2025年中考数学复习专题：平行线的证明

2025年中考数学复习专题：平行线的证明 一、单选题 1．下面是投影屏上出示的抢答题，需回答横线上符号代表的内容．回答正确的是（    ） 已知：如图，．   求证：． 证明：延长交※于点． 则◎． 又．得▲． 故（@相等，两直线平行）． A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表 2．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中是假命题的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 4．具备下列条件的三角形中，直角三角形的个数是（   ） ①， ②，③， ④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　）    A．125° B．130° C．135° D．140° 二、填空题 7．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 8．如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为 ． 9．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角 ． 如图，因为a∥b，（已知） 所以∠1＝ ．（两直线平行，同位角相等） 10．如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是 ． 11．将一副直角三角板ABC和ADE如图放置（其中∠B=60°，∠E=45°），已知DE与AC交于点F，AE∥BC，则∠AFD的度数为 ． 12．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度. 三、解答题 13．如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数． 14．如图所示，一块玻璃不小心被打碎了，只有一条边是直的，为了废物利用，工人师傅要把它裁成一块长方形，先用一把直尺作，，这样裁剪以后，和是否平行？并说明理由．    15．如图，在中，，与分别是和的角平分线，那么与有什么位置关系？试说明理由．    16．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 17．将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 18．如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B B A A 1．A 【分析】根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：延长交于点． 则． 又．得． 故（内错角相等，两直线平行）． ∴※代表，◎代表，▲代表，@代表内错角， ∴A选项说法正确，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 2．C 【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵∠A=n°， ∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°， ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°， ∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键． 3．B 【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及补角的性质判断即可． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是真命题； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； C、等角的补角相等，是真命题； D、垂线段最短，是真命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 4．B 【分析】根据内角和定理结合每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：由三角形内角和定理知：． ①∵， ，解得．故①为直角三角形； ②，设，，， ． 解得． ，故②为直角三角形； ③即， ∴，故③为直角三角形； ④， 设，，， ． 解得． ，故④不是直角三角形； ⑤设，则，， ， 解得，故⑤不是直角三角形． 综上可得：①②③是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题关键是根据题意合理设未知数进行求解． 5．A 【分析】依据∠1＝∠2＝65°得到，故C正确；根据，结合外角性质与平行线性质得到∠B＝∠C＝30°，故B正确；根据题意得到∠CGF＝114°，从而根据三角形外角性质得到∠CFE＝∠C＋∠CGF＝∠C＋114°，得到∠CFE＝∠C＋114°∠C＋66°＝∠C＋∠2，故A错误；根据，以及三角形外角性质得到，故D正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵∠1＝∠2＝66°， ∴ABCD，故C选项正确，不符合题意； 又∵∠3＝36°， ∴∠C＝66°−36°＝30°， ， ∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，不符合题意； ∵∠3＝36°， ∴∠CFE＝144°， ∵∠2＝66°， ∴∠CGF＝114°， ∴∠C＋∠2＝∠C＋66°，∠CFE＝∠C＋∠CGF＝∠C＋114°， ∴∠C＋∠2＝∠C＋66°＜∠C＋114°＝∠EFC，故A选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质和三角形外角性质，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解决问题的关键． 6．A 【分析】先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，进而求出的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：， ， 、分别是平分、， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于． 7．如果，那么 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 8．/80度 【分析】本题考查三角形内角和，先根据平角定义求出，再利用三角形内角和求出即可．理解并掌握三角形内角和是解题关键． 【详解】解：∵， ∴． 在中，由三角形内角和定理，得． 故答案为：． 9． 相等 ∠2 【解析】略 10．55° 【详解】 , , . 11．75° 【详解】试题分析：∵AE∥BC，∠E=45°，∴∠EDC=∠E=45°，∵∠B=60°，∴∠C=90°﹣60°=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=30°+45°=75°．故答案为75°． 考点：平行线的性质． 12．280 【详解】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°. 故答案为280. 13．（1）7cm；（2）65° 【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长=AC+AE，即可得出答案； （2）由折叠的性质可得∠C=∠DEB=100°，∠BDE=∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE=50°，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）； （2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB， ∵∠DEB＝∠A＋∠ADE， ∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°， ∴∠BDE＝∠CDB＝＝65°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键． 14．平行，理由见解析． 【分析】根据题意可得，，即可判定． 【详解】解：和平行，理由如下： ∵， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了平行线的应用，解题的关键是掌握平行线的判定方法． 15．，理由见解析 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，即可． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴． ∵与分别是和的角平分线， ∴，． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 16．；；；平角为；． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【详解】证明：假设． ∵， ∴． ∵， ∴，这与平角为矛盾， ∴假设不成立，即． 故答案为：；；；平角为；． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 17．(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：如图： ， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$