2025年中考数学复习专题：圆

2025年中考数学复习专题：圆 一、单选题 1．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　） A． B． C．5 D．5 2．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 4．⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（    ） A．   B． C． D． 5．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．在中，，，，点D是AB上的中点，以点C为圆心，6为半径作圆，则点D与的位置关系是（    ） A．点D在内 B．点D在上 C．点D在外 D．不能确定 二、填空题 7．若圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，则其侧面展开图面积为 ． 8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“=”） 9．顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 10．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为 cm． 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____． 12．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ． 三、解答题 13．如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数． 14．如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，． （1）求证：是的切线． （2）设的半径为，且，求的长． 15．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？ 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D． （1）证明：AD＝3BD； （2）求弧BD的长度； （3）求阴影部分的面积． 17．已知：如图，内接于圆，于D，弦于E，交于F．求证：． 18．如图，在正方形中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）    (1)求阴影部分的面积； (2)若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A B C A 1．C 【分析】先利用切线长定理得到PA=PB，再利用∠APB=60°可判断△APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解． 【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA=PB， ∵∠APB=60°， ∴△APB为等边三角形， ∴AB=PA=5． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 2．B 【分析】根据圆的相关知识求解即可． 【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误； 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误； 直径是圆中最长的弦，故③正确； 经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确， 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆心角，圆弧，弦等圆的相关知识，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 3．A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 4．B 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可得到答案． 【详解】∵直线l与⊙O有公共点， ∴直线与圆相切或相交，即． 故选B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记三种关系． 5．C 【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可． 【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x． ∵是的直径，垂直于弦于点， ∴ ∴OD是△ABC的中位线 ∴BC=2OD ∵ ∴，解得 ∴BC=2OD=2x=2 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键． 6．A 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：由勾股定理，得 AB==10， ∵CD是AB边上的中线， ∴CD=AB=5， ∴CD=5<⊙C的半径， ∴点D在⊙C内． 故选：A． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 7．6cm2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长3cm，底面周长4πcm， ∴其侧面展开图的面积=cm2， 故答案为：cm2 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．= 【分析】根据弧AB=弧CD，即有弧AB+弧BC=弧BC+弧CD，即弧AC=弧BD，因此AC与BD相等． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴AC=BD， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化． 9． 圆周角 圆 相交 【解析】略 10．4 【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出. 【详解】∵正六边形的边长是4cm，∴正六边形的半径是4cm，∴这个圆形纸片的最小半径是4cm，故答案为4cm. 【点睛】此题主要考查了正多边形与圆的知识，注意正六边形的外接圆半径与边长相等，这是一个需要谨记的内容. 11．2 【分析】连接AP，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值． 【详解】解：连接AP． 当时， 解得， 则， ∵Q是线段PB的中点． ∴OQ为的中位线． ∴． 当AP最小时，OQ最小． 连接AC交圆于P时，PA最小． ∵． ∴AP的最小值：． ∴线段OQ的最小值：． 故答案为2． 【点睛】本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小． 12．54°/54度 【详解】解：连接OB，则OB=OA， ∴∠BAO=∠ABO， ∵点O是正五边形ABCDE的中心， ∴∠AOB=360°÷5=72°， ∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°； 故答案为54°． 13．． 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=100°， ∴=180°-100°=80°． ∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴=2=160°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 14．（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用∠B＝2∠A可计算出∠B＝60°，∠A＝30°，易得∠E＝30°，接着由EF＝FC得到∠ECF＝∠E＝30°，所以∠FCA＝60°，加上∠OCA＝∠A＝30°，所以∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，则CE＝2，所以BE＝BC＋CE＝2＋2，然后在Rt△BEM中计算出BM＝BE＝1＋，再计算AB−BM的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的外接圆，圆心在上， 是的直径， ， 又， ，， ， ， 在中，， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，，，， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 15．作图见解析；三角形的内心都在三角形的内部 【分析】分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部． 【详解】如图所示， 由图可知三角形的内心都在三角形的内部． 【点睛】本题考查了三角形的内心，作角平分线，作垂线，理解三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题的关键． 16．（1）见解析；（2）；（3）﹣ 【分析】（1）根据直角三角形的性质以及圆周角和圆心角的性质求出∠COD＝120°，结合圆的基本性质得出BC＝2BD，再根据直角三角形中30°角的性质得出AB＝2BC＝4BD，即可得出答案； （2）根据弧长公式即可得出答案； （3）根据割补法结合扇形的面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵BC＝4，BC为半圆O的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4BD， ∴AD＝3BD； （2）由（1）得∠B＝60°， ∴OC＝OD＝OB＝2， ∴弧BC的长为； （3）∵BC＝4，∠BCD＝30°， ∴CD＝BC＝， 图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝． 【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握圆中的基本性质以及弧长和扇形的面积公式． 17．见解析 【分析】连接，如图，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据同角的余角相等可得，进而可得是等腰三角形，根据三线合一可得． 【详解】连接，如图， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等角的余角相等，等腰三角形的性质与判定，三线合一，添加辅助线是解题的关键． 18．(1)2 (2) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于半径为2的扇形的面积的2倍减去正方形的面积及扇形面积公式计算即可； （2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， 豆子落在阴影区域内的概率为． 【点睛】本题考查几何概率、扇形的面积公式，解题的关键是正确求出阴影部分的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$