精品解析：福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

长乐一中2024～2025学年第一学期 高三第二次月考数学试卷 考试范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数及解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何 、圆锥曲线、统计 考试时间：2024.12.19 限时：120分钟； 满分：150分 命题人：高三数学集备组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，若，则 （ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，为复平面内复数对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点到点的距离，而， 所以的最大值为. 故选：B 3. 有六名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外每天再安排的一人是排列问题，即可解决. 【详解】有六名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务， 而两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为， 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦及二倍角等公式，先以为整体元解方程，再代入公式求解即可. 【详解】已知， 又，. 所以. 所以 . 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，过 上的一点 作的垂线，垂足为 ，若（为坐标原点），且的面积为，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表达出和点 坐标，利用的面积求出，即可得出 的方程. 【详解】由题意， 在抛物线中，， 焦点，准线 ∴，，则 ∴，解得： ∴ 的方程为：. 故选：C. 6. 在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解. 【详解】因为D为AB的中点，则， 可得，即，解得， 又因为P为CD上一点，设， 则， 可得，解得，即， 则， 可得，即. 故选：D. 【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得； 2.设，根据平面向量基本定理求得； 3.以为基底表示，进而运算求解. 7. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取） A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天 【答案】C 【解析】 【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度）， 则，， 所以， ， 由，可得， 即，即， 解得或（舍去）， 由则，因为， 即，又，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得. 8. 已知函数的定义域为，且，若关于 的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，讨论其符号求 范围，进而写出解析式并画出草图，数形结合得、，即可得答案. 【详解】由， 若，则，可得， 所以, 若，则，可得， 所以， 所以，其函数图象如下图， 要使有4个不同实根，则， 由图知：，故，且， 所以的范围为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出的图象为关键. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据样本相关系数和回归直线方程的计算公式，逐项计算可得正确答案. 【详解】由题意可得， ，， ， ， 则 与 的样本相关系数，故A错误； 由 关于 的回归直线方程为且回归直线恒过样本点的中心， 则有，解得，故B正确，C正确； 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确. 故选：BCD. 10. 若矩形的所有顶点都在椭圆上，且，，点 是 上与不重合的动点，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 存在点 ，使得 C. 直线的斜率之积恒为 D. 直线的斜率之积恒为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆的对称性结合可判断椭圆焦点在 轴上，由此求得坐标，代入椭圆方程求得，得解；对B、D，设点代入运算可判断得解；对C，举反例可判断. 【详解】因为矩形的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得关于原点对称，关于原点对称， 由，，可得，即椭圆焦点在 轴上， 如图所示，又，，易得，，，. 对于A，将点代入椭圆方程可得，解得，椭圆的方程为，所以椭圆的长轴长为4，故A正确； 对于B，设点，且，，则，，所以，又， 即当时，，故B正确； 对于C，当点 是左顶点时，，则，， 所以，故C错误； 对于D，设点，且，， 则，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ） A. 图象关于对称 B. C. 为偶函数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由为偶函数可得，选项A错误；根据所给条件，利用赋值法可得，结合选项A可得是周期为4的函数，且，选项B正确；根据可得选项C错误；根据函数的周期性可得选项D正确. 【详解】A.∵ 函数为偶函数，∴，即， ∴图象关于直线 对称，选项A错误. B.∵对，， ∴当时，，， 当时，， ∴. ∵不恒为0，∴，即. 由选项A得，， ∴，，， ∴是周期为4的函数，且， ∴，选项B正确. C.由得函数为奇函数，选项C错误. D.由得，， ∴，选项D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用赋值法分析探讨函数的性质，结合函数的奇偶性和周期性逐项判断即可确定正确答案. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若为偶函数，则实数 ______. 【答案】0 【解析】 【分析】由求出 的值，然后再检验即可. 【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数为偶函数， 所以由得，解得：. 当时，，符合题意. 故答案为： 13. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据棱台和球的性质得外接球的球心落在直线上，根据勾股定理列式求出球的半径，即可求解. 【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为， 由棱台的性质可知，外接球的球心落在直线上， 由题意该四棱台上下底面边长分别为和，侧棱长为， 则，，， 所以， 设外接球的半径为，，则， 则，解得，， 所以该米斗的外接球的体积为， 故答案为：. 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】与 轴交点 ，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有 且，可求离心率的取值范围. 【详解】设与 轴交点 ，连接， 由对称性可知，，如图所示， 又∵，∴，∴． 又∵，∴， 在中， ，∴，∴ ， 由，且三角形的内角和为， ，即，则 综上， ． 故答案为： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程 15. 在斜中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （1）求的值； （2）点D是边AB的中点，连接CD，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得，，结合，根据可求； （2）根据，两边平方之后结合正弦定理可得，，再求出，即可得三角形面积． 【小问1详解】 由正弦定理可知， 所以，于是， 因为是斜三角形，所以，，于是， 因为，所以或， 因为，所以，因此， 因为， 于是； 【小问2详解】 由条件知，两边同时平方得， 即， 根据正弦定理得， 即，代入，得，解得，， 又， 所以的面积为 16. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，连接 （1）求证： （2）当与平面所成角的正弦值为时，求棱的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】先证明平面CEF，可得线线垂直； 以点A为原点，分别以 ， ，所在直线为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量为，由线面角公式化简整理得，解方程即可． 【小问1详解】 过点E在平面内作交棱 于点，连 ∵，∴，又∵，∴， 于是， 又∵，∴∽，∴， ∵，于是，∴， ∵平面，，∴平面，∴， 又∵，且、平面， ∴平面， 又∵平面， ∴ 【小问2详解】 以点A为原点，分别以 ， ，所在直线为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，， ∴，，， 设平面BPC的法向量为，则，即，取， 于是， 设CE与平面BPC所成角为， 则， 化简整理得，解得或， 所以棱的长为：或 17. 已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点． （1）求Γ的方程； （2）若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上． 【答案】（1）； （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据条件列出方程组，进而即得； （2）设直线MN的方程为，联立双曲线方程求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为， 所以，解得， 所以双曲线Γ的标准方程为； 【小问2详解】 设直线MN的方程为， 由，可得，则 ，， 设，，，，， 所以， 直线：，：， 联立两方程，可得： ， 解得， 当直线与x轴重合时，则， ：，：，联立可得， 综上，直线ME与NF的交点在定直线上. 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若是的两个极值点，证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； （3）证明：由题意可得是方程的两实数根； 因为是的两个极值点，由（2）可得，且， 又， 要证， 只需证明， 即证明， 令，则需证明， 令函数， 则， 所以函数在上的单调递减，可得， 故， 又，可得，故； 所以. 【解析】 【分析】（1）求出，分析函数单调性可得函数极值； （2）根据对参数 进行分类讨论，分析出的正负，即可得出函数的单调区间； （3）结合（2）的分析可得，结合韦达定理可得，要证，可转化为，即证明，令，构造函数，利用导数研究在上的单调性即可得证. 【小问1详解】 当时，，定义域为； 所以， 令，解得，可得在上单调递增； 令，解得，可得在上单调递减； 所以当 时，取得极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由题意可得， 当时，，方程的判别式， 解方程可得，其中； 令可得或（舍）， 即在区间上单调递增； 令可得， 所以在区间上单调递减； 当时，， 令可得,即在区间上单调递增； 令可得，所以在区间上单调递减； 当时，，方程的判别式， 若，即时，恒成立，，此时在区间上单调递减； 若，即时，方程有两个不相等的实数根， 即，其中； 令可得, 即可得在区间上单调递增； 令可得或， 所以在区间区间，上单调递减； 综上可得，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问关键在于利用和韦达定理代换得到只需证明，从而构造函数可得证明结论. 19. 给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，. （1）若，求和； （2）求证：； （3）求的最值. 【答案】（1）， （2）证明如下： 对于，由于数列是的一个排列，故， 若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递增子列，所以， 而每个以为首项的递减子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以， 这意味着； 若，同理有，，故， 总之，且和不能同时为零， 故. （3）的最大值为； 当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）分情况讨论证明，故可推出和不能同时为零，进而得到结论； （3）对的奇偶性分类讨论，并利用（2）中的结论得到结果即可. 【小问1详解】 以为首项的最长递增子列是，所以， 因为后面的项都比小，所以， 以为首项的最长递增子列是，所以， 因为后面没有项，所以； 因为后面的项都比大，所以， 以为首项的最长递减子列是或者，所以； 因为后面的项都比大，所以， 因为后面没有项，所以； 所以， 即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为首项的递增子列的最大长度不大于以为首项子列的最大长度，即， 以为首项的递减子列的最大长度不大于以为首项子列的最大长度，即， 而，，所以， 所以， 考虑数列， 此时， 所以的最大值为； 由（2）可知和不能同时为零，故， 当为偶数时，设， 一方面有； 另一方面，考虑这样一个数列：，， 则对有， 故此时； 结合以上两方面可得，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，设， 一方面有； 另一方面，考虑这样一个数列：，， 则对有， 故此时； 结合以上两方面可得，当为奇数时，的最小值为； 综上可得，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为； 【点睛】关键点点睛：求最大（小）值的本质在于，先证明所求表达式一定不小于（或不大于）某个数，再说明该表达式在某种情况下能取得，就得到了最大（小）值是，这便是“求最大（小）值”的本质.而在这个过程中，想到的具体取值这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐一中2024～2025学年第一学期 高三第二次月考数学试卷 考试范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数及解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何 、圆锥曲线、统计 考试时间：2024.12.19 限时：120分钟； 满分：150分 命题人：高三数学集备组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 有六名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 40 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为 ，准线为，过 上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取） A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天 8. 已知函数的定义域为，且，若关于 的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 回归直线方程经过点 D. 由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72 10. 若矩形的所有顶点都在椭圆上，且，，点是 上与不重合的动点，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 存在点，使得 C. 直线的斜率之积恒为 D. 直线的斜率之积恒为 11. 已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ） A. 图象关于对称 B. C. 为偶函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若为偶函数，则实数______. 13. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为 和，侧棱长为，则其外接球的体积为______. 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程 15. 在斜 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （1）求的值； （2）点D是边AB的中点，连接CD，且，求 的面积． 16. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，连接 （1）求证： （2）当与平面所成角的正弦值为时，求棱的长． 17. 已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点． （1）求Γ的方程； （2）若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上． 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性； （3）若是的两个极值点，证明：. 19. 给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，. （1）若，求和； （2）求证：； （3）求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $