2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数的图象与系数的关系

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数的图象与系数的关系 一、单选题 1．（25-26上海期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26九年级上·湖北随州·月考）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且），其中结论正确的个数为（    ） ①， ②， ③， ④， ⑤为任意实数）， ⑥当时，y的值随着x的值增大而增大． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九年级上·云南昆明·月考）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④当时，；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论： ； ； ； ；其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，其对称轴是直线，则以下四个结论中：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线过点、，已知，点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，则t的取值范围为 C．关于的方程有实数根 D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是 ． 10．（25-26九年级上·内蒙古通辽·月考）如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ． 11．（2025九年级上·河北石家庄·专题练习）已知二次函数 的图象如图所示，且关于的一元二次方程 没有实数根，有下列结论：①；②；③．其中正确的有 个． 12．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的命题有 ． 13．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为 ． 三、解答题 14．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 15．（25-26九年级上·江苏南京·月考）二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 16．（25-26九年级上·安徽池州·期中）已知抛物线经过点． (1)求及的值； (2)若直线经过抛物线的顶点，且与抛物线的另一个交点为，求点的坐标； (3)若抛物线上有两点和，且，求的取值范围． 17．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 18．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， 根据该抛物线开口向下，其对称轴是直线，可知，，易得，故结论①正确；由该抛物线经过点，且对称轴是直线，可知当时，可有，故结论②正确；当时，可有，故结论③错误． 【详解】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴， ∵其对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论②正确； ∵该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是结合抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，对每个结论逐一分析判断． 由抛物线开口方向得；由对称轴得；由抛物线与轴交于负半轴得，从而判断是否成立；由抛物线与轴有两个交点得；利用对称性知与时函数值相等，判断的符号；取时的函数值结合判断的符号；由时函数取得最小值，判断是否成立；根据对称轴与开口方向判断时随的变化趋势． 【详解】解：抛物线开口向上， ； 对称轴为，即， ； 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； 对称轴为， 与时函数值相等，时， ，故③错误； 当时，， 代入得，故④正确； 时函数取得最小值， ，即，故⑤正确； 对称轴为且开口向上， 当时随的增大而减小，故时随的增大而减小，⑥错误； 综上，正确的结论有②④⑤，共个． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质，分析系数a，b，c的符号及特殊点的函数值，再逐一分析结论，统计出正确结论即可． 【详解】解：①：由抛物线的开口向下知， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②：对称轴为直线，得，即，故②正确； ③由图可知：当时，， ∴，故③错误； ④∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴，故④错误， 综上所述，有2个结论正确． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与轴的交点可以得出判断．⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断； 【详解】解：①观察图象可知：，由图象可知抛物线对称轴为直线，即 ，得，由图象与轴的交点可得， ，所以①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线，即 ，解得，即，所以②正确； ③由图象可知时函数有最大值，因为时，时，所以，即③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，即，所以⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，所以④错误； 所以①②③⑤正确，共4个 故选：B． 5．C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 两式相减得出：， ∴， 将，代入得出：，故②正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 把，代入方程， 得 ∴，，故④不正确； 正确的个数是2个， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据题意可得函数的最小值为，据此可判断④． 【详解】解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 对称轴为直线，， ∴函数的最小值为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质即可判断①②③，再由一元二次方程解的情况可以看作函数图象的交点个数判断④即可得到答案． 【详解】解：①由于抛物线的开口向下，则，故①正确； ②抛物线对称轴为直线， ，故②正确； ③抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，故③错误； ④关于的一元二次方程解的情况，可以看作抛物线与直线的交点个数， 如图所示： 抛物线与直线有两个不同的交点， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述，四个结论中正确的是①②④，共个， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，，由二次函数的顶点的坐标为得出，将代入二次函数的解析式可得，即可判断A错误；求出，结合点在点与点之间（包含端点），得出，即可判断D正确；由二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上，得出抛物线与直线没有交点，即可判断C错误；由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，由此即可判断B错误；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵二次函数的顶点的坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴，即，故A错误； 在中，当时，，即， ∵点在点与点之间（包含端点）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； ∵二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上， ∴抛物线与直线没有交点，则关于的方程没有实数根，故C错误； 由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值， ∴，且， 解得：，故B错误； 故选：D． 9． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，绝对值函数的图象变换及一次函数与二次函数的交点问题．先分别求出直线与抛物线恰好只有一个交点时和直线恰好经过点时的m的值即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，的图象经过点，，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数关于x对称的函数解析式为， 联立，得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 则， ∴， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与直线有四个交点， 故答案为：． 10．①②③④ 【分析】由题得对称轴为直线，则；由函数图象可知，，，由得；当时，函数有最大值；先求出直线的解析式，再将代入求出，得二次函数解析式为，直线的解析式为，过点作轴交于点，用表示出的面积，即可得当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：抛物线与轴交于，， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 抛物线开口向下， ， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，②正确； 抛物线的对称轴，开口向下， 时，有最大值，最大值， （为任意实数）， 即（为任意实数），③正确； ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 将代入， 得， ， 二次函数解析式为，直线的解析式为， 过点作轴交于点， ， ，， ， ， ， 当时，的面积最大，④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数图象与系数的关系，二次函数最值、待定系数法求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 11．①②③ 【分析】本题考查二次函数图象的性质以及与系数a、b、c的关系．由图可知三个结论都正确，对三个结论一一证明． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ∴，说法①正确； ∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，说法②正确； 如果抛物线的图象向下平移2个单位，那么抛物线与轴只有一个交点， ∴当抛物线向下平移d个单位， 当时，抛物线与轴没有交点， 此时抛物线与y轴的交点向下平移的长度大于2， 所以二次函数中，，说法③正确； 故答案为：①②③． 12．①③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵ ∴，②说法不正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴，即，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，⑤说法不正确； 故答案为①③④． 13．2 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可． 【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴   ∴，，， ∴，故①错误； ②∵二次函数与x轴交于，且对称轴为， ∴与x轴另一个交点为， 将代入 得： 将代入，得， 由图像可知，，故②错误； ③将变形得：， 由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④将代入 得： 整理得： 将代入，得， 将代入 得： 将代入，得， （1）+（2）得：，故④正确； 所以正确的个数为2个， 故答案为：2． 14．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象与两点，由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，此时，，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离”为； （3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； ， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为， ∴， 解得， ∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则． 15．(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 16．(1)， (2)点的坐标为 (3)当时， ；时， 【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的对称轴以及顶点坐标公式和其它性质是解题的关键． （1）已知抛物线过点，，说明对称轴为，从而可得的值，再代入求； （2）抛物线的顶点D在直线上，利用顶点坐标公式结合对称轴和c的值求参数，再联立方程求交点E； （3）利用抛物线的对称性和开口方向分析两点纵坐标大小关系，结合对称轴位置确定t的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由抛物线经过点，，得其对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ； （2）由（1）得， ∴ 抛物线的顶点为， 又直线经过抛物线的顶点 ， ， 联立方程组， 解得，， 点的坐标为； （3）由（1）知抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， 若，则，得， 则有： ①当时，由图象可知：使的的取值范围是； ②当时，由图象可知：使的的取值范围是． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式的关系等知识点． （1）运用待定系数法求解即可； （2）不等式的解集即为直线在抛物线上方时所对应的的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与二次函数的图象交于点， ∴， ∴，， 将，代入， 则， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴不等式的解集为． 18． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 答案第1页，共2页 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