精品解析：福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题（培青班）

2024-2025学年第一学期长乐一中阶段考试（培青班） 高中一年数学科试卷 命题教师：高一数学集备组 高一数学集备组 考试日期：12月19日完卷时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角为：（ ） A. B. C. D. 2. 已知是三角形的内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是 7. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 11. 已知函数，方程有4个不同实根，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则用表示_____. 13. 在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作．若，则______． 14. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． （1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； （2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 16. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性，并求出使成立的的取值范围； （2）设（1）中的取值范围为集合.现有函数，其定义域为，若对中任意一个元素，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重对应函数”.试判断是否为的“重对应函数”?如果是，写出并计算出；如果不是，请说明理由. 17. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）求在上的最大值； （3）若，比较与的大小. 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期长乐一中阶段考试（培青班） 高中一年数学科试卷 命题教师：高一数学集备组 高一数学集备组 考试日期：12月19日完卷时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角为：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出与角终边相同的角表达式，再逐项判断得解. 【详解】与角终边相同的角为，， 令，得，A是；其余选项代入可得不是整数，BCD不是. 故选：A 2. 已知是三角形的内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可． 【详解】∵是三角形的内角，∴，即， ∵，∴， ∴. 故选：B． 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，由图象得到的单调递增区间，根据条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值、对数函数、指数函数的单调性判断出各数所在区间，从而比较大小. 【详解】，，， ， 故选：A. 6. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根， 于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确. 故选：C. 7. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据恒成立的性质，结合二次函数和对数函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数再判断函数的奇偶性，结合函数的单调性求解即可. 【详解】设，， ， ，即， 设， ， 由于，故，故， 则，故为奇函数，且在上单调递增， 则， 即，故，解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数，利用零点存在性定理判断A；利用零点的定义判断B；利用指数对数函数图象关系判断C；利用二分法求出近似解的方法判断D. 【详解】对于A，令，函数在R上递增，， 因此函数的零点，即方程的解在内，A正确； 对于B，函数的零点是，B错误； 对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确； 对于D，函数在R上递增，由， 得函数的零点在区间上，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同函数的概念判断A，根据函数的定义域和值域的概念判断BC，利用换元法列方程组判断D. 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，所以两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，选项A说法正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，选项B说法正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，选项C说法错误； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，选项D说法正确； 故选：ABD 11. 已知函数，方程有4个不同实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出给定函数的图象，利用图象并结合函数性质逐项分析得答案. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线， 对于A，观察图象，当且仅当时，方程有4个不同实根，A错误； 观察图象得， 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，是方程的两个根，即方程的两个根， 则，因此， 由，得，于是，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则用表示_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义得到，结合同角三角函数关系得到方程组，求出，进而得到答案. 【详解】，则， 由正余混弦的定义可得． 则有，解得， 因此． 故答案为：． 14. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程根的分布，求出的取值范围. 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． （1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； （2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得； （2）令，结合指数函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 依题意得，则， 当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时； 【小问2详解】 由题意令，得，即， 则， 则， 即 解得： 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度. 16. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性，并求出使成立的的取值范围； （2）设（1）中的取值范围为集合.现有函数，其定义域为，若对中任意一个元素，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重对应函数”.试判断是否为的“重对应函数”?如果是，写出并计算出；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）函数为偶函数，证明如下： 函数，其定义域为， 又，则函数为偶函数. 使成立的的取值范围为. （2）是，，. 【解析】 【分析】（1）利用定义判断函数的奇偶性即可，结合奇偶性和函数的单调性求解函数不等式即可. （2）作出在上的图象，结合函数的对称性求解出结果. 【小问1详解】 设，则， 又由，则，，，故， 故函数在上为增函数； 又由 ， 则，即， 变形可得，解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以，作出在上的图象如下图， 由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有4个交点， 根据定义可得是A的“4重对应函数”，即. 由的对称性知：， 则，所以是A的“4重对应函数”， ，. 17. 已知函数（且）的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）求在上的最大值； （3）若，比较与的大小. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，求出，并得到不等式，求出定义域； （2）化简得到，根据，配方得到，，得到答案； （3）变形得到，，，所以，变形得到，，在上是增函数，又在时是减函数，故在上是减函数，. 【小问1详解】 由已知，， ，定义域为； 【小问2详解】 ， ， 当时，，则， 所以， 故最大值为，时取等号； 【小问3详解】 ，，， 其中，， 因为，所以，所以， 因为，则，， 因为，所以，，即， ，， 结合，可得，， 在上是增函数，又在时是减函数， 在上是减函数， . 【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 18. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明： ． （2）（ （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $