考点过关分层练习：直线、平面平行的判定与性质-2025届高三数学一轮复习

直线、平面平行的判定与性质 基础巩固组 1.若m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论正确的是(　　) A.若m∥α,α∥β,则m∥β B.若m⊥α,α⊥β,则m∥β C.若m∥n,n∥α,则m∥α D.若m⊥α,α∥β,则m⊥β 2.已知三个不同的平面α,β,γ和直线m,n,若α∩γ=m,β∩γ=n,则“α∥β”是“m∥n”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则(　　) A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形 B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形 D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形 4.如图,E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合),若BD1∥平面B1CE,则(　　) A.BD1∥CE B.AC1⊥BD1 C.D1E=2EC1 D.D1E=EC1 5. 如图,AB∥平面α∥平面β,过A点的直线m分别交α,β于点C,E,过B点的直线n分别交α,β于点D,F.若AC=2,CE=3,BF=4,则BD的长为(　　) A. B. C. D. 6.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,P1,P2,P3,P4四点折叠后重合为点P,E,F分别为P1B,P2C的中点,在此几何体中,下面结论错误的是(　　) A.直线AE与直线BF异面 B.直线AE与直线DF异面 C.直线EF∥平面PAD D.直线EF∥平面ABCD 7.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是　.  8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,点N是AD的中点.求证: (1)BC∥AD; (2)CN∥平面PAB. 9. 已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,△PAD是边长为2的等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F分别是棱PC,AB上的点,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另一个成立.①F是AB的中点;②E是PC的中点;③BE∥平面PFD. 综合提升组 10.(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB∥平面MNP的是(　　) 11. (2024陕西商洛模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1内的动点,且MN∥平面ABC1,则点N的轨迹的长度为(　　) A. B.2 C. D.4 12.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=　　　　.(用含m,n的式子表示)  13. (2024陕西安康模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别为棱BC,BB1,CC1的中点. (1)证明:A1F∥平面ADE; (2)若AB=BC=CC1=4,∠ABC=,求点B到平面ADE的距离. 14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图. (1)若A1C交平面EFBD于点R,求证:P,Q,R三点共线. (2)线段AC上是否存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD?若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由. 创新应用组 15.在三棱锥A-BCD中,对棱AB=CD=,AD=BC=,AC=BD=,当平面α与三棱锥A-BCD的某组对棱均平行时,则三棱锥A-BCD被平面α所截得的截面面积的最大值为　　　　　.  16.如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,且满足AD=DE=,CE=,将△ADE沿AE向上翻折,使点D到点P的位置,构成四棱锥P-ABCE.若点F在线段AP上,且EF∥平面PBC,试确定点F的位置. 1.D　解析:若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,故A不正确; 若m⊥α,α⊥β,则m∥β或m⊂β,故B不正确; 若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故C不正确; 若m⊥α,α∥β,则m⊥β,故D正确.故选D. 2. A　解析:根据面面平行的性质定理,可知当α∥β时,有m∥n,故充分性成立; 反之,当m∥n时,α,β可能相交(如图),故必要性不成立. 所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件. 故选A. 3.B　解析:如图,由题意,得EF∥BD,且EF=BD,HG∥BD,且HG=BD,∴EF∥HG,EF≠HG, ∴四边形EFGH是梯形.又EF∥BD,EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD, ∴EF∥平面BCD.故选B. 4.D　解析:如图,设B1C∩BC1=O,则平面BC1D1∩平面B1CE=OE. ∵BD1∥平面B1CE,根据线面平行的性质可得D1B∥EO,∵O为B1C的中点,∴E为C1D1中点, ∴D1E=EC1.故选D. 5.C　解析:由AB∥α∥β,易证,即, 所以BD= 故选C. 6.B　解析:由题意知,该几何体是底面为正方形的四棱锥,连接AE,EF,BF,DF(图略),易得EF∥BC∥AD,故EF,AD共面,则AE,DF共面,故B错误;又F∈平面AEFD,B∉平面AEFD,F不在直线AE上,则直线AE与直线BF异面,A正确;由EF∥AD,EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,则直线EF∥平面PAD,C正确;EF⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,则直线EF∥平面ABCD,D正确. 7.平行　解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,且正方体的两底面互相平行,所以由面面平行的性质定理知l∥A1C1. 8.证明 (1)∵BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BC∥AD. (2)由(1)知,BC∥AN,又N是AD的中点,BC=AD,∴BC=AN, ∴四边形ABCN是平行四边形,∴CN∥AB, 又CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴CN∥平面PAB. 9.解 选①②,证明③: 如图,取PD的中点M,连接ME,FM, 则ME∥CD,ME=CD,FB∥CD,FB=CD, 所以ME∥FB,ME=FB, 所以四边形MEBF为平行四边形,BE∥MF. 因为BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF, 所以BE∥平面PFD. 选②③,证明①: 如图,取PD的中点M,连接ME,FM, 则ME∥CD,ME=CD. 因为FB∥CD,所以ME∥FB. 又平面MEBF∩平面PDF=FM, BE∥平面PFD,BE⊂平面MEBF,所以BE∥MF, 所以四边形MEBF是平行四边形,BF=ME. 因为ME=CD=AB, 所以BF=AB,即F是AB的中点. 选①③,证明②: 如图,取CD的中点N,连接BN,EN, 则DN∥FB,DN=FB, 四边形BFDN是平行四边形,BN∥DF. 因为BN⊄平面PDF,DF⊂平面PDF, 所以BN∥平面PDF. 因为BE∥平面PDF,BN∩BE=B, 所以平面PDF∥平面BEN,EN⊂平面BNE, 所以EN∥平面PDF,EN⊂平面PDC, 平面PDC∩平面PDF=DP, 所以EN∥PD. 又因为N是CD的中点,所以E是PC的中点. 10.ABD　解析:对于选项A,由图可知AC∥MN,CB∥NP,故根据面面平行的判定定理可知,平面ABC∥平面MNP. 又因为AB⊂平面ABC,所以直线AB∥平面MNP,故A正确; 对于选项B,根据题意得AB∥NP,结合直线与平面平行的判定定理, 可知直线AB∥平面MNP,故B正确; 对于选项C,由题意可知,平面MNP内不存在任意一条直线与直线AB平行,故直线AB与平面MNP不平行,故C错误; 对于选项D,如图可知AC∥NP,CB∥NM,故根据面面平行的判定定理可知,平面ABC∥平面MNP,又因为AB⊂平面ABC,所以直线AB∥平面MNP,故D正确.故选ABD. 11. B　解析:如图,取B1C1的中点D,取BB1的中点E,连接MD,DE,ME,则DE∥BC1,又DE⊄平面ABC1,BC1⊂平面ABC1,所以DE∥平面ABC1. 又M为A1C1的中点, 所以MD∥A1B1∥AB, 又MD⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,所以MD∥平面ABC1. 又DE∩MD=D,DE⊂平面DEM,MD⊂平面DEM,所以平面DEM∥平面ABC1, 又因为N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1, 所以N的轨迹为线段DE,DE==2, 所以点N的轨迹的长度为2.故选B. 12.m∶n　解析:∵AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,BD⊂平面ABD,平面ABC∩平面EFGH=EF,平面ABD∩平面EFGH=EH, ∴EF∥AC,EH∥BD, ∴EF=m,EH=n. 又四边形EFGH是菱形,EF=EH, m=n,∴AE∶EB=m∶n. 13. (1)证明如图,取B1C1的中点M,连接MF,A1M,MD,B1C. 因为M,F,D,E都是所在棱的中点,则MF∥B1C,DE∥B1C, 所以MF∥DE,且MF⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以MF∥平面ADE. 因为M,D分别是B1C1和BC的中点,则MD∥B1B,MD=B1B, 可得MD∥AA1,MD=AA1,可知四边形AA1MD是平行四边形,则AD∥A1M, 又A1M⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以A1M∥平面ADE, 又A1M∩MF=M,A1M,MF⊂平面A1MF,所以平面A1MF∥平面ADE. 由A1F⊂平面A1MF可得A1F∥平面ADE. (2)解三棱锥E-ABD的体积V=S△ABD×BE=2×4sin2=,且AE==2,DE=2,利用余弦定理可得AD==2, 因为AE2+DE2=AD2,可知AE⊥DE,所以S△ADE=22=2 设点B到平面ADE的距离为h,则V=S△ADE·h,即2h=,解得h=, 所以点B到平面ADE的距离为 14.(1)证明因为AC∩BD=P,AC⊂平面AA1C1C,BD⊂平面EFBD,所以点P是平面AA1C1C和平面EFBD的一个公共点,同理可知,点Q也是平面AA1C1C和平面EFBD的公共点,即平面AA1C1C和平面EFBD的交线为PQ. 因为A1C∩平面EFBD=R,A1C⊂平面AA1C1C, 所以点R也是平面AA1C1C和平面EFBD的公共点,故R∈PQ,因此,P,Q,R三点共线. (2)解存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD. 如图所示,设B1D1∩A1C1=O,过点O作OM∥PQ交AC于点M,连接B1M,D1M,下面证明平面B1D1M∥平面EFBD.因为E,F分别为D1C1,B1C1的中点, 所以B1D1∥EF. 因为B1D1⊄平面EFBD,EF⊂平面EFBD,所以B1D1∥平面EFBD. 又OM∥PQ,OM⊄平面EFBD,PQ⊂平面EFBD, 所以OM∥平面EFBD. 因为OM∩B1D1=O,OM,B1D1都在平面B1D1M中,因此,平面B1D1M∥平面EFBD. 因为E,F分别为D1C1,B1C1的中点,所以EF∥B1D1,且EF∩OC1=Q,易知点Q为OC1的中点, 易知A1C1∥AC,即OQ∥PM,又OM∥PQ,所以四边形OMPQ为平行四边形, 所以PM=OQ=OC1=A1C1=AC. 因为四边形ABCD为正方形,且AC∩BD=P,则P为AC的中点,所以点M为AP的中点,所以AM=AP=AC,因此,线段AC上存在点M,且时,平面B1D1M∥平面EFBD. 15.3　解析:因 为每组对棱棱长相等,所以可以把三棱锥A-BCD放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,不妨设x<y<z,则,解得x=1,y=2,z=3. 当平面α与三棱锥A-BCD的对棱AB,CD均平行时,截面为四边形EFGH,当E,F,G,H分别为棱AD,AC,BC,BD的中点时,截面EFGH面积最大,最大面积为xy=1. 同样地,当平面α与三棱锥A-BCD的对棱AC,BD均平行时,截面最大面积为xz= 当平面α与三棱锥A-BCD的对棱AD,BC均平行时,截面最大面积为yz=3. 综上,三棱锥A-BCD被平面α所截得的截面面积的最大值为3. 16.解点F为线段AP上靠近点P的三等分点,证明如下: 在AB上取点G,连接FG,GE,EF,使得BG=CE=, 又BG∥CE,所以四边形BGEC为平行四边形,所以BC∥GE, 又GE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以GE∥平面PBC. 又EF∥平面PBC,EF∩GE=E,EF,GE⊂平面EFG, 所以平面PBC∥平面EFG, 又平面EFG∩平面PAB=FG,平面PBC∩平面PAB=PB, 所以FG∥PB,所以在△PAB中,=2,所以FP=AP, 所以点F为线段AP上靠近点P的三等分点. 学科网（北京）股份有限公司 $$