精品解析：山东省枣庄市第八中学2024-2025学年高二上学期1月月考数学试题

2024-2025学年第一学期高二1月考试 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 2025．01 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，成等差数列；，，，，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 3或27 4. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，的准线交对称轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 最小值为 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 的面积最小值为2 8. 已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使得成立的的最大值为23 C. 使取最大值的值有2个 D. 11. 在棱长为1的正方体中，点满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，仅有一个点满足到直线的距离与到平面的距离相等 C. 当时，有且仅有一个点满足 D. 当时，线段扫过的图形面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为_____ 13. 已知数列的前项和为，且，，数列的通项公式为_____ 14. 已知实数、满足，则取值范围是_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆的焦距为2，为上一点． （1）求C的方程； （2）当与直线平行的一组直线与相交时，证明：这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上； 16. 已知各项均不相等等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项． （1）求，； （2）令，求数列的前12项和． 17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； 19. 已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为2． （1）求． （2）过点直线与交于，两点． ①若是线段的中点，求； ②点在直线：上且不在直线上，是线段的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二1月考试 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 2025．01 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准型，进而可得出焦点坐标. 【详解】根据题意，抛物线， 所以焦点坐标是. 故选：D 2. 若，，，成等差数列；，，，，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差、等比数列的性质求、，即可得结果. 【详解】由题设，且，又， 所以，故. 故选：A 3. 设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 3或27 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得的关系，进而求得的值，由双曲线定义进而求得答案． 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程是，且， 所以，， ， 又，，所以点只在左支上， 所以，即. 故选：C. 4. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】推导出数列为等差数列，确定其公差为，根据题意求出的值，再根据等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】在数列中，， 令可得，所以，， 所以，数列为等差数列，其公差为，所以，，可得， 所以，， 因此，. 故选：C. 5. 若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用累加法可求通项公式. 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 故选：B. 7. 已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，的准线交对称轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 的面积最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时，计算可得此时，以为直径的圆不与轴相切，即可判断AC；对于B：设，结合抛物线定义表示，利用基本不等式求其最小值即可判断，对于D，设直线的方程为，，联立方程组求，表示的面积求其最小值，即可判断. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，点的坐标为， 对于AC：当直线的斜率不存在时，即直线方程：， 联立可得，或， 不妨设交点的坐标为，则点的坐标为， 所以，A错误； 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故C错误. 对于B，设点的坐标为，则， 又三点共线，故， 所以，， 所以， 所以， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时取等号， 所以，，所以， 所以，当且仅当直线与垂直时等号成立， 所以的最小值为，B正确； 对于D： 过点的斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求， 故可设直线的方程为，，， 由，得， 得，，，又， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积最小值为，故D错误． 故选：B． 8. 已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积两种不同表达方式，和，分别得到焦点三角形面积的最大值，建立方程即可求解. 【详解】设的内切圆半径为， 则， 所以当取到最大值时，， 又， 所以，即， 因为，所以， 所以， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a，b，c，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选：BC 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使得成立的的最大值为23 C. 使取最大值的值有2个 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件结合关系求通项公式，并逐项判断各项正误. 【详解】A：当时， 显然也满足上式，故，对； B：由，可得且，故的最大值为22，错； C：由，当或12时，且最大，对； D：由A，令，可得，则 ，对. 故选：ACD 11. 在棱长为1的正方体中，点满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，仅有一个点满足到直线的距离与到平面的距离相等 C. 当时，有且仅有一个点满足 D. 当时，线段扫过的图形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解. 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则，，，， 则，所以， 选项A：当时，点为线段上的点， 将平面和平面沿展开为同一个平面，如图： 连接，则的最小值为，故A正确； 选项B：当时，， 则，，，， 则在上的投影为， 则点P到直线的距离； 平面的一个法向量为，， 则点P到平面的距离为， 当点P到直线的距离与到平面的距离相等时， ， 因为，所以方程有一个解， 则，即仅存在一个点P满足条件，故B正确； 选项C：当时，，，， 则，即，即满足条件的P点有无数个，故C错误； 选项D：当时，， 可知点在以和为半径的上，线段是以为旋转轴的圆锥的母线， 所以线段扫过的图形面积为该圆锥的侧面积的，即，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，然后得到点到直线和点到平面的距离的表达式，从而判断出C选项的正误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点及顶点求得双曲线中，进而得出双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的方程为， 因为椭圆的焦点为，长轴顶点为， 所以，，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，且，，数列的通项公式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求数列的通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减，得：， 又， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列. 所以. 故答案为： 14. 已知实数、满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】化简曲线方程，作出图形，令，求出当直线与曲线相切时，以及直线与直线重合时对应的的值，数形结合可得出的范围，由此可得出的取值范围. 【详解】当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化，即曲线不出现在第三象限； 当，时，曲线方程可化为， 作出曲线的图形如下图所示： 设，即， 由图可知，当直线与圆相切，且切点在第一象限时， 则，且，解得， 由因为双曲线、的渐近线方程均为， 当直线与直线重合时，， 所以，，故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆的焦距为2，为上一点． （1）求C的方程； （2）当与直线平行的一组直线与相交时，证明：这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用椭圆的定义，结合距离公式计算即可； （2）设这组平行线的方程为，与联立，借助韦达定理和中点坐标公式计算内即可. 小问1详解】 由题意知：；，因为； 由椭圆的定义知，所以的方程为． 【小问2详解】 证明：设这组平行线的方程为，与联立消去， 得， 则，得． 设直线被截得的线段的中点为，则， （其中，是方程的两个实数根．） 又由，消，得， 这些直线被截得的线段的中点均在直线上． 16. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项． （1）求，； （2）令，求数列的前12项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，结合等差数列定义计算即可得，再利用等比数列性质计算即可得； （2）结合所给条件，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得. 小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 因为，则，即， 又因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，又因为，所以， 联立，解得，所以， 又，，是等比数列，所以， 则； 【小问2详解】 由（1）可得，的所有奇数项组成以1为首项，2为公差的等差数列， 所有偶数项组成以2为首项4为公比的等比数列， 所以 . 17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，由题意，列出方程组，求解得的值，即可写出圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设的方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值即得. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由已知得， 解得，，， 所以圆的方程为，即； 【小问2详解】 ① 若直线有斜率，可设的方程为，即， 由已知，则圆心到直线的距离 解得， 此时，直线的方程为，即； ② 若直线没有斜率，则的方程为， 将其代入，可得或， 即得，，满足条件， 综上所述，直线的方程为或． 18. 如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行判定定理和性质定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、， 因为是线段的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为点，，分别为棱，，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 因为底面，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，则有， 设与平面所成角为， 则直线与平面的夹角的正弦值为． 19. 已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为2． （1）求． （2）过点的直线与交于，两点． ①若是线段的中点，求； ②点在直线：上且不在直线上，是线段的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式得到关于的方程，解出即可； （2）①设直线，联立得到韦达定理式，再根据解出，最后代入弦长公式即可； ②设,求出，从而得到相关直线斜率，再作差计算，最后化简即可. 【小问1详解】 设抛物线的焦点为, 根据题意可知,解得. 【小问2详解】 ①设直线. 联立得,则，解得或，， ①因为是线段的中点,所以, 与联立可得或 根据对称性,不妨设在第一象限, 则，， . ②设,则.直线, 令,得,则, 直线的斜率, 直线的斜率. , 所以,即. 因为,所以四边形为平行四边形,所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设点法，再计算相关直线斜率，作差再整体代入韦达定理式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$