2026年中考数学第一轮专题复习-特殊四边形（二次函数综合）

2026年中考数学第一轮专题复习-特殊四边形（二次函数综合） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·河北石家庄·二模）如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023·四川眉山·一模）如图，矩形OABC，点A的坐标为，AB＝1．若抛物线与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（    ）． A．c＞8或c＜－1 B．－1＜c＜8 C．c＞1或c＜－8 D．－8＜c＜1 5．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·福建南平·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 二、填空题 7．（2023·四川成都·一模）如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是 ． 8．（22-23九年级上·浙江金华·月考）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形. （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 . 9．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第四象限，已知点坐标为，以为顶点的抛物线恰好经过点，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是 ． 11．（2023·广东广州·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是 ．（填写正确的序号） 12．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 14．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，作轴交于点，若，求点的坐标： (3)将原抛物线向右平移得到新抛物线，使之经过点，新抛物线与轴左侧交点为，点是新抛物线对称轴上一点，点是第一象限内一点，当，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 15．（25-26九年级上·四川眉山·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 16．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，抛物线（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标； (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，求点到线段距离的最大值，并写出此时点的坐标； (3)在抛物线上找一点，使，求点的坐标； (4)在对称轴上找一点，使最大，直接写出点的坐标； (5)  为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (6)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 18．（2025九年级上·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 3．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 4．D 【分析】求得抛物线经过点A时的c的值，然后根据图象即可求得． 【详解】解：矩形OABC，点A的坐标为（2，0），AB＝1， ∴OC＝AB＝1， 把A（2，0）代入y＝2x2＋c得，0＝8＋c，解得c＝−8， 由图象可知，−8＜c＜1，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 5．D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设 ， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 6．B 【分析】由矩形的性质可知，即说明当最小时，最小．再根据当点A与抛物线顶点重合时最小，即可求解． 【详解】∵四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小． ∵点A在抛物线上运动， ∴的长为的值． ∵， ∴当时，最小，最小值为1， ∴对角线的最小值为1． 故选B． 【点睛】本题为二次函数与几何的综合题，考查求二次函数的顶点坐标，矩形的性质．正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 7．8 【分析】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况． 【详解】解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， 当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1， ∴点A（-4，0）、B（1，0）， ∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点， ∴D（m，-m2-m+2）， 过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m， ∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积， ∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m）， =-m2-4m+4 =-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）； 则m=-2时，S取得最大值，最大值为8， 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键． 8． 8 【分析】 （1）根据抛物线解析式，确定对称轴以及顶点坐标，再根据“美丽抛物线”求解即可； （2）根据抛物线解析式，确定对称轴以及顶点坐标，再根据“美丽抛物线”求解即可； 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得， 抛物线的顶点坐标，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得（舍去）或 （2）抛物线的顶点坐标，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得（舍去）或 故答案为：，，． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是理解“美丽抛物线”的含义，掌握二次函数的有关性质． 9． 【分析】根据正方形的性质即可得到全等三角形，进而得到线段的长度，最后利用二次函数的待定系数法即可求得结果． 【详解】解：过作轴，交轴于；过点做于，；过点作于， ∵ ∴ ∵正方形 ∴且 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴在和中 ∴ ∴≌ ∴且 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴四边形为正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴设函数解析式为 ∴将代入解析式得到 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数与正方形性质的综合应用，掌握二次函数的顶点式与正方形性质的综合应用是解题的关键． 10．或或 【分析】令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题． 【详解】解：在中， 令，得， 解得：，， ， 设， 分三种情况： ①以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 、，， 的中点为，中点为， ， 解得， ， ②以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， ③以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， 综上所述，点N的坐标为或或 故答案为：或或 11．①②④ 【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】①， ， ， 无论取何值，总是负数， 故①正确； ②抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线， 故②正确； ③ ， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 12． 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 13．(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 14．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得新抛物线的对称轴为，设，进而求得，再分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 解得：或 当时，，则 当时，，则 综上所述，或 （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， 当时，解得： ∴新抛物线与轴左侧交点为，则 ∵， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 此方程无解， ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴（不在第一象限，舍去）； 综上，点N的坐标为或 ． 15．(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】（1）把，代入，求的值即可； （2）先求直线的解析式，设，，求出关于的关系式．延长交轴于点，证明是等腰直角三角形，得到，再求出关于的关系式，即可求解的最大值及此时点的坐标； （3）先求出新抛物线的解析式，设，，分，，为对角线，分类讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． 直线与抛物线相交于、两点， ， 解得或， ． 设，， ， 且， ． 如图，延长交轴于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． ，开口向下， 该函数图象有最大值， 对称轴为直线， 且在中， 当时，取最大值，为． 把代入中得，， ； （3）解：由题意得新抛物线的解析式为：， 对称轴为轴，即直线， 设，， ①若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ②若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ③若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式． 16．(1)； (2)； (3) (4) (5) (6)存在；点的坐标为、和 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，根据顶点坐标公式求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，过点作于点，设点，点坐标为，得到直线的解析式，进而得到的最大值，从而得到点的坐标，根据，求出点到线段距离的最大值； （3）过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，易证得，根据全等三角形的性质易得点的坐标，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标； （4）作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，要使最大，点应在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点的坐标； （5）根据可得点、到的距离相等，分两种情况讨论：①当、在同侧时，，利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标；②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，利用待定系数法求出平行线的解析式，根据图像发现，此时不存在点； （6）分类讨论：当为平行四边形的对角线时和当且时，根据平行四边形对角线中点坐标相同进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： 解得 则抛物线的解析式为， 对称轴为， 将代入得， 则点的坐标为； （2）解：根据抛物线与轴交于点得，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和点代入得 解得 则直线的解析式为， 过点作轴，交直线于点，过点作于点， 设点，点坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 则点坐标为， 根据点和点得、， 则 由于，轴， 则、， ， 因此，点到线段距离的最大值为，点的坐标为； （3）解：过点作且，连接，过点、作轴的平行线，与过点作轴的平行线，分别交于点、，取的中点，作射线与抛物线交于点，此时，如图： 则、、， ， ， ， 点、， 、， 点的坐标为， 中点的横坐标为、纵坐标为， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 将直线与抛物线联立得： ， 解得或， 由于点， 则点的横坐标为， 将代入得， 因此点的坐标为； （4）解：作点关于对称轴的对称点，作射线，交对称轴于点，如图所示： 由（1）知，抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，即为点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，点的坐标为； （5）解：根据题意得： ， 则点、到的距离相等， 分两种情况： ①当、在同侧时，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线的解析式为， 将直线的解析式与抛物线解析式联立得， ， 解得或（舍去）， 将代入得，， 因此，点的坐标为； ②当、在两侧时，延长到点使，则点坐标为，即为点，过点作的平行线，如图： 设过的直线解析式为， 将点代入得，， 解得， 则直线解析式为， 由图像发现，此时过点的直线与抛物线没有交点， 则点不存在， 综上所述，点的坐标为； （6）解：存在点，点坐标为、和； 理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为，对称轴为， 设点，， 当为平行四边形的对角线时， 根据题意得：， 解得， 当时，， 则点的坐标为； 当且时， 根据题意得：， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为和， 综上所述，抛物线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的点的坐标为、和． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，是二次函数压轴题，掌握利用待定系数法求解析式，全等三角形的运用，等腰直角三角形的性质、利用轴对称解决路径问题，三角形等面积的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 17．(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 18．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $