四川省成都市金牛区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一诊）

2024-2025学年四川省成都市金牛区九年级（上）期末数学试卷（一诊） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（4分）如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（　　） A． B． C． D． 2．（4分）已知3a＝2b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 4．（4分）用配方法解方程x2﹣12x＝5，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝11 B．（x﹣6）2＝41 C．（x+6）2＝41 D．（x+6）2＝11 5．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OC：OF＝1：3，若S△ABC＝3，则S△DEF为（　　） A．6 B．9 C．27 D．48 6．（4分）一个盒子里有白球14个，黑球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个黑球的概率为，则盒子中黑球个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 7．（4分）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆 750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．180（1+x）2＝750 B．180（1+x）+180（1+x）2＝750 C．180（1+x+x2）＝750 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750 8．（4分）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为4，则k的值为（　　） A．26 B．16 C．12 D．8 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣3＝0有实数根，则a的取值范围是 　 　． 10．（4分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）都在函数的图象上，则y1，y2的大小关系是 　 　． 11．（4分）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则AC的长为 　 　． 12．（4分）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长2.4米的竹竿做测量工具．保持与地面垂直，移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿影长8米，竹竿与旗杆相距22米，则旗杆的高为 　 　米． 13．（4分）如图所示，在菱形ABCD中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交BC，BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBD内交于点P，连接BP并延长交CD于点Q．若∠DQB＝75°，则∠C＝ 　 　． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程：4x2﹣5x﹣6＝0． 15．（8分）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为A、B、C、D四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有 　 　人，并补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中C组部分所占的圆心角α的度数； （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到A、B、C、D四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 16．（8分）金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物AB的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75米，BC和CD的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知CF⊥BD，∠ECF＝∠ACF） 17．（10分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，且AE＝CF，连接DE和BF分别交对角线AC于点G、H，连接BG、DH． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形； （2）若正方形边长为4，AG＝，求四边形GBHD面积． 18．（10分）在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A（﹣1，m），点B（n，﹣1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，过点B作BD∥AC交y轴于点D，连接AD，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，点P是直线BD上一点，若满足∠PAD＝∠BAC时，求点P的坐标． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）若，且b+3d+5f≠0，则＝ 　 　． 20．（4分）已知m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两个不相等的实数根，则m2﹣4m+n+mn＝ 　 　． 21．（4分）如图，正方形边长为1个单位长度，将一枚棋子按顺时针方向依次沿正方形ABCD的四个顶点移动．每次开始时，棋子都位于点A处；然后，掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和是几就移动棋子几个单位，如掷得的点数之和为3就移动3步落在点D处．掷得的点数之和为6就移动6步落在点C处，…；棋子落在点B处的概率是 　 　． 22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为2，当x＜﹣3时，总有y2＞y1恒成立，则k的取值范围是 　 　． 23．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝BC＝3，BC边上一点D，BD＝1，连接AD，在AD右侧作等腰直角△ADE，∠ADE＝90°，DE与AC交于点F，以DE为对称轴作点C的对称点C′，作射线DC′交AE于点G，则＝ 　 　． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． （1）设售价为x元，每天能售出y斤，请写出y关于x的函数表达式； （2）该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点A，B（点A在点B左侧），直线AB交x轴于点C． （1）如图1，若k＝6，直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，求△AOC的面积； （2）直线OA与反比例函数图象的另一个交点为D，连接BD交x轴于点E． ①如图2，若AC：BC＝3：1，点A的横坐标为1，求OE的长； ②如图3，点A关于直线y＝﹣x的对称点为A′，过点A′的直线l与直线AB垂直，若，且直线l与y轴交于点F（0，5），求点A的横坐标． 26．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为5，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，已知DE＝4． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求EF的长； （3）连接AC，与BD相交于点O，将图1中的△DEF绕点D旋转，当点E落在线段OC上时，如图2，点G在线段AC上，连接FG，与DE相交于点H，∠EGF＝∠EDF，求的值． 2024-2025学年四川省成都市金牛区九年级（上）期末数学试卷（一诊） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B C B D B 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（4分）如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有一条水平平的虚线， 故选：C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意看不到的线用虚线表示． 2．（4分）已知3a＝2b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行计算长，即可解答． 【解答】解：A、∵＝， ∴ab＝6， 故A不符合题意； B、∵＝， ∴2a＝3b， 故B不符合题意； C、∵＝， ∴3a＝2b， 故C符合题意； D、∵＝， ∴2a＝3b， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误； B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误； C、＝不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确； D、＝，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 4．（4分）用配方法解方程x2﹣12x＝5，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝11 B．（x﹣6）2＝41 C．（x+6）2＝41 D．（x+6）2＝11 【分析】根据配方法按步骤求解即可． 【解答】解：x2﹣12x＝5． x2﹣12x+36＝5+36， （x﹣6）2＝41． 故选：B． 【点评】本题考查解一元二次方程的配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 5．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OC：OF＝1：3，若S△ABC＝3，则S△DEF为（　　） A．6 B．9 C．27 D．48 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得到△BOC∽△EOF，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△BOC∽△EOF， ∴＝＝， ∴＝， ∵S△ABC＝3， ∴S△DEF＝27， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 6．（4分）一个盒子里有白球14个，黑球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个黑球的概率为，则盒子中黑球个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】设黑球有x个，根据概率公式列出方程，解之可得结果． 【解答】解：设黑球有x个， 由题意可得：＝， 解得：x＝7， 经检验：x＝7是原分式方程的解， 所以黑球的个数为7个． 故选：B． 【点评】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 7．（4分）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆 750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．180（1+x）2＝750 B．180（1+x）+180（1+x）2＝750 C．180（1+x+x2）＝750 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于 750，列方程即可． 【解答】解：设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为180+180（1+x）+180（1+x）2＝750， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 8．（4分）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为4，则k的值为（　　） A．26 B．16 C．12 D．8 【分析】过点C作CD∥y交x轴于点D，设点B（0，a），证明OB是△ACD的中位线得CD＝2a，进而得点C，再根据△OCB的面积与△AOB的面积相等可求出k的值． 【解答】解：过点C作CD∥y交x轴于点D，如图所示： 设点B（0，a），则OB＝a， ∵点B是AC的中点，CD∥y， ∴OB是△ACD的中位线， ∴CD＝2a， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴点C的坐标为， ∴OD＝， ∵△AOB的面积为4，点B是AC的中点， ∴△OCB的面积为4， ∴OB•OD＝4， ∴， ∴k＝16． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣3＝0有实数根，则a的取值范围是 　a≤4．　． 【分析】根据Δ≥0，解一元一次不等式即可． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（a﹣3）＝4﹣4a+12≥0， 解得：a≤4， 故答案为：a≤4． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（4分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）都在函数的图象上，则y1，y2的大小关系是 　y2＞y1　． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A（﹣3，y1）、B（2，y2）分别代入函数，求得y1、y2的值，然后比较它们的大小． 【解答】解：根据题意，得 y1＝﹣1，y2＝， ∴y2＞y1． 故答案为：y2＞y1． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 11．（4分）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则AC的长为 　　． 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出＝，再将已知数据代入求出BC即可得出AC的长． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵DE＝3，EF＝4，AB＝2， ∴＝， ∴BC＝， ∴AC＝2+＝． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．（4分）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长2.4米的竹竿做测量工具．保持与地面垂直，移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿影长8米，竹竿与旗杆相距22米，则旗杆的高为 　9　米． 【分析】根据题意可得：DE⊥BC，AC⊥BC，从而可得∠ACB＝∠DEB＝90°，然后证明A字模型△BDE∽△BAC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：DE⊥BC，AC⊥BC， ∴∠ACB＝∠DEB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝， ∴＝， 解得：AC＝9， ∴旗杆的高为9米， 故答案为：9． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（4分）如图所示，在菱形ABCD中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交BC，BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBD内交于点P，连接BP并延长交CD于点Q．若∠DQB＝75°，则∠C＝ 　40°　． 【分析】根据菱形的性质推出∠DBC＝∠CDB，由作图可知，BQ是∠DBC的角平分线，再结合三角形内角和定理推出，∠C+∠CDB+∠CBD＝∠C+2∠DBC＝180°，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝BC， ∴∠DBC＝∠CDB， 由作图可知，BQ是∠DBC的角平分线， ∴∠CBQ＝， ∵∠DQB＝75°， ∴， 又∵∠C+∠CDB+∠CBD＝∠C+2∠DBC＝180°， ∴∠DBC＝70°， ∴∠CBQ＝35°， ∴∠C＝∠DQB﹣∠CBQ＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，菱形的性质，熟记角平分线的作法和定义以及菱形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程：4x2﹣5x﹣6＝0． 【分析】（1）利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质一一计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原式＝2+1﹣（﹣1）﹣3 ＝2+1﹣+1﹣3 ＝﹣1； （2）4x2﹣5x﹣6＝0， （4x+3）（x﹣2）＝0， 4x+3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣，x2＝2． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 15．（8分）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为A、B、C、D四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有 　60　人，并补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中C组部分所占的圆心角α的度数； （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到A、B、C、D四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【分析】（1）根据B组人数以及百分比计算即可求出调查人数，用总人数乘以A组的百分比即可求出A组的人数，即可补全条形统计图； （2）用360°乘以C组部分所占的百分比即可求出α； （3）先画出树状图，继而根据概率公式求出两人恰好分到同一组的概率即可． 【解答】解：（1）本次抽取调查学生共有：18÷30%＝60（人）， A组的人数为：60×35%＝21（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：60； （2）360°×＝90°， 答：扇形统计图中C组部分所占的圆心角α的度数为90°； （3）画树状图如下， 由上可得，一共有16种等可能性，其中两人恰好分到同一组的结果有4种， ∴两人恰好分到同一组的概率为＝． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 16．（8分）金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物AB的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75米，BC和CD的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知CF⊥BD，∠ECF＝∠ACF） 【分析】根据题意可得：∠ACB＝∠ECD，AB⊥BD，ED⊥DB，从而可得∠ABC＝∠EDC＝90°，进而可得△ABC∽△EDC，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠ECD，AB⊥BD，ED⊥DB， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝243.9， ∴建筑物AB的高度为243.9米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（10分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，且AE＝CF，连接DE和BF分别交对角线AC于点G、H，连接BG、DH． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形； （2）若正方形边长为4，AG＝，求四边形GBHD面积． 【分析】（1）由正方形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而AE＝CF，则AB﹣AE＝CD﹣CF，所以BE＝DF，由BE∥DF，且BE＝DF，证明四边形BFDE为平行四边形； （2）连接BD交AC于点L，由DG∥BH，得∠LDG＝∠LBH，可证明△DLG≌△BLH，则DG＝BH，而BD⊥GH，则四边形GBHD是菱形，由∠ABC＝90°，AB＝CB＝4，求得BD＝AC＝4，所以AL＝CL＝2，因为AG＝，所以HL＝GL＝，求得GH＝2，则S四边形GBHD＝BD•GH＝8． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵点E、F分别在边AB和CD上，且AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF，且BE＝DF， ∴四边形BFDE为平行四边形． （2）解：连接BD交AC于点L，则BD⊥AC，且BD＝AC， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴DG∥BH， ∴∠LDG＝∠LBH， ∴DL＝BL，∠DLG＝∠BLH， ∴△DLG≌△BLH（ASA）， ∴DG＝BH， ∴四边形GBHD是平行四边形， ∵BD⊥GH， ∴四边形GBHD是菱形， ∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝4， ∴BD＝AC＝＝AB＝4， ∴AL＝CL＝AC＝2， ∵AG＝， ∴HL＝GL＝AL﹣AG＝2﹣＝， ∴GH＝2GL＝2， ∴S四边形GBHD＝BD•GH＝×4×2＝8， ∴四边形GBHD的面积为8． 【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形GBHD是菱形是解题的关键． 18．（10分）在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A（﹣1，m），点B（n，﹣1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，过点B作BD∥AC交y轴于点D，连接AD，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，点P是直线BD上一点，若满足∠PAD＝∠BAC时，求点P的坐标． 【分析】（1）通过AB两点坐标由一次函数表达式求出m和n的值，然后由点A在反比例函数图象上，根据反比例函数表达式求出k值即可． （2）由A、C坐标通过待定系数法求出直线AC的表达式，然后根据函数图象平移规律求出直线BD的表达式，进而得到点D坐标，再通过证明△APD∽△BAD，由对应边线段成比例求出DP的长度，最后再通过构造PE∥BC，根据平行线分线段成比例求出点P坐标． 【解答】解：（1）把A、B两点坐标代入一次函数y＝﹣x+1得：m＝﹣（﹣1）+1＝2；﹣1＝﹣n+1，则n＝2． 由反比例函数表达式得：k＝xy＝（﹣1）×2＝﹣2． 故反比例函数的解析式为y＝． （2）由（1）得A坐标为（﹣1，2），B坐标为（2，﹣1）． 根据题意，点C坐标为（0，﹣1）． 设直线AC函数表达式为y＝k1x+b1． 代入A、C两点坐标得：，解得． 则直线AC的解析式为：y＝﹣3x﹣1． ∵AC∥BD，BC＝2． ∴根据直线平移的性质，直线BD的解析式为y＝﹣3（x﹣2）﹣1，即y＝﹣3x+5． 由于xD＝0，则yD＝﹣3×0+5＝5．点D坐标为（0，5）． ∴CD＝yD﹣yC＝6． 根据同底等高的两个三角形面积相等，S△ABD＝S△CBD＝CD•BC＝6． （3）∵AC∥BD， ∴∠PAD＝∠BAC＝∠ABD． 在△APD和△BAD中，∠PAD＝∠ABD，∠ADP＝∠BDA． ∴△APD∽△BAD． ∴，即AD2＝DP•BD． ∵AD2＝（﹣1﹣0）2+（2﹣5）2＝10，BD＝＝2． ∴DP＝． 过点P作PE∥x轴交y轴于点E，则PE∥BC. 由平行线分线段成比例得：． 即＝＝，解得xP＝，yP＝． 则点P坐标为（，）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的性质等知识点．灵活应用”两三角形同底等高面积相等“以及平行线分线段成比例是解答本题的关键． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）若，且b+3d+5f≠0，则＝ 　　． 【分析】根据等比性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴＝＝＝， ∴＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 20．（4分）已知m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两个不相等的实数根，则m2﹣4m+n+mn＝ 　5　． 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到m2＝5m﹣2，则m2﹣4m+n+mn可化为m+n+mn﹣2，再根据根与系数的关系得m+n＝5，mn＝2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是方程x2﹣5x+2＝0的实数根， ∴m2﹣5m+2＝0， ∴m2＝5m﹣2， ∴m2﹣4m+n+mn＝5m﹣2﹣4m+n+mn＝m+n+mn﹣2， 根据根与系数的关系得m+n＝5，mn＝2， ∴m2﹣4m+n+mn＝5+2﹣2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解． 21．（4分）如图，正方形边长为1个单位长度，将一枚棋子按顺时针方向依次沿正方形ABCD的四个顶点移动．每次开始时，棋子都位于点A处；然后，掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和是几就移动棋子几个单位，如掷得的点数之和为3就移动3步落在点D处．掷得的点数之和为6就移动6步落在点C处，…；棋子落在点B处的概率是 　　． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及棋子落在点B处的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 共有36种等可能的结果，其中棋子落在点B处的结果有：（1，4），（2，3），（3，2），（3，6），（4，1），（4，5），（5，4），（6，3），共8种， ∴棋子落在点B处的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为2，当x＜﹣3时，总有y2＞y1恒成立，则k的取值范围是 　k≥1　． 【分析】首先确定点A的坐标（2，3），由一次函数y＝kx+b经过点A，推出3＝2k+b，推出b＝3﹣2k，推出一次函数的解析式为y＝kx+3﹣2k，再构建不等式求解． 【解答】解：∵点A在y＝的图象上，横坐标是2， ∴A（2，3）， ∵一次函数y＝kx+b经过点A， ∴3＝2k+b， ∴b＝3﹣2k， ∴一次函数的解析式为y＝kx+3﹣2k， 由题意当x＜﹣3时，总有y2＞y1恒成立， ∴﹣2≥﹣3k+3﹣2k， ∴k≥1． 故答案为：k≥1． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝BC＝3，BC边上一点D，BD＝1，连接AD，在AD右侧作等腰直角△ADE，∠ADE＝90°，DE与AC交于点F，以DE为对称轴作点C的对称点C′，作射线DC′交AE于点G，则＝ 　　． 【分析】要求的比值，要么分别求出两条线段长度，要么利用相似，根据题意很容易求出AD＝DE＝，AE＝2，由一线三垂直和对称易得∠BAD＝∠CDE＝∠GDE，再利用∠AED＝45°构造等腰直角三角形，过过G作GH⊥DE于点H，则GH＝EH，易得△ABD∽△DHG，再利用相似比设参+勾股定理即可求解． 【解答】解：∵Rt△ABC中，AB＝BC＝3， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB＝3， ∵BD＝1， ∴AD＝＝， ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴AD＝DE＝，∠DAE＝∠AED＝45°， ∴AE＝AD＝2， 过G作GH⊥DE于点H，则GH＝EH， 设GH＝EH＝x，则GE＝x，DH＝DE﹣EH＝﹣x， ∵∠BAD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵以DE为对称轴作点C的对称点C′， ∴∠CDE＝∠GDH， ∴∠GDH＝∠BAD， ∵∠ABD＝∠DHG＝90°， ∴△ABD∽△DHG， 即， ∴＝， 解得x＝， ∴GE＝X＝，GH＝，DH＝﹣x＝， ∴DG＝＝， ∵AG＝AE﹣GE＝2﹣＝， ∴＝＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． （1）设售价为x元，每天能售出y斤，请写出y关于x的函数表达式； （2）该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 【分析】（1）根据若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤；当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤；即可得出结论； （2）设售价应为x元，则每天能售出（﹣10x+600）斤，根据该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，y＝100+（50﹣x）×10＝﹣10x+600， 即y关于x的函数表达式为y＝﹣10x+600； （2）设售价应为x元，则每天能售出（﹣10x+600）斤， 由题意得：x（﹣10x+600）＝6750， 整理得：x2﹣60x+675＝0， 解得：x1＝45，x2＝15（不符合题意，舍去）， 答：售价应为45元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）正确列出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点A，B（点A在点B左侧），直线AB交x轴于点C． （1）如图1，若k＝6，直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，求△AOC的面积； （2）直线OA与反比例函数图象的另一个交点为D，连接BD交x轴于点E． ①如图2，若AC：BC＝3：1，点A的横坐标为1，求OE的长； ②如图3，点A关于直线y＝﹣x的对称点为A′，过点A′的直线l与直线AB垂直，若，且直线l与y轴交于点F（0，5），求点A的横坐标． 【分析】（1）先由直线AB解析式求出点C坐标，进而得到OC的长度，再通过联立直线和反比例解析式求出点A坐标，最后由S△AOC＝OC•yA求出答案． （2）通过作辅助线AP∥BQ∥DH得到＝及，结合k＝xB•yB＝xA•yA建立关于OE的方程求出OE即可． （3）先设置AB两点坐标为（xA，），点B坐标为（xB，），然后根据题意求出直线OG，BD及AB的解析式，得出OG∥BD，进而根据直角三角形的性质证得Rt△ABG∽Rt△DBH，再到xB＝2xA，接着根据轴对称和直角三角形的性质得出直线A′F和直线BD关于y＝x对称，得出OF＝OE的结论，结合xA和xB的关系求出xA即可． 【解答】解：（1）对于直线y＝﹣2x+8，令y＝0，则0＝﹣2x+8，x＝4． ∴点C坐标为（4，0），OC＝4． 联立直线y＝﹣2x+8和反比例函数y＝求点A坐标： ，解得或． ∴点A坐标为（1，6），点B坐标为（3，2）． ∴S△AOC＝OC•yA＝12． （2）①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H. 根据反比例函数图象性质，点A和点D关于原点O对称， ∴xD＝﹣xA＝﹣1，yD＝﹣yA． 根据作图可得AP∥BQ∥DH． 由平行线分线段成比例得：＝， ∵AP＝yA＝﹣yD＝DH，OH＝OP＝xA＝1，BQ＝yB，DH＝AP＝yA． ∴＝，． 根据反比例函数的性质，k＝xB•yB＝xA•yA，则xB＝3xA＝3． ∴． ∴OE＝2． ②过点B作x轴的垂线GH，再过点A、D作直线GH的垂线，垂足分别为G、H，连接OG． 直线AB和BD分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K．设点A坐标为（xA，），点B坐标为（xB，）． 则点G坐标为（xB，），点H坐标为（xB，﹣），根据反比例函数的性质点D坐标为（﹣xA，﹣）． ∴根据待定系数法可得直线OG的解析式为：y＝x；直线BD的解析式为y＝x+﹣； 直线AB解析式为y＝﹣x++； ∴OG∥BD， 又∵O是AD的中点． ∴OG平分线段AB． ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，由等边对等角可得∠OGB＝∠ABG． 由OG∥BD可得∠OGB＝∠DBH． ∴Rt△ABG∽Rt△DBH． ∴． ∵DH＝2xA+（xB﹣xA）＝xA+xB，AG＝xB﹣xA， ∴xB＝2xA． 根据直线AB和BD的解析式可得P（0，+），Q（0，﹣）． ∵＝＝yB． ∴点B在线段PQ的中垂线上，BP＝BQ． ∴∠BPQ＝∠PQB． ∵A′F⊥AB， ∴∠FKC+∠KCP＝∠FPC+∠KCP＝90°， ∴∠FKC＝∠FPC， ∴∠FKC＝∠PQB． 又∵点A′和点D关于y＝x对称． ∴根据直线A′F和直线BD关于y＝x对称． ∴xE＝OE＝OF＝yF＝5． 把点E（5，0）及xB＝2xA代入BD解析式得：0＝5•+﹣， 整理得：k（5﹣xA）＝0，则xA＝5． 故点A的横坐标为5． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，求出AB两点横坐标的关系及直线A′F和直线BD关于y＝x对称是解答本题的关键． 26．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为5，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，已知DE＝4． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求EF的长； （3）连接AC，与BD相交于点O，将图1中的△DEF绕点D旋转，当点E落在线段OC上时，如图2，点G在线段AC上，连接FG，与DE相交于点H，∠EGF＝∠EDF，求的值． 【分析】（1）可得出∠AED＝∠DFC＝90°，AD＝CD，∠A＝∠C，从而△ADE≌△CDF（AAS） （2）连接AC，BD，交于点O，依次求得BD，OD，OA，AC的长，可证得△BEF∽△BAC，从而，从而求得EF的值； （3）作DV∥GH，交AC于V，作DW⊥EF于W，作EQ⊥DF于Q，可证得，依次求得EW，FW，DW的值，根据S△DEF＝得出EQ的值，从而得出sin∠DVO＝sin∠EDF＝，进而求得DV的值，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∴△ADE≌△CDF（AAS） （2）解：如图1， 连接AC，BD，交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC＝2OA，AB＝AD＝5，OD＝BD， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2， ∵DE⊥AB， ∴∠AEB＝90°， ∴BD＝＝2， ∴OD＝， ∴OA＝＝2， ∴AC＝4， 由（1）知， △ADE≌△CDF， CF＝AE＝3， ∴BE＝BF＝2， ∴， ∵∠EBF＝∠ABC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∴， ∴EF＝； （3）解：如图2， 作DV∥GH，交AC于V，作DW⊥EF于W，作EQ⊥DF于Q， ∴△EGH∽△EVD， ∴，∠DVO＝∠EGF＝∠EDF， 由（2）知， DE＝DF＝4，EF＝， ∴EW＝FW＝， ∴DW＝＝， 由S△DEF＝得， EQ＝＝， ∴sin∠DVO＝sin∠EDF＝， ∴， ∴， ∴DV＝， ∴＝． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/28 22:00:59；用户：柊一飒；邮箱：15166229392；学号：40009272 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$