2025年中考数学复习专题：直角三角形的边角关系

2025年中考数学复习专题：直角三角形的边角关系 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则tanB的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．如右图是课本上介绍的一种科学计算器，用该计算器依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（   ） A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6 3．如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（    ）米 A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是(     ) A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定 6．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 7．计算 ． 8．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠A＝30°，则a＝ . 10．一架长的梯子靠在墙面上，梯子的底端B到墙角的距离为3，则梯子的坡度为 11．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面积为16，过点B作直线，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为 ． 12．(1)锐角∠A满足2sin(∠A-15°)＝，则∠A＝ ；     (2)已知为锐角，，则 ． 三、解答题 13．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，） （1）求、之间的距离； （2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由． 14．某“好人主题”公园围绕好人主题向市民展示好人事迹，礼赞好人精神．如图①，“点赞塔”是公园里一座标志性建筑，某数学活动小组到此公园测量这座塔的高度AB．如图②，他们在地面AC的点C处测得塔顶部点B 的仰角为45°，然后沿着台阶CD 在点D 处测得塔顶部点B的仰角为41°，还测得台阶CD的长为4m，CD与地面AE的夹角为30°，已知AB⊥AC，DE⊥AE，求“点赞塔”的高度AB．(结果精确到1m，参考数据:sin41°≈0.66， 15．如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比．根据图中数据． 求：（1）坡角和的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）． 16．计算：． 17．亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求： (1)两位市民甲、乙之间的距离CD； (2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号） 18．计算： （1）； （2）； （3）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C D A D 1．B 【分析】直接根据正切的定义求出结果． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2， ∴tanB=． 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 2．B 【分析】先计算再估算的范围，即可得到答案． 【详解】解： ＜＜ ＜＜ 故选： 【点睛】本题考查的是计算器的使用，求解特殊角的三角函数值，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 3．C 【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度． 【详解】解：∵PA⊥PB， ∴∠APC=90°， ∵PC=50米，∠PCA=44°， ∴tan44°=， ∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50•tan44°米． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 4．D 【分析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值． 【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示． 在中，， ； 在中，， ， ． 故选D． 【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键． 5．A 【分析】根据题意可得得到的新三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可得∠A=∠A′，进而得到答案． 【详解】当Rt△ABC各边都扩大3倍时，得到的新三角形与原三角形相似， 所以∠A=∠A′， 所以cosA=cosA′． 故答案选：A． 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义. 6．D 【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC． 【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C， 则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24， ， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键． 7．/ 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： ． 8．50 【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD=AC=50海里． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， 根据题意得，∠ABC=30°，∠ACD=60°， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°=∠ABC． ∴CA=CB． ∵CB=50×2=100（海里）， ∴CA=100（海里）． 在Rt△ADC中，∠ACD=60°， ∴（海里）． 故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近． 故答案为：50 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，点到直线的距离垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键， 9． 【详解】试题解析：在中，， 解得： 故答案为 10．/ 【分析】根据坡度的定义即可求解． 【详解】解：如图，，， 在中，， 梯子的坡度为：． 故填． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 11． 【分析】如图所示：连接CG． 由旋转的性质可知，，再由，可知．可证．可得．BH最小转化成求CG最小．只需就可以了．由此可得四边形是正方形．由的面积是16，可求BH的值为． 【详解】如图所示：连接CG． 由旋转的性质可知：，． ∵ ∴， 即． 在和中， ∴ 要让最小，也就是要最小， ∴时，最小． ∵，， ∴ ∵ ∴四边形ABGC时矩形， ∵ ∴矩形ABGC是正方形． ∴． ∵△ABC的面积为16， ∴， 解得：． ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理、矩形的性质和判定定理、正方形的性质和判定定理、等腰直角三角形的性质等知识．证得三角形全等，由求转化成求，和让时，最短是解决本题的关键． 12． 75° 30° 【分析】根据特殊角的三角函数值计算，即可解答. 【详解】(1)将∠A-15°当作一个角来看待，由已知可得， 故锐角，∴  ∠A＝75°． (2)将90°-α当作一个角来看待，由tan(90°-α)＝，∴  90°-α＝60°，∴  α＝30°． 【点睛】本题是考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值并能灵活运用在利用特殊角度的三角函数值进行计算. 13．（1）27m；（2）这辆汽车超速，见解析 【分析】（1）根据AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题． （2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位； 【详解】（1）在中，∵, ， 在中，, , ， （2）结论：这辆汽车超速. 理由：， ∴汽车速度. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．“点赞塔”的高度AB 约为39 m 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，在，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解:如解图，过点作于点，    由题意得：， 在中，，m， ∴（m）， （m）， =2m，设m， ∴m 在中，， ∴（m） 在中，， ∴m ∴ ＝m ∴，解得：， ∴m． 【点睛】本题考察了锐角三角函数，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确理解正切的概念是解本题的关键． 15．（1），；（2） 【分析】（1）根据坡度的定义计算即可； （2）根据勾股定理求出AB即可得解； 【详解】（1）∵斜面AB坡度， 斜面CD坡度， ∴，， ∴，； （2）∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了坡度的知识点求解和勾股定理计算，准确计算是解题的关键． 16． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行运算即可. 【详解】原式 【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角形函数值是解题的关键. 17．(1)米 (2)米 【分析】（1）先根据斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可； （2）如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，证明AB=BC，设AB=BC=x米，则米，米，解直角三角形得到据此求解即可． 【详解】（1）解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形， ∴BH=DG=30米，DH=BG， ∵∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC， 设AB=BC=x米，则米，米， 在Rt△ADH中，， ∴， 解得， ∴米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． 18．（1）；（2） ；（3） 【分析】(1) 先进行绝对值、三角函数、零指数幂计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）先进行负整数指数幂、零指数幂、三角函数计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （3）先进行三角函数、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、二次根式计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； 【详解】（1）原式===； （2）原式=0.125×（-8）+1+=； （3）原式===2. 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$