2026年中考数学第一轮专题复习 -一次函数与几何综合

2026年中考数学第一轮专题复习-一次函数与几何综合 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 4．（22-23八年级下·广东江门·期末）如图，等腰直角三角形△OAB的边OA和矩形OCDE的边OC在x轴上，OA＝4，OC＝1，OE＝2．将矩形OCDE沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，所得矩形与△OAB公共部分的面积记为S（t）．将S（t）看作t的函数，当自变量t在下列哪个范围取值时，S（t）是t的一次函数（　　） A．1＜t＜2 B．2＜t＜3 C．3＜t＜4 D．1＜t＜2或4＜t＜5 5．（2023·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一条直线经过第三象限内A、B两点，过A、B分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形周长均为10，则该直线的函数表达式为(  ) A．y=x–5 B．y=x–10 C．y=–x–5 D．y=–x–10 二、填空题 7．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，于点，动点从点出发，沿的方向运动，到达点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的函数图象如图2所示，那么边的长度为 . 8．（21-22九年级下·甘肃陇南·期末）已知直线y=x+3的图象与x，y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB 的面积分成2：1的两部分，则直线l的解析式为 ． 9．（2023八年级上·河北邢台·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，-2)，点B的坐标为(3，2)，点A与点C(-3，2)之间的距离为 ，点D在y轴上运动，当AD+BD的值最小时，点D的坐标为 ，此时AD+BD的最小值为 ． 10．（23-24七年级上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、、正方形，使得点、、、在直线上，点、、、在轴正半轴上，则点的坐标是 ． 11．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ． 12．（2023八年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为 ． 三、解答题 13．（21-22八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M． （1）点M坐标为_____； （2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为_____． 14．（21-22九年级上·辽宁盘锦·月考）在平面直角坐标系中一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求交点P的坐标； (2)求的面积； (3)请直接写出图象中直线（）在直线下方的部分所对应的自变量x的取值范围． 15．（23八年级下·福建福州·期中）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 16．（2023·河北石家庄·一模）如图，直线的解析式与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．    （1）点的坐标为________； （2）若将沿直线折叠，能否使点与点重合？如果可以，请求此时直线的解析式，如果不可以，请说明理由； （3）若点在直线的下方，求的取值范围． 17．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，直线与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点，求的面积． 18．（20-21八年级下·四川成都·期中）已知直线与轴，轴分别相交于点，，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点． (1)求点的坐标和直线的函数表达式． (2)若已知轴上有一点，点为直线上一点，点为直线上一点，是否存在这样的点、，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)已知轴上有点，点为直线上一点，点为直线上一点，是否存在合适的点，，使得最小，若存在，求出的最小值以及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求出一次函数的解析式，设，得到四边形的周长等于，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：，即：， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形的周长是； 故选C． 2．B 【分析】根据点P（m，m）可得均为等腰直角三角形，根据OP2﹣PQ2＝6得出，求出m值即可求得k的值． 【详解】解：作，， P（m，m）， ， ， ， 均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 解得：， , 点的纵坐标为， ， 将点Q代入中， 得：， 故选:B． 【点睛】本题主要考查一次函数函数图像，等腰三角形以及勾股定理，根据已知条件求出m的值是解题的关键． 3．D 【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键． 先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可． 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 4．D 【分析】分，，，，讨论即可得出结果． 【详解】解：，，， 当矩形在范围内移动时，由0变为2，随的增大而增大， 当矩形在范围内移动时，为定值2， 当矩形在范围内移动时，由2变为0，随的增大而减小， 当矩形在时，为0， 综上所述，矩形在或范围内移动时，是的一次函数， 故选：． 【点睛】本题考查了图形的平移、一次函数的定义，抓住一次函数的定义分类讨论是解决本题的关键． 5．A 【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得， 设直线AB的解析式为y=kx+b 则 解得： ∴直线AB的解析式为：y=x-4， ∴x=y+4， 设直线AC的解析式为y=mx+n 则 解得： ∴直线AC的解析式为：， ∴， ∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：， ∴， ∵EP=3PF， ∴， ∴点P的横坐标为：， ∵， ∴． ∴ 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键． 6．C 【详解】如图，设A点坐标为（x，y），过A点分别作AD⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵A点在第三象限，∴AC=–x，AD=–y，∵矩形ADOC的周长为10，∴2（–x–y）=10，∴x+y=–5，即y=–x–5，故选C． 7．6 【分析】根据题意，分析P的运动路线，分3个阶段分别进行讨论，可得BC,CD,DA的值，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AE，即可求解. 【详解】根据题意，当P在BC上时，三角形的面积增大，结合图2可得BC=4; 当P在CD上时，三角形的面积不变，结合图2可得CD=3; 当P在AD上时，三角形的面积变小，结合图2可得AD=5; 过D作DE⊥AB于E， ∵AB∥CD，AB⊥BC， ∴四边形DEBC为矩形， ∴EB=CD=3，DE=BC=4， ∴AE= ∴AB=AE+EB=6. 【点睛】此题主要考查矩形的动点问题，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 8．或 【分析】根据直线的解析式可求出、两点的坐标，（1）当直线把的面积分为时，作于，于，可分别求出与的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；（2）当直线把的面积分为时，同（1）． 【详解】解：由直线的解析式可求得、， 如图（1），当直线把的面积分为时， 作于，于，则，则， ，即 ，同理，解得． ， 直线的解析式为； 如图（2），当直线把的面积分为时 同理求得， 直线的解析式为． 【点睛】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到三角形的面积公式及分类讨论的方法． 9． (0，-1) 【分析】根据两点的距离公式即可求出AC的长；根据轴对称的性质结合两点之间线段最短，即可得出D点的位置，且最小值为AC的长，由一次函数的图象和性质可求出D点坐标． 【详解】解：； 由点B(3，2)，点C(-3，2)可知B、C两点关于y轴对称， 如图，连接AC，与y轴的交点即为点D，即此时AD+BD的值最小． 设直线AC的解析式为， ∴，解得：， ∴直线AC的解析式为， 当时，， ∴D(0，-1)； 由轴对称的性质可知AD+BD=AD+CD=AC， ∴AD+BD的最小值为． 故答案为：，(0，-1)，． 【点睛】本题考查两点的距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短以及一次函数的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 10． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标规律探究，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，点的坐标规律是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“为正整数）”即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 点． 四边形为正方形， 点． 同理，可得出：，，，，， ，，，，， ． 故答案为： ． 11． 【分析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为（，），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3）， ∴AC=7， ∴， ∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为（，0） ∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3）， ∴直线CD的解析式为， ∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线CD的交点坐标为（，）， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． 12．10 【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，易得△OCM≌△OAN；由CM＝ON，OM＝ON；设点C坐标（a，b），可求得A（2a﹣5，﹣a），则a＝3，可求OC＝，所以正方形面积是10． 【详解】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N， ∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°， ∴∠NOA＝∠COM， 又因为OA＝OC， ∴Rt△OCM≌Rt△OAN（ASA）， ∴OM＝ON，CM＝AN， 设点C （a，b）， ∵点A在函数y＝2x﹣5的图象上， ∴b＝2a﹣5， ∴CM＝AN＝2a﹣5，OM＝ON＝a， ∴A（2a﹣5，﹣a）， ∴﹣a＝2（2a﹣5）﹣5， ∴a＝3， ∴A（1，﹣3）， 在直角三角形OCM中，由勾股定理可求得OA＝， ∴正方形OABC的面积是10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数与正方形的综合，涉及全等三角形的证明，勾股定理的应用，函数的相关计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．（1） (，)；（2） (0，)或(0，)或(0，) 【分析】（1）解析式联立，解方程即可求得； （2）求得BM的长，分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）解得， ∴点M坐标为（，）， 故答案为（，）； （2）∵直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B， ∴B（0，2）， ∴BM＝＝， 当B为顶点，则E（0，）或（0，）； 当M为顶点，则MB＝ME， E（0，）， 综上，E点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）， 故答案为（0，）或（0，）或（0，）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及等腰三角形的特点． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，再联立两个解析式，求出交点坐标即可得解； （2）分别求出的坐标，利用，进行求解即可； （3）根据图象确定直线在直线下方时的自变量的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得：， ∴， 联立得：， ∴； （2）解：∵直线和直线分别与x轴交于点A，B， 在中，当时，；在中，当时，； ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由图象可知，当时，直线在直线下方， ∴自变量的取值范围为：． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 15．(1)的值为，的值为 (2)①点的纵坐标为；点的纵坐标为 ；②或 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入直线解析式中求出点的坐标，再把点的坐标代入直线解析式中即可求出的值； （2）①令，分别求出即可得到答案；②根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ； 点在直线：上， ， ． 的值为，的值为； （2）解：由（1）知直线：， 又直线与直线，分别交于点，， 当时， 点的纵坐标为； 点的纵坐标为． 当 ， ， 即或， 所以或． 16．（1）； （2）不能，理由见解析；（3） 【分析】（1）令解出y的值即可求解； （2）根据坐标的特点得到，故可判断； （3）令，得，故可得到，再结合函数图象的特点即可求解． 【详解】解：（1）， 令，解得 所以点坐标为． 故答案为：． （2）不能． 如图，连结． ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴与不可能重合， ∴不能使点与点重合． （3）当时， ∵点在直线的下方， ∴， 解得． 的取值范围为． 【点睛】此题主要考查一次函数图象上点的坐标特点，求坐标系中两点间的距离，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质． 17．(1) (2)4 【分析】（1）根据过点，确定其坐标，后代入的解析式，解答即可； （2）根据解析式，确定与坐标轴的交点的坐标，根据三角形面积公式解答即可． 本题考查了图象交点，待定系数法，图象与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：直线过点 解得： 把代入直线的解析式得：， 解得 故直线的解析式为；． （2）当时，解得：， ∴点的坐标为； 当时，解得：， ∴点的坐标为， ， ． 18．(1)， (2)存在，点的坐标为或或 (3)存在，的值最小，最小值为 【分析】（1）直线与轴，轴分别相交于点，，可求出点，的坐标，将对折，可得，根据勾股定理即可求解； （2）假设是平行四边形，设，，第一种情况，；第二种情况为平行四边形的对角线，由此可求解； （3）最小，则点，，在一条直线上，根据直角三角形的勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点，， ∴，，则，， 在中，， 将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点，如图所示，连接， 根据折叠的性质，则， ∴，设， ∴，， 在中，，即，解方程得，， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵点，， ∴， ∵直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上一点，点为直线上一点， ∴设，，如图所示， 若是平行四边形， 第一种情况，，， ∴，， ∴， 当时，， 当时，， 故点的坐标为或； 第二种情况，是平行四边形的对角线，如图所示， 过点作轴于，过点作轴于， ∴，，，， ∵是平行四边形的对角线，且，根据平行四边形的对角线分两个三角形的面积相等， ∴，即, ∴， ∴，则， ∴，，且，， ∴，， ∴，当时，， 故点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：轴上有点，点为直线上一点，点为直线上一点，如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交轴于，延长交轴于，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线并延长，两线相交于点， ∵由（1）可知，是的角平分线， ∴，设， ∴求的最小值，就是计算的值，当在一条直线上，且直线时，有最小值， ∴在中，，，，设，则，，且, ∴在中，,，，，， ∴， ∴点， ∵直线， ∴，， ∵点在直线上，设， ∴，，是等腰直角三角形， ∴直线与轴的交点是，与轴的交点是，由点可知，， ∴，点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，线段和最短问题，掌握一次函数图形的性质，根据图形变换，图形结合思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $