．如图，已知 CD是 Rt△ABC斜边上的高，AD＝4，BD＝9，则 CD的长为（ ） 第 8页（共 39页） A．11 B．6 C．24 D．5 【解答】解：∵CD是 Rt△ABC斜边上的高， ∴CD2＝AD•BD＝4×9＝36， 解得 CD＝6或 CD＝﹣6（舍去）， 即 CD的长为 6． 故选：B． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一 条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 15．如图，一块矩形 ABDC绸布的长 AC＝a，宽 AB＝1，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗， 如果裁出的每面彩旗与矩形 ABCD绸布相似，则 a的值等于（ ） A． 3 B． 2 C．2 D． 5 【解答】解：由题意知，AE＝CE= 12AC= 1 2a， ∵裁出的每面彩旗与矩形 ABCD绸布相似， ∴ �� �� = �� �� ， ∵AB＝1， ∴ � 1 = 1 1 2� ， ∴a=− 2（舍去）或 a= 2， 故选：B． 【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 第 9页（共 39页） 16．已知实数 a，b满足 � � = 1 2 ，则 2�+� � 的值为（ ） A．5 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵ � � = 1 2 ， ∴ 2�+� � = 2� � +1＝2× 12 +1＝1+1＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 17．如果 ab＝cd，且 abcd≠0，则下列比例式不正确的是（ ） A． � � = � � B． � � = � � C． � � = � � D． � � = � � 【解答】解：A、 � � = � � ，得 ad＝bc，故 A符合题意； B、 � � = � � ，得 ab＝cd，故 B不符合题意； C、 � � = � � ，得 ab＝cd，故 C不符合题意； D、 � � = � � ，得 ab＝cd，故 D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段、比例的性质，关键是熟悉比例的性质：两外项的乘积等于两内项的乘积． 18．我们把宽与长的比等于黄金比（ 5−1 2 ）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形 ABCD（AB＜BC） 中，∠ABC的平分线交 AD边于点 E，EF⊥BC于点 F，则下列结论错误的是（ ） A． �� �� = �� �� B． �� �� = �� �� C． �� �� = �� �� D． �� �� = �� �� 【解答】解：∵矩形 ABCD（AB＜BC）为黄金矩形， ∴设 AB= 5 −1，AD＝2， ∵BF平分∠ABC，而∠ABC＝90°， ∴四边形 ABFE为正方形， ∴AE＝AB， 第 10页（共 39页） ∵DE＝2﹣（ 5 −1）＝3− 5 ∴ �� �� = 3− 5 5−1 = 5−1 2 ， 而 �� �� = 5−1 2 ， ∴ �� �� = �� �� ，所以 A选项的结论正确； ∵ �� �� = �� �� = 5−1 2 ， �� �� = 5−1 2 ， ∴ �� �� = �� �� ，所以 B选项的结论正确； ∵ �� �� = 2 2 ， �� �� = 2( 5−1) 2 ， ∴ �� �� ≠ �� �� ，所以 C选项的结论错误； ∵ �� �� = 5−1 2 ， �� �� = 5−1 2 ， ∴ �� �� = �� �� ，所以 D选项正确． 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段 AB分成两条线段 AC和 BC（AC＞BC），且使 AC是 AB和 BC 的比例中项（即 AB：AC＝AC：BC），叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点．其 中 AC= 5−12 AB≈0.618AB，并且线段 AB的黄金分割点有两个．也考查了矩形的性质． 19．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点 A，B，C．若线段 AB＝6， 则线段 BC的长为（ ） A． 1 2 B．2 C．3 D．9 【解答】解：如图，过点 A作 AD⊥过点 C的横线于 D，交过点 B的横线于 E， ∵BE∥CD， ∴ �� �� = �� �� ，即 �� 6 = 1 2 ， 第 11页（共 39页） 解得：BC＝3， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 20．下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意； B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意； C、两个菱形，四个边都相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意； D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑． 21．下列说法不正确的是（ ） A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似 B．若线段 a＝5cm，b＝2cm，则 a：b＝5：2 C．若线段 AB= 5cm，C是线段 AB的黄金分割点，且 AC＞BC，则 AC= 5− 52 cm D．若两个相似多边形的面积比为 16：9，那么这两个相似多边形的周长比是 4：3 【解答】解：A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似， 则 A选项的说法错误，所以 A选项符合题意； B．若线段 a＝5cm，b＝2cm，则 a：b＝5：2，则 B选项的说法正确，所以 B选项不符合题意； C．若线段 AB= 5cm，C是线段 AB的黄金分割点，且 AC＞BC，则 AC= 5−12 AB= 5− 5 2 cm，则 C选 项的说法正确，所以 C选项不符合题意； D．若两个相似多边形的面积比为 16：9，那么这两个相似多边形的周长比是 4：3，则 D选项的说法正 确，所以 D选项符合题意． 第 12页（共 39页） 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等，面积的比等于相 似比的平方．也考查了矩形的性质和黄金分割． 22．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，△ABC的面积为 1，则△DEF的面积为（ ） A．1 B．3 C．9 D．81 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3， ∴△ABC与△DEF面积的比为：1：9， ∵△ABC的面积为 1， ∴△DEF的面积为 9， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，点 D，E分别在边 AC，AB上，下列条件中不能满足△ADE∽△ABC的是（ ） A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． �� �� = �� �� D．AD•AC＝AB•AE 【解答】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定△ADE∽△ABC，故 A、B不符合 题意； C、AD和 AC，AE和 AB不是对应边，不能判定△ADE∽△ABC，故 C符合题意； D、由 AD•AC＝AB•AE，得到 AD：AB＝AE：AC，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角 形相似，判定△ADE∽△ABC，故 D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个 三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形 相似． 24．如图，当点 P1、P2、O在同一直线上时，在 D1处与 D2处测得的视力相同．若 b1＝5米，A1A2＝5米， OA2＝3米，则 b2是（ ）米． 第 13页（共 39页） A． 15 8 B．2 C．3 D． 10 3 【解答】解：∵P1A1∥P2A2， ∴△OP2A2∽△OP1A1， ∴ �2�2 �1�1 = ��2 ��1 ， 即 �2 5 = 3 3+5 ， 解得 b2= 15 8 ． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长 或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 25．如图，河对岸有一灯杆 AB，在灯光下，小明在点 D处测得自己的影长 DF＝2m，沿 BD方向前进到达 点 F处测得自己的影长 FG＝2.5m．设小明的身高为 1.5m，则灯杆 AB的高度为（ ） A．7.5m B．6.4m C．8m D．12m 【解答】解：由题意得：AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG， ∴∠ABG＝∠CDG＝∠EFG＝90°， ∵∠AFB＝∠CFD， ∴△CDF∽△ABF， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ 1.5 �� = 2 2+�� ， ∵∠EGF＝∠AGB， 第 14页（共 39页） ∴△EFG∽△ABG， ∴ �� �� = �� ��+��+�� ， ∴ 1.5 �� = 2.5 2.5+2+�� ， ∴ 2 2+�� = 2.5 2.5+2+�� ， 解得：BD＝8， ∴ 1.5 �� = 2 2+8 ， 解得：AB＝7.5， ∴灯杆 AB的高度为 7.5m， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点 A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与 △ABC相似，且相似比为 1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A．∵∠AMN＝∠C，∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ACB，且 MN：BC＝1：2； B．由勾股定理得，MN＝4， ∵ �� �� = �� �� = 1 2 ，∠M＝∠C， ∴△AMN∽△ACB， C．△AMC∽△BMA，相似比是 �� �� = 1 2 ， D．相似比不是 1：2，故 D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 第 15页（共 39页） 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点 O．若点 A（﹣2，0） 的对应点为 A′（﹣4，0），则点 B（﹣1，2）的对应点 B′的坐标为（ ） A．（﹣4，2） B．（2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2） 【解答】∴灯杆 AB的高度为 7.5m， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点 A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与 △ABC相似，且相似比为 1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A．∵∠AMN＝∠C，∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ACB，且 MN：BC＝1：2； B．由勾股定理得，MN＝4， ∵ �� �� = �� �� = 1 2 ，∠M＝∠C， ∴△AMN∽△ACB， C．△AMC∽△BMA，相似比是 �� �� = 1 2 ， D．相似比不是 1：2，故 D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点 O．若点 A（﹣2，0） 第 16页（共 39页） 的对应点为 A′（﹣4，0），则点 B（﹣1，2）的对应点 B′的坐标为（ ） A．（﹣4，2） B．（2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2） 【解答】 【点评】 【解答】 解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点 O，点 A（﹣2，0）的对应点为 A′（﹣4，0）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为 1：2， ∵点 B的坐标为（﹣1，2）， ∴点 B的对应点 B′的坐标为（﹣1×2，2×2），即（﹣2，4）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或﹣k． 28．如图，已知反比例函数 y=− 2�（x＜0）图象上一点 A，以原点为位似中心得到第四象限的点 B，位似 比为 1：2，过点 B作 BC⊥x轴于点 C，连接 AC，则△ABC的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：∵点 A在反比例函数 y=− 2�（x＜0）图象上， ∴设�(�， − 2� )， ∵以原点为位似中心得到第四象限的点 B，位似比为 1：2， ∴�(2�， − 4� )， 第 17页（共 39页） 设过点 B的反比例函数解析式为：y= ��（k≠0）， ∴则� = 2� ⋅ ( − 4� ) =− 8， ∴过点 B的反比例函数解析式为：y=− 8�， ∴S△BCO= |−8| 2 =4， ∵S△AOC= 1 2•2a• 2 � =2， ∴S△ABC＝S△AOC+S△BCO＝2+4＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数 k的几何意义，解题的关键是理解 题意，掌握这些知识点． 29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点 D，设 BD＝a，DC＝b，AD＝c，给出下面三个结 论： ①c2＝ab；②a+b≥2c；③若 a＞b，则 a＞c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠B+∠BAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝∠ADC＝90°， ∴△BAD∽△ACD， ∴BD：AD＝AD：CD， 即 a：c＝c：b， 即 c2＝ab， 故结论①正确； ②设 BC的中点为 E，连接 AE，如图所示： 第 18页（共 39页） ∵∠BAC＝90°， ∴AE= 12BC= 1 2（a+b）， 根据“垂线段最短”得：AE≥AD， ∴ 1 2 （a+b）≥c， 即 a+b≥2c， 故结论②正确； ③∵c2＝ab， ∴� = � 2 �， 又∵a＞b， ∴�＞ � 2 �， ∵a＞0，c＞0， ∴a2＞c2， 即 a＞c， 故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，不等式的性质，熟练掌握直角 三角形的性质，相似三角形的判定和性质，不等式的性质是解决问题的关键． 30．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 O（0，0），点 A（1，0），B（0，2），C（3，0），点 D在第一象 限内，如果以点 D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点 D有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：设点 D（m，n）（m＞0，n＞0）， ∵A（1，0），B（0，2），C（3，0）， ∴OA＝1，OB＝2，OC＝3，AB= 5，OD= �2 + �2，CD= (� − 3)2 + �2， ∵∠AOB＝90°， 第 19页（共 39页） ∴△AOB是直角三角形， ∵点 D在第一象限内， ∴∠COD＜90°， ∵以点 D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴∠COD＝∠OAB或∠COD＝∠OBA， ①当∠COD＝∠OAB时，△COD∽△OAB或△COD∽△BAO， Ⅰ、当△COD∽△OAB时， �� �� = �� �� = �� �� ， ∴ 3 1 = �2+�2 5 = (�−3)2+�2 2 ， ∴m＝3，n＝6或 n＝﹣6（舍去）， ∴D（3，6）； Ⅱ、当△COD∽△BAO时， �� �� = �� �� = �� �� ， ∴ 3 5 = �2+�2 1 = (�−3)2+�2 2 ， ∴m= 35，n= 6 5（舍去负值）， ∴D（ 3 5 ， 6 5 ）， ②当∠COD＝∠OBA时，△COD∽△OBA或△COD∽△ABO， Ⅰ、当△COD∽△OBA时， �� �� = �� �� = �� �� ， ∴ 3 2 = �2+�2 5 = (�−3)2+�2 1 ， ∴m＝3，n= 32或 n=− 3 2（舍去）， ∴D（3， 3 2 ）； Ⅱ、当△COD∽△ABO时， �� �� = �� �� = �� �� ， ∴ 3 5 = �2+�2 2 = (�−3)2+�2 1 ， ∴m= 125 ，n= 6 5或 n=− 6 5（舍去）， ∴D（ 12 5 ， 6 5 ）； ∴D（3，6）或（3， 3 2 ）或（ 12 5 ， 6 5 ）或（ 3 5 ， 6 5 ）共四个， 故选：D． 第 20页（共 39页） 【点评】此题主要考查了相似三角形性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 31．若 � 4 = � 3 = � 2 （x，y，z均不为零），则 2�+� �−� 的值为（ ） A．﹣11 B．− 103 C． 10 3 D．11 【解答】解：根据 x，y，z均不为零，可设 � 4 = � 3 = � 2 = �，则有 x＝4k，y＝3k，z＝2k，代入所求代数 式得： ∴原式= 2×4�+3�3�−2� =11， 故选：D． 【点评】此题主要考查的知识点是比例的性质，解题的关键是准确掌握其性质进行运算． 32．如图，点 B是线段 AC上的一点，且线段 AB：BC＝2：3，则线段 AB：AC等于（ ） A．2：5 B．5：2 C．3：5 D．5：3 【解答】解：∵线段 AB：BC＝2：3， ∴设 AB＝2x，则 BC＝3x， ∴AC＝AB+BC＝5x， ∴AB：AC＝2：5， 故选：A． 【点评】本题考查了线段的比，正确设出线段的长度是关键． 33．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段 AB的黄金分割点 （AP＞PB）．如果 AB的长度为 10cm，那么 AP的长度是（ ） A．(5 5 − 5)�� B．(15 − 5 5)�� C．6.18cm D．(5 5 + 5)�� 第 21页（共 39页） 【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴�� = 5−12 �� = 5−1 2 × 10 = (5 5 − 5)��， 故选：A． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 34．如图，已知直线 a∥b∥c，两条直线 l1，l2分别与 a，b，c交于点 A，B，C，D，E，F．下列线段的 比与 �� �� 一定相等的是（ ） A． �� �� B． �� �� C． �� �� D． �� �� 【解答】解：∵已知直线 a∥b∥c，两条直线 l1，l2分别与 a，b，c交于点 A，B，C，D，E，F， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ �� �� = �� �� ， 故选：C． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 35．如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD， 当以矩形 ABCD的宽 AB为边作正方形 ABEF时，惊奇地发现矩形 CDFE与矩形 ABCD相似，则 �� �� 等 于（ ） A． 5−1 2 B． 3 2 C． 3+1 2 D． 5+1 2 【解答】解：∵四边形 ABEF是正方形， ∴BE＝AB， 第 22页（共 39页） ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴BE＝CD， ∵矩形 CDFE与矩形 ABCD相似， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ �� �� = �� �� ， ∴点 E是 BC的黄金分割点， ∴ �� �� = 5−1 2 ， ∴ �� �� = 2 5−1 = 5+1 2 ， 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握相似多边形 的性质，以及黄金分割的定义是解题的关键． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D为线段 BC上一动点（不与点 B，C重合），连接 AD，作∠ADE ＝∠B＝40°，DE交线段 AC于点 E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若 AD＝DE，则 BD＝CE； 丙同学：当 DE⊥AC时，D为 BC的中点． 则下列说法正确的是（ ） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 【解答】解：在△ABC中， ∵AB＝AC， 第 23页（共 39页） ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， 甲同学正确； ∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE， 乙同学正确； 当 DE⊥AC时， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， D为 BC的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相应的判定和性质是解题关键． 37．如图，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ） A．∠C＝∠E B． �� �� = �� �� C．∠B＝∠ADE D． �� �� = �� �� 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 第 24页（共 39页） ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠E， ∴△ABC∽△ADE， 故 A不符合题意； ∵ �� �� = �� �� ，∠BAC＝∠BAE，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的条件， ∴无法判定△ABC∽△ADE， 故 B符合题意； ∵∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， 故 C不符合题意； ∵ �� �� = �� �� ，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， 故 D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理证明△ABC∽△ADE是解题 的关键． 38．如图，E是矩形 ABCD的边 CD延长线上一点，连接 BE，分别交 AD、AC于 F、G，已知 AB＝3，BC ＝4，DE＝1，设∠ABF＝α．则在① �� �� = 3 4 ；②BG2＝EG•FG；③ �� �� = 9 16 ；④tanα＝1中，正确的 有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形 ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵E是 CD延长线上一点，且 DE＝1， 第 25页（共 39页） ∴CE＝CD+DE＝3+1＝4， ∴BC＝CE， ∴∠CBE＝∠E＝45°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠DFE＝∠E＝45°， ∴DF＝DE＝1， ∴FA＝AD﹣DF＝4﹣1＝3， ∵FA∥BC， ∴△FAG∽△BCG， ∴ �� �� = �� �� = 3 4 ， 故①正确； ∵AB∥CE， ∴△ABG∽△CEG， ∴ �� �� = �� �� = 3 4 ， ∴ �� �� = �� �� ， ∴BG2＝EG•FG， 故②正确； ∵ �� �� = �� �� = 3 4 ， ∴FG= 34BG，EG= 4 3BG， ∴ �� �� = 3 4�� 4 3�� = 9 16 ， 故③正确； ∵∠BAF＝90°，FA＝AB，∠ABF＝α， ∴tanα＝tan∠ABF= ���� =1， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明△FAG∽△ BCG及△ABG∽△CEG是解题的关键． 第 26页（共 39页） 39．《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问： 出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池 ABCD中，东西城墙 AD长 7里，南北城墙 AB长 9 里，南门点 E，东门点 F分别位于 AD，AB的中点处，EG⊥AD，FH⊥AB，GH经过点 A，FH＝15里， 则 EG的长是（ ） A．2.15里 B．2.05里 C．1.05里 D．0.95里 【解答】解：∵南门点 E，东门点 F分别位于 AD，AB的中点处， ∴AE= 12AD＝3.5（里），AF= 1 2AB＝4.5（里）， ∵EG⊥AD，FH⊥AB， ∴∠AEG＝∠HFA＝90°， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠AEG＝90°， ∴EG∥AB， ∴∠G＝∠FAH， ∴△AEG∽△HFA， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ 4.5 �� = 15 3.5 ， 解得：EG＝1.05， ∴EG的长为 1.05里， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 40．如图，在△ABC中，P是 AB边上一点，在 AC边上求作一点 Q，使得△AQP∽△ABC． 甲的作法：过点 P作 PQ∥BC，交 AC于点 Q，则点 Q即为所求． 第 27页（共 39页） 乙的作法：经过点 P，B，C作⊙O，交 AC于点 Q，则点 Q即为所求． 对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ） A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确 【解答】解：乙的作法正确． 理由：∵B，C，Q，P四点共圆， ∴∠B+∠CQP＝180°， ∵∠AQP+∠CQP＝180°， ∴∠AQP＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△AQP∽△ABC． 甲的作法，无法证明∠AQP＝∠B，故甲的作法错误． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣相似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题． 41．如图，点 A在反比例函数� = 4�的图象上，过点 A作 AB⊥x轴于点 B，AC⊥y轴于点 C，以点 O为位 似中心把四边形 OBAC放大得到四边形 OB'A'C'，过点 A'的反比例函数表达式为 y= 9�，则四边形 OBAC 和四边形 OB'A'C'的位似比为（ ） 第 28页（共 39页） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【解答】解：∵点 A在反比例函数� = 4�上，过点 A'的反比例函数表达式为 y= 9 �， ∴S 矩形 ACOB＝4，S 矩形 A′C′OB′＝9， ∵以 O为位似中心把四边形 OBAC放大得到四边形 OB′A′C′， ∴四边形 OBAC和四边形 OB'A'C'的位似比为： 49 = 2 3， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、反比例函数系数 k的几何意义． 42．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中 a＜b）．CD⊥AB于点 D，点 E在边 AB 上，BE＝BC．设 CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2； ③AE的长是关于 x的方程 x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴n2+h2＝a2， ∵∠ACB＝90°， ∴（m+n）2＝a2+b2， ∵a2＜a2+b2， ∴n2+h2＜（m+n）2，故①符合题意， ∵h2＝mn， ∴2h2＝2mn， 第 29页（共 39页） ∵a＜b，a= ℎ2 + �2，b= ℎ2 +�2， ∴m＞n， ∴（m﹣n）2＞0，即 m2+n2＞2mn， ∴m2+n2＞2h2，故②不符合题意， x2+2ax﹣b2＝0，配方得，（x+a）2﹣（a2+b2）＝0， ∵a2+b2＝（m+n）2， ∴（x+a）2﹣（m+n）2＝0，即（x+a）2＝（m+n）2， ∴x＝m+n﹣a或 x＝﹣m﹣n﹣a， ∵BE＝BC，BC＝a， ∴BE＝a， ∵AB＝AD+BD＝m+n， ∴AE＝m+n﹣a， ∴AE的长是关于 x的方程 x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根 x＝m+n﹣a，故③符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了射影定理、勾股定理，关键是掌握射影定理的运用． 43．如图，已知点 P是边长为 4 的正方形 ABCD内一点，且 PB＝3，BF⊥BP于 B，若在射线 BF上找一 点 M，使以点 B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（ ） A．3 B． 16 3 C．3或 4 D．3或 16 3 【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， 又∵∠PBF＝90°， ∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP； 若以点 B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似， 则：①如图 1中， �� �� = �� �� ，即 4 3 = �� 4 ，解得 BM= 163 ； 第 30页（共 39页） ②如图 2中， �� �� = �� �� ，即 4 3 = 4 �� ，解得 BM＝3． 综上所述，满足条件的 BM的值为 3或 16 3 ． 故选：D． 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，应注意相似三角形的 对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解． 44．如图，将⊙O的圆周分成五等分（分点为 A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角 星形．小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点 M是线段 AD、BE 的黄金分割点，也是线段 NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ） A． �� �� = 5−1 2 B． �� �� = 5−1 2 C．BN＝NM＝ME D．∠A＝36° 【解答】解：连接 FH，在 AM上取一点 T，使得 NT＝MN，连接 NT．