精品解析：福建省漳州市长泰第二中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

长泰二中2024-2025学年上学期月考3数学科考卷 2024-12-19 考试范围：高中课程；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ） A. －1＋2i B. －1＋3i C. 3i D. 3. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 4. 算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 与的夹角余弦值为 10. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月 编号x 1 2 3 4 5 6 y/百亿元 11.107 参考数据：． 则下列说法正确的是（ ） A. 经验回归直线经过点 B. C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元 D. 相应于点的残差为0.103 11. 已知函数的定义域为为奇函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数是周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点_____________. 13. 若（，为有理数），则______． 14. 设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，且，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17. 对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： ①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握． （1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和； （2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和． 18. 已知函数. （1）当时，讨论f（x）的单调性. （2）设，当时，有，求a的取值范围. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长泰二中2024-2025学年上学期月考3数学科考卷 2024-12-19 考试范围：高中课程；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 2. 在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ） A. －1＋2i B. －1＋3i C. 3i D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义及向量的坐标运算可求解. 【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0）， 由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y）， 所以 则，解得， ∴. 故选：B． 3. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【详解】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 4. 算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件，分别算出，，然后代入公式，即可得到本题答案. 【详解】千位有1、5两种选择，百位、十位、个位有0、1、5三种选择，事件“表示的四位数为偶数”，要使得表示的四位数为偶数，则末位应该是0，可得， 事件“表示的四位数大于5050”，要使得表示的四位数为偶数且四位数大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个位是0，可得， 故. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/ 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，因此， 故选：B 6. 如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图确定是的极小值点，求得，即可求解. 【详解】由图可知，是的极小值点，由已知得， 令，得，得，经验证符合题意， 所以，由，， 可得，解得. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可. 【详解】由，可得， 即，可得， 所以. 故选：B. 8. 若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数，再根据在上恰有两个零点得，，化简即可得到答案. 【详解】 在上恰有两个零点，故 故选：D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 与的夹角余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标表示平行，垂直，夹角，以及单位向量，即可判断选项. 【详解】A.，故A错误； B.，，所以，故B正确； C.，所以与向量同方向的单位向量为，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 10. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月 编号x 1 2 3 4 5 6 y/百亿元 11.107 参考数据：． 则下列说法正确的是（ ） A. 经验回归直线经过点 B. C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元 D. 相应于点的残差为0.103 【答案】AC 【解析】 【分析】求得数据的样本中心点，即可判断A；结合回归直线方程求出可判断B；将代入回归直线方程求得预测值，可判断C；根据残差的计算可判断D. 【详解】选项A：由题意得：， 因为，，所以，得， 因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确； 选项B：由A知，，得，故B错误； 选项C：由B得，则当时，， 故该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确； 选项D：当时，，相应于点的残差为， （相应于点的残差），故D错误， 故选：AC 11. 已知函数的定义域为为奇函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数是周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得的图象关于对称，结合函数变换可推出函数是周期为的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案. 【详解】因为为奇函数，则，所以，则函数的图象关于对称，故A正确； 因为①，②， 则①+②得：，即③， ②-①得：，即④， 由③得代入④得，所以，则，则函数是周期为的函数，故B正确； 由于的图象关于对称，是周期为的函数，无法确定是否关于点对称，故C不正确； 将③代入①可得， 所以，，，， ，，，， 累加得：，故可得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点_____________. 【答案】（1,3） 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，即可得答案. 【详解】令，可得， 所以，即图象恒过定点（1,3）. 故答案为：（1,3） 13. 若（，为有理数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算可得； 【详解】解： 因为（，为有理数） 所以 故答案为： 14. 设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可. 【详解】设，则，即，双曲线C的渐近线方程为， 则， 又，则， 在中，由，得，则， 于是，，而， 因此，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量坐标运算的性质得到，再利用三角函数的性质求解最小正周期和单调减区间即可. （2）法一利用向量中线定理得到，再结合基本不等式求解最值，法二利用多次余弦定理得到，再结合基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 依题意得 ， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 法一：由向量中线定理得， 所以， 所以，化简得， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 所以，解得， 故， 当且仅当时取等，故面积的最大值为. 法二：在中，由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得， 即， 因为， 所以， 两式子相加得， 在中，由余弦定理得， 化简得到， 代入中，整理得， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 所以，解得， 故， 当且仅当时取等，故面积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 17. 对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： ①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握． （1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和； （2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据错位相减法的解题步骤求解求的前n项和即可； （2）根据裂项法，设，结合已知比较系数求得，再代入，即可求得. 【小问1详解】 因为 所以① 则② 所以①-②得： 所以； 【小问2详解】 因为，设 ， 比较系数得：，得，所以， 所以 18. 已知函数. （1）当时，讨论f（x）的单调性. （2）设，当时，有，求a的取值范围. 【答案】（1）f（x）在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】(1)先求导函数 ,因为在上递增，因为,则在上单调递增，在上单调递减； (2)移项构造函数 ，分情况讨论证明最大值小于等于0即可. 【小问1详解】 当时，，， 设， 因为，得h（x）在上递增， 即在上递增，因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由得，，整理得， 设， 则 1°当时，即，t（x）在单调递增，单调递减， 则，得，不存在； 2°当时，即，在单调递减，单调递增，单调递减，t（0）=0，只要即可，得，即； 3°当，即，在（0，2）单调递减，单调递增，单调递减， 此时由2°得，所以成立； 综上所述，符合题意. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值. 【答案】（1） （2） 设，，，， 设关于原点的对称点，如下图所示：    由对称性可知三点共线，且， 设代入椭圆方程整理可得， 易知， 且，， 所以， 又， 所以， 即的值为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴以及直线的倾斜角即可得椭圆方程； （2）找出点关于原点的对称点，利用对称性联立直线和椭圆方程整理表达式可得结果. 【小问1详解】 由长轴长为，可得，， 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则， 又，则 ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $