2025年中考数学复习专题：二次函数

2025年中考数学复习专题：二次函数 一、单选题 1．若点、都在抛物线上，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D．2 2．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是y轴 B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下 3．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(　　) A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 二、填空题 7．如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 8．抛物线（为常数）与坐标轴交点的个数是 ． 9．若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是 ． 10．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ．    11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表： x … － －1 － 0 1 … y … － －2 － －2 － 0 … 则该二次函数的表达式为 ． 12．如图，抛物线的顶点为，为坐标原点，四边形为正方形，则 . 三、解答题 13．已知，，取什么值时，与相等？ 14．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米． （1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围； （2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积． 15．抛物线y=﹣x2+2x+3． （1）画出它的图象 x … … y … … （2）根据图象回答下列问题： ①x满足　 　时，y随x的增大而减小？ ②x满足　 　时，y=0； ③当0≤x≤3时，y的取值范围是　 　． 16．已知抛物线y=﹣2x2+4x+1． （1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P(－2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 17．已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 18．某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下： 销售单价x（元/件） … 20 25 30 35 … 每月销售量y（万件） … 60 50 40 30 … （1）求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）求出每月的利润z（万元）与销售单x（元）之间的函数关系式． （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么并求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=售价﹣制造成本） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B C C 1．D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 首先将点、代入，分别求出a，b，然后得到M，N的坐标，进而得到轴，即可求解． 【详解】解：将点、代入， 解得：，， ，， 轴， ， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，函数有最小值，即可求解． 【详解】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线， ∴顶点为， ∵数据从到1对应的y值不断减小， ∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，函数有最小值， 故选项A，B，D都错误． 故选：C． 3．B 【分析】设二次函数解析式，利用待定系数法即可求即． 【详解】解：设二次函数解析式， ∵二次函数的图象与y轴交点坐标为， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交点坐标为和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式． 故选择B． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式方法是解题关键． 4．B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由函数图象可得：对称轴为直线， ∴b=-2a， ∴b+2a=0，①正确； ②由图象及对称轴可得，抛物线与x轴的两个交点关于x轴对称， ∴与x轴的另一个交点为（3,0）， ∴的解集为：，②错误； ③当x=2时，y=4a+2b+c， 由②可得当时，y<0， ∴4a+2b+c<0，③正确； ④当x=-1时，a-b+c=0， ∵b=-2a， ∴c=-3a， ∴8a+c=8a-3a=5a， ∵开口向上， ∴a>0， ∴8a+c>0，④错误； 综上可得：①③正确， 故选B． 【点睛】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键． 5．C 【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a＞0，b＜0，c＜0， ∴﹣＞0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴， 故选C． 【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．C 【详解】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元． 则有y=（100+20x）（100-10x） =-200x2+1000x+10000． 当x=-时，可使y有最大值． 又x为整数，则x=2时，y=11200； x=3时，y=11200； 则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元． 故选C． 7．m＞1 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 8．2或3个/3或2个 【分析】先令y=0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点，与y轴有一个交点． 【详解】解：当k=0时， ∵抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）， ∴当y=0时，0=2x2+2（k-1）x-k， ∴△=[2（k-1）]2-4×2×（-k）=4k2+4＞0， ∴0=2x2+2（k-1）x-k有两个不相等的实数根， ∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点， ∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与y轴有一个交点， 所以，抛物线（为常数）与坐标轴交点有3个， 当k=0时，抛物线经过原点，只有2个交点， 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查抛物线与x、y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．29 【分析】根据题意可得m，n是方程的两根，从而得到，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是抛物线与x轴的两个交点， ∴m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：29． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 10．x＜1或x＞3 【分析】利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集. 【详解】数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3. 【点睛】利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式： 形如式不等式，构造函数=，，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值. 11．y＝x2＋x－2 【分析】选取三组自变量与因变量的值（-1，-2）、（0，-2）、（1，0）代入解析式即可解出. 【详解】把（-1，-2）、（0，-2）、（1，0）分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 得 ∴y＝x2＋x－2. 【点睛】此题主要考查二次函数的解析式，用待定系数法是解题的关键. 12．-2 【分析】抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（，），代入抛物线即可解答． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形， ∴∠COB=90°，CO=BC， ∴△COB是等腰直角三角形， ∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半， ∴C点坐标为（，）， 将点C代入抛物线方程中得： 解得：ac=-2． 故答案为-2． 【点睛】本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案． 13．当为1或4时，与相等 【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键 【详解】解：根据题意得：， 整理得：，即，解得：， 当为1或4时，与相等． 14．（1）；（2）当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围； (2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可. 【详解】解：（1）四边形是矩形，米， 米， 墙长为22米， ， ， ， 即； （2）设矩形的面积为 ， 由（1）知，， 当时，有最大值200， 即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解. 15．（1）画图象见解析；（2）①x＞1；②x=﹣1或x=3；③0≤y≤4． 【分析】（1）利用描点法画出二次函数图形即可；（2）根据图像可知，二次函数的对称轴为直线x=1，与x轴的交点为（-1，0）（3，0），顶点坐标为（1，4），即可解答； 【详解】（1）画出它的图象 x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如下： （2）根据图象回答下列问题： ①x满足x＞1时，y随x的增大而减小？ ②x满足x=﹣1或x=3时，y=0； ③当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4； 故答案为①x＞1；②x=﹣1或x=3；③0≤y≤4． 【点睛】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性的问题，熟练掌握二次函数图像的性质是解题关键. 16．（1）对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，3)；（2）y=-2(x+2)2；向左平移3个单位，向下平移3个单位. 【分析】（1）利用配方法将函数解析式转化为顶点式，就可得出抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）根据平移后的顶点坐标为（－2，0），就可得出平移后的抛物线的解析式及平移的过程． 【详解】（1）y=﹣2x2+4x+1=﹣2(x2-2x+1)+2+1=﹣2(x-1)2+3 所以，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，3)． （2）∵新顶点P(-2，0)， ∴所得抛物线的表达式为y=-2(x+2)2， ∴平移过程为：向左平移3个单位，再向下平移3个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 17．（1）；（2）4或或或0或1 【分析】（1）根据形如y=kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案； （2）根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】（1）由是关于x的一次函数， 得解得． 所以当时，它是y关于x的一次函数． （2）由是关于x的二次函数，得 ①，解得； ②，解得； ③解得； ④，解得或． 综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． 18．（1）y=﹣2x+100；（2）z=﹣2x2+136x﹣1800；（3）当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元. 【分析】(1)首先设函数解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求出函数解析式； (2)根据总利润=单件利润×数量得出函数解析式； (3)首先根据成本不超过900万元得出x的取值范围，根据销售利润率不能高于50%得出x的取值范围；然后将二次函数进行配方成顶点式，最后根据二次函数的性质得出最大值． 【详解】(1)解：设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（20，60），（30，40）代入y=kx+b得 ， 解得：  ， ∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=﹣2x+100； (2)解：由题意得，z=y（x﹣18）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800； （3）解：∵厂商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元， ∴每月的生产量为：小于等于=50万件， y=﹣2x+100≤50， 解得：x≥25， 又由销售利润率不能高于50%，得25≤x≤27， ∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512， ∴图象开口向下，对称轴左侧z随x的增大而增大， ∴x=27时，z最大为：414万元． 当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元. ． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与二次函数的实际应用问题，属于中等难度题型．利用待定系数法求函数解析式以及理解二次函数的增减性是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$