精品解析：河北省唐山市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末九年级学业水平抽样评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，25个题，满分100分，考试时间为90分钟． 2．用黑色水性笔答卷，答卷前务必将密封线内各项填写清楚． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由一个长方体和一个正方体组成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4. 如图，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列三角函数的值是1的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm A. 9 B. 15 C. D. 8. 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ） A. C点 B. F点 C. E点 D. G点 9. 如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 11. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将长度为8的线段分成三部分，则最长的线段长为________． 14. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 15. 若抛物线的顶点在x轴，则_______． 16. 在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝_____． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． （1）这个几何体的名称是________； （2）由图中数据计算此几何体的表面积； 18. （1）解方程：． （2）计算： 19. 某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行模拟测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求汽车刹车后，行驶了多远； （3）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 20. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中1个红球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球是白球的概率是___________； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）． 21. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，时，求的值． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 23. 某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． （1）求的长； （2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 24. 为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）． （1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末九年级学业水平抽样评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，25个题，满分100分，考试时间为90分钟． 2．用黑色水性笔答卷，答卷前务必将密封线内各项填写清楚． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，不符合题意； B．，是分式方程，不符合题意； C．有两个未知数，是二元一次方程，符合题意； D、，是二元一次方程，不符合题意； 故选：D． 2. 下图是由一个长方体和一个正方体组成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看到的图形为主视图，由此可解． 【详解】解：从正面看，可得选项B的图形． 故选B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握主视图的定义． 3. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，即可得，掌握概率是解题的关键． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上， 则抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， 故选：B． 4. 如图，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 下列三角函数的值是1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及特殊角的正弦值、特殊角的余弦值和特殊角的正切值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 7. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm A. 9 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点F，如图，则的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点B作于点F，如图，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴cm，即杯中水的最大深度为cm； 故选：D. 【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键. 8. 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ） A. C点 B. F点 C. E点 D. G点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，并延长， ∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点， ∴位似比为， ∴点A的对应点是G， 故选：D． 9. 如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理等知识．先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是外角， ∴． 故选：B 10. 如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 11. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据当时，即抛物线经过即可判断． 【详解】解：当时，， ∴抛物线经过 ∴只有B选项符合 故选：B． 12. 平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于，于．则四边形是矩形．解求出的长，进而得到的长，再求出的值，最后根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形． 在中，， ∴可设， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ，， ， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旋转到所扫过的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，扇形面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将长度为8的线段分成三部分，则最长的线段长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据题意可知，最长的线段占原来线段的，据此列式求解即可． 【详解】解：将长度为8的线段分成三部分，则最长的线段长为， 故答案为：4． 14. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入，即可求出k的值． 【详解】解：将点代入得， ， 解得． 故答案为：． 15. 若抛物线的顶点在x轴，则_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点坐标的公式是解此题的关键． 根据抛物线的顶点在x轴上，得出，代入求出即可． 【详解】∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0， ∴， 解得：． 故答案为：9． 16. 在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再分高AD在△ABC内部和外部两种情况画出图形求出CD的长，然后利用正切的定义求解即可. 【详解】解：在直角△ ABD中，由勾股定理得：BD＝＝3， 若高AD在△ABC内部，如图1，则CD＝BC﹣BD＝10，∴tanC＝； 若高AD在△ABC外部，如图2，则CD＝BC+BD＝16，∴tanC＝． 故答案为：或. 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，属于常见题型，正确画出图形、全面分类、熟练掌握基本知识是解答的关键. 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． （1）这个几何体的名称是________； （2）由图中数据计算此几何体的表面积； 【答案】（1）长方体 （2）22 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的表面积，理解棱柱的特征是解答本题的关键． （1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据长方体的侧表面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：由从不同方向观察一个几何体得到的形状图可知该几何体是长方体． 故答案为：长方体； 【小问2详解】 解：由图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，3， ∴表面积． ∴该几何体的表面积为22． 18. （1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1），；（2）1 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）求解配方法求解此方程即可； （2）先将特殊角三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2） 19. 某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行模拟测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求汽车刹车后，行驶了多远； （3）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 【答案】（1） （2）汽车刹车后，行驶了 （3）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）将代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （3）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设y关于t的函数解析式为， ∵抛物线过，， ∴， 解得，， ∴y关于t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴汽车刹车后，行驶了； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 20. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中1个红球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）摸出1个球是白球的概率是___________； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式即可得到结论； （2）先画树状图展示所有9种等可能结果，再两次找出的球恰好颜不同的概率结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个白球， ∴摸出1个球是白球的概率是 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次找出的球恰好颜不同的为4种， 所以两次摸出的球恰好颜色相同的概率． 21. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，时，求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）8.1 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）证明，根据相似三角形的性质列式，代入值计算即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∵， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数的解析式为： （2）14 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8． ∴，， ∴，， ∴， 过点A作轴交于点E，则， ∴， ∴ 23. 某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． （1）求的长； （2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 24. 为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）． （1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 【答案】（1），； （2）当时，有最大值，最大值为； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）当元时，观光车可全部租出，即，代入求解可求得；再根据租金收入=每辆观光车的日租金一天租出的观光车数量列式即可求解； （2）根据题意得，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得，再利用二次函数的性质得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当元时，观光车可全部租出，即， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设A租赁点一天的租金收入比B租赁点一天的租金收入多元， A租赁点一天的租金收入， B租赁点一天的租金收入， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元， ∴，即， 解得（舍去）或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $