精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考（1月）数学试题

鄄城一中高一第三次月考试题 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 5. 若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. 为偶函数 B. 是的最小正周期 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 11. 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确有（ ） A. B. C. D. ，则周期为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为__________. 13. 若函数处取得最大值，则__________. 14. 已知，，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求的最大值以及取得最大值时的集合. 17 已知函数. （1）当时，求值域； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 18. （1）若，，求的值； （2）已知，，， ，求的值. 19. 已知函数是奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄄城一中高一第三次月考试题 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第五章5.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求解方法，列出不等式，求解即可. 【详解】若使得函数有意义，则且，解得， 故的定义域为. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】由，得，解得或， 显然“”可以推出“或”，“或”不可以推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以. 故选：C. 4. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 5. 若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由于，， 所以函数与函数单调性相反，故排除A，C. 再由可排除B. 故选：D 6. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过消去的方法来求得，再利用换元法，结合基本不等式来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以，又， 时，，所以要使取得最大值， 则，令， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立，所以函数的最大值为. 故选：B 7. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知有或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且， 则在区间上单调递减，且， 由，得或， 即或，解得或， 综上所述，满足原不等式的的取值范围是. 故选：A. 8. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角正弦公式对化简；由正切差角公式对化简；由二倍角公式对化简；最后由余弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 由所以， 即； 又， 故； 因为，所以， 又， 又，所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例排除A，利用不等式的基本性质，结合作差法判断BCD，从而得解. 【详解】若，此时，故A错误； ，由，则，故B正确； 因为，所以，所以，即，故C正确； ，由，则，因为，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. 为偶函数 B. 是的最小正周期 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据复合函数单调性判断C，根据偶函数及在时的值域判断D. 【详解】A，由可知，，定义域为， 故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确； B，取，则，，即， 所以不是函数的周期，故B错误； C，当时，，令且为减函数， 而时单调递减， 所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确； D，由为偶函数，只需研究时的值域， 当时，， 因为， 即时，是函数的一个周期， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 当时，， 令，则在上是增函数，所以， 当时，，所以， 综上的值域为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. ，则周期为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合奇函数和偶函数的定义、函数周期性的定义逐一判断即可. 【详解】在中， 令中，得或，A不正确； 当时，在中， 令中，得， 因此函数既是奇函数又是偶函数，所以成立， 当时，在中， 令中，，所以函数是偶函数， 因此成立，B正确； 在中， 令中，得， 令，因为，所以，即有，显然成立，C正确； 当时，在中， 令中，得， 则有， 可得 ，因此周期为6，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是针对不同的选项正确赋值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用角度制化为弧度制，结合扇形的弧长公式即可得解. 【详解】因为扇形的圆心角为，即，半径为30， 所以扇形的弧长为，则周长为. 故答案为：. 13. 若函数在处取得最大值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值，并确定取最大值时自变量的值，由此可求. 【详解】因， 设，， 则，， 当，时， 即当，函数取最大值，最大值为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知，，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，即，结合函数单调性可知，再结合基本不等式可得最值. 【详解】因，所以， 又函数，均单调递增，所以单调递增， 故，, 当且仅当即时，等号成立， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用齐次化化简求正切值，然后利用诱导公式化简求解即可； （2）先用二倍角公式展开，然后进行齐次化求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求的最大值以及取得最大值时的集合. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的最小正周期与单调性，结合整体代入法即可得解； （2）利用整体代入法，结合正弦函数的最值性质即可得解. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为； 令，解得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 令，解得， 则当时，取得最大值， 故的最大值为，取得最大值时的集合为. 17. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）当时，若恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求解即可； （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，解不等式得解. 【小问1详解】 令，由，则， 所以 当时，取最小值为当时，取最大值为3， 即 故值域为. 【小问2详解】 由， 令，则，且， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故， 所以实数的取值范围. 18. （1）若，，求的值； （2）已知，，， ，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式及同角三角函数关系式可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，， 所以； （2）因为，，所以， 又，，且， 所以，因为， 所以， 又，而在上单调递减，则， 所以， 由 ， 又，所以. 19. 已知函数是奇函数，且. （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数是一个奇函数，由； （2）根据函数的奇偶性，先利用函数单调性的定义证明在上的单调性，再利用奇偶性和单调性的关系求解； （3）利用（1）（2）的结论，转化为以对任意实数恒成立求解. 【小问1详解】 因为函数是一个奇函数， 所以，即， 可得，即， 所以，解得或. 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，满足题意， 综上，的值为1； 【小问2详解】 在上单调递增， 不妨设， 则， 又，所以，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 又是奇函数，所以在，上单调递增； 【小问3详解】 若对任意实数，不等式恒成立， 即， 又是奇函数，所以， 又在上单调递增. 所以对任意实数恒成立， 又， 所以当时，取得最大值， 所以， 解得，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$