专题05 生活中的圆周运动 【十大题型】-【压轴题】2024-2025 学年高中物理同步培优训练（人教版2019必修第二册）

专题05 生活中的圆周运动 【十大题型】 一．水平转盘上物体的圆周运动（共5小题） 二．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共5小题） 三．车辆在道路上的转弯问题（共6小题） 四．火车的轨道转弯问题（共3小题） 五．绳球类模型及其临界条件（共6小题） 六．杆球类模型及其临界条件（共6小题） 七．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共5小题） 八．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共4小题） 九．拱桥和凹桥类模型分析（共4小题） 十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共5小题） 一．水平转盘上物体的圆周运动（共5小题） 1．旋转餐桌的水平桌面上，一个质量为m的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．若减小餐桌的转动转速，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动 B．一起匀速转动时茶杯有沿切线方向滑出去的趋势 C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，则茶杯受到的摩擦力的方向指向餐桌的中心 D．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的转速匀速转动餐桌，茶杯与餐桌仍保持相对静止 【答案】D 【解答】解：A．根据题意可知，茶杯转动时，所需的向心力为，若减小餐桌的转动转速，所需向心力减小，则茶杯与餐桌不可能发生相对滑动，故A错误； B．匀速转动时，茶杯所受静摩擦力提供茶杯做匀速圆周运动的向心力，力的方向指向圆心，茶杯有背离圆心的运动趋势，故B错误； C．餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向，摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小，可知，茶杯受到的摩擦力的方向不指向餐桌的中心，故C错误； D．餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌恰好没有发生相对滑动时，有μmg＝m•（2πn）2r＝4π2mn2r，解得μg＝（2πn）2r＝4π2n2r，与质量无关，将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，等式仍然成立，可知茶杯与餐桌仍保持相对静止，故D正确。 故选：D。 2．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，A的质量为3m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为ω1；若只将B的质量增加为2m，A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为ω2。转动过程中轻绳未断，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动达到最大角速度ω1时，摩擦力达到最大静摩擦力，则由牛顿第二定律可得： 联立解得： 同理可知，若只将B的质量增加为2m，A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为ω2时，有： 联立解得： 所以有：，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．（多选）如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点正立方体物块，与转盘间的动摩擦因数相同，B、C处物块的质量相等为m，A处物块的质量为2m，点A、B与轴O的距离相等且为r，点C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（　　） A．C处物块的向心加速度最大 B．A处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A处的物块 【答案】AC 【解答】解：A、三个滑块的向心加速度分别为：aA＝ω2r，aB＝ω2r，aC＝ω2•2r，则C处物块的向心加速度最大。故A正确。 B、三个滑块所受的摩擦力分别为：fA＝2mω2r，fB＝mω2r，fC＝2mω2r，则A处与C处物块受到的静摩擦力最大。故B错误。 C、D三个滑块的最大静摩擦力fmA＝μ•2mg，fmB＝μmg，fmC＝μmg，而滑块所受的摩擦力分别为：fA＝2mω2r，fB＝mω2r，fC＝2mω2r，对比分析得到，当转速增大时，C处的物块静摩擦力最先达到最大值，最先滑动。故C正确，D错误。 故选：AC。 4．如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内运动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用长为L的轻绳连在一起，L＜R．若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙连线正好沿半径方向拉直，开始时转盘角速度为零且连线无张且甲、乙物体均可视为质点．现缓慢增大转盘的角速度ω，试求： （1）当圆盘旋转的角速度为多大时，连接甲、乙两物体的细线开始有张力； （2）当圆盘旋转的角速度为多大时，甲、乙两物体将开始相对圆盘发生滑动． 【解答】解：（1）轻绳恰好产生张力的瞬间，绳子的弹力等于0，此时乙物体恰好达到最大静摩擦力． 对乙物体，最大静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有： mω2L＝μmg 解得：ω （2）当绳子的张力等于A的最大静摩擦力时，角速度达到最大且不发生相对滑动， 有T+μmg＝mLω′2，T＝μMg． 所以ω′ 答：（1）当圆盘旋转的角速度为时，连接甲、乙两物体的细线开始有张力； （2）当圆盘旋转的角速度为时，甲、乙两物体将开始相对圆盘发生滑动． 5．如图所示，水平转盘的中心有一竖直的小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A的质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ＜1）倍，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随转盘转动？ 【解答】解：取物体A为研究对象，物体A随转盘转动的向心力应由绳的拉力和摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心， 绳的拉力F总等于B物体的重力mg． 若A物体随转盘转动的角速度较大，则A要沿转盘外滑，此时绳的拉力与最大静摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg+μmg＝mrω12 解得． 若A物体随转盘转动的角速度较小，则A要向圆心滑动，此时静摩擦力的方向背离圆心，由牛顿第二定律得：mg﹣μmg＝mrω22 解得 要使A随转盘一起转动，则角速度ω应满足的关系是：． 答：转盘转动的角速度ω在范围内，物体A能随转盘转动． 二．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共5小题） 6．如图所示，在倾角是30°的光滑斜面上，有一长为l的轻杆，杆的一端固定着一个小球，质量为m。另一端绕垂直于斜面的光滑轴做圆周运动，运动到最高点速度是．（　　） A．在最高点时，杆对球的作用力为0 B．在最高点时，杆对球的作用力沿杆向上 C．在最高点时，杆对球的作用力沿杆向下，大小是mg D．在最低点时，杆对球的作用力沿杆向上，大小是mg 【答案】D 【解答】解：ABC、将重力按照作用效果沿平行斜面和垂直斜面方向正交分解，在最高点，重力的下滑分量和杆弹力的合力提供向心力，假设弹力为拉力，有 F+mgsin30°＝mmg， 代入数据计算可得： F， 说明杆对球的作用力沿杆向下，大小为，故ABC错误； D、设在最低点时速度为v'，根据动能定理可得： mg•2lsin30° 设杆对球的作用力为F'，则： F'﹣mgsin30°＝m 代入数据计算可得：F' 说明在最低点时，杆对球的作用力沿杆向上，大小是，故D正确。 故选：D。 7．如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切阻力，则（　　） A．在轻杆转过180°的过程中，角速度逐渐减小 B．只有ω0大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动 C．轻杆受到转轴的力的大小始终为2mgsinθ D．轻杆受到转轴的力的方向始终在变化 【答案】C 【解答】解：AB、质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当系统一初始角速度，在转动过程中，系统的重力势能不变，那么系统的动能也不变，因此系统始终匀速转动，故AB错误； CD、选两球，及杆，作为系统，根据牛顿第二定律，则有：F﹣2mgsinθ＝man+m（﹣an），解得：F＝2mgsinθ，而轻杆受到转轴的力的方向始终沿着斜面向上，故C正确，D错误； 故选：C。 8．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期T。 【解答】解：（1）设该星球表面的重力加速度为g，根据平抛运动规律： 水平方向：x＝v0t 竖直方向：ygt2 平抛位移与水平方向的夹角的正切值tanα 得g； （2）在星球表面有：Gmg， 该星球的密度：ρ 解得ρ； （3）由Gm，可得v， 又GM＝gR2，所以v； 绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即：T2πR （1）该星球表面的重力加速度为； （2）该星球的密度为； （3）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期T为2πR。 9．如图所示，光滑的斜面体OAB固定在水平地面上，在其右端B点与固定的光滑半圆形轨道平滑连接，半圆轨道与水平地面相切于B点，且半圆轨道的最高点C与斜面顶端A处于同一水平高度．小滑块（可看成质点）的质量为m，半圆轨道半径为R，斜面倾角α＝45°（不计空气阻力和在B点处的能量损失）． （1）若小滑块自A点无初速度下滑，求小滑块在B点对半圆轨道的压力（滑块在B点做圆周运动）？ （2）若斜面AB的动摩擦因数μ＝0.5，半圆轨道光滑；现让小滑块以一定的初速度v0自A点沿斜面下滑，欲使小滑块能通过C点，v0至少要为多大？ （3）若斜面AB的动摩擦因数µ＝0.5，半圆轨道不光滑；小滑块从A点以初速度v1＝2沿斜面下滑，过C点后恰能垂直地打在斜面AB上，求滑块从B到C过程中克服阻力做的功． 【解答】解：小滑块自A点无初速度下滑，小滑块在B点速度为vB， 根据动能定理知mg•2R0 对B分析知FB﹣mg＝m 解得FB＝5mg，根据牛顿第三定律知小滑块在B点对半圆轨道的压力为5mg； （2）若斜面AB的动摩擦因数μ＝0.5，半圆轨道光滑，由A到C，由动能定理知 ﹣μmgcos45° 若恰好过C点，则mg＝m 解得v0 （3）C抛出后，做平抛运动，故 由几何知识知tanα 解得x 由平抛运动规律知 x＝vct R 解得vC 根据动能定理知﹣μmgcos45°Wf 解得WfmgR 答：（1）若小滑块自A点无初速度下滑，小滑块在B点对半圆轨道的压力为5mg； （2）若斜面AB的动摩擦因数μ＝0.5，半圆轨道光滑；现让小滑块以一定的初速度v0自A点沿斜面下滑，欲使小滑块能通过C点，v0至少要为． （3）若斜面AB的动摩擦因数µ＝0.5，半圆轨道不光滑；小滑块从A点以初速度v1＝2沿斜面下滑，过C点后恰能垂直地打在斜面AB上，滑块从B到C过程中克服阻力做的功为mgR． 10．如图，一质量m＝0.2kg的可视为质点的小滑块，以一定的初速度滑上长为L＝1m的水平传送带右端A，小滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，传送带的左端B与一光滑半圆轨道顶端C相连，小滑块能从皮带上的B点通过圆弧轨道的C点进入圆弧轨道内侧，且无能量损失．圆弧轨道的半径R＝0.4m，圆弧轨道的底端D与一高为h＝0.8m，底边长为x＝2m的光滑斜面EFG的E点连接．（g取10m/s2） （1）若皮带静止，要使小滑块能滑上圆弧轨道做圆周运动，求小滑块滑上皮带右端时的最小速度v0的大小； （2）若皮带沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v0滑上皮带右端，求小滑块运动至圆弧底端D点时轨道对小滑块支持力的最大值； （3）若皮带仍沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v0滑上皮带右端，要使小滑块落在斜面EF上，求皮带速度v的取值范围． 【解答】解：（1）滑块从A到B过程，根据动能定理，有：﹣μmgL 在C点，重力提供向心力，有：mg＝m 联立并代入数据解得：v0＝2m/s． （2）如果一直加速，加速度：a＝μg＝0.2×10＝2m/s2 根据速度—位移公式，有：2aL 代入数据解得：v2＝2m/s， 在C点，合力提供向心力，故：N+mg＝m 代入数据解得：N＝4N． 即轨道对小滑块支持力的最大值是4N． （3）从D到F做平抛运动，故： x＝vDt， hgt2， 解得：vD＝x25m/s， 从C到D根据动能定理：mg•2R 代入数据解得：vC＝3m/s． 故传送带的速度范围：2m/s＜v＜3m/s． 答：（1）若皮带静止，要使小滑块能滑上圆弧轨道做圆周运动，小滑块滑上皮带右端时的最小速度v0的大小为2m/s； （2）若皮带沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v0滑上皮带右端，小滑块运动至圆弧底端D点时轨道对小滑块支持力的最大值4N； （3）若皮带仍沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v0滑上皮带右端，要使小滑块落在斜面EF上，皮带速度v的取值范围2m/s＜v＜3m/s． 三．车辆在道路上的转弯问题（共6小题） 11．“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。某次考试过程中，有两名学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时（　　） A．两名学员具有相同的线速度 B．两名学员具有相同的角速度 C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反 D．坐在副驾驶上的学员受到汽车的作用力较大 【答案】B 【解答】解：A、两名学员离圆心的距离不相等，v＝rω，所以他们的线速度大小不相同，故A错误； B．两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，故B正确； C、汽车所需向心力由摩擦力提供，不与速度方向相反，故C错误； D、学员质量未知，无法比较他们的受到汽车的作用力大小，故D错误； 故选：B。 12．（多选）学完圆周运动的知识后，某同学设计了一个汽车在极限状态下的试车道，如图所示。车道为漏斗状，汽车可在圆心为O的水平面内做匀速圆周运动，车道转弯半径为r，路面倾角为θ，车胎与路面间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），车胎与路面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若不考虑实际中空气阻力等影响因素，仅从理论上分析，下列选项正确的是（　　） A．汽车在该车道上可以静止 B．车速为时，汽车恰好不受路面静摩擦力 C．汽车在该车道上的最大车速为 D．汽车在该车道上的最小车速为 【答案】BCD 【解答】解：A.假设汽车能在车道上静止，则在静止时汽车受到的最大静摩擦力不能小于汽车重力压车道方向向下的分力，即μmgcosθ≥mgsinθ，即μ≥tanθ，与题中信息相悖，因此假设不成立，故A错误； B.当汽车不受摩擦力时，仅售车道的支持力F及自身重力的作用，因为汽车做水平方向的圆周运动，因此竖直方向受力平衡，所以有Fcosθ＝G，F沿水平方向的分力即为汽车所受合力，即FX＝Fsinθ＝Gtanθ，根绝牛顿第二定律F合＝ma可知，汽车的加速度大小agtanθ，通过圆周运动的运动学关系可知，a，联立以上各式即可得v，故B正确； C.根据汽车的运动及受力可知，当汽车受到摩擦力f最大方向沿车道向下时，汽车的速度最大，此时各力之间的关系有μF＝f，fsinθ+mg＝Fcosθ，Fsinθ+fcosθ＝F合，联立以上三式可知F合，根据牛顿第二定律及运动学关系可知，a，由此可知v，故C正确； D.根据汽车的运动及受力可知，当汽车受到摩擦力f最大方向沿车道向上时，汽车的速度最小，此时各力之间的关系有μF＝f，fsinθ+Fcosθ＝mg，Fsinθ﹣fcosθ＝F合，联立以上三式可知F合，根据牛顿第二定律及运动学关系可知，a，由此可知v，故D正确。 故选：BCD。 13．如图所示，是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC、弯曲、水平轨道CDE和半径R＝7.5m的竖直圆形轨道平滑连接．质量m＝100kg的小车，从距水平面H＝20m高处的A点静止释放，通过最低点C后沿圆形轨道运动一周后进入弯曲、水平轨道CDE．重力加速度g＝10m/s2，不计摩擦力和阻力．求： （1）若小车从A点静止释放到达圆形轨道最低点C时的速度大小； （2）小车在圆形轨道最高点B时轨道对小车的作用力； （3）为使小车通过圆形轨道的B点，相对于C点的水平面小车下落高度的范围． 【解答】解：（1）根据动能定理：mgHmvc2 得：vc 代入数据得：vc＝20m/s （2）根据动能定理：mg（H﹣2R）mvB2 根据牛顿第二定律：N+mg＝m 联立得：N＝333N （3）小车恰好通过B点时，由牛顿第二定律得： mg＝m， 解得：vBmin5m/s， 设小车恰好到达B点时，释放点的高度为H′， 则mgH′﹣mg•2RmvBmin2﹣0， 解得：H′＝18.75m； 则小车不脱离圆形轨道需要满足的条件是：H≥18.75m； 答：（1）若小车从A点静止释放到达圆形轨道最低点C时的速度大小为20m/s； （2）小车在圆形轨道最高点B时轨道对小车的作用力为333N； （3）为使小车通过圆形轨道的B点，相对于C点的水平面小车下落高度的范围为H≥18.75m． 14．某高速公路转弯处修成一定的倾角θ以利于车辆转弯，弯道半径R＝100m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为μ＝0.8． （1）汽车若以15m/s的速度行驶，在弯道上没有左右滑动趋势，则路面的设计倾角θ的正切值应为多大？ （2）若θ＝37°，汽车的质量为2000kg，当汽车的速度为30m/s时车并没有发生侧向滑动，求此时地面对汽车的摩擦力的大小和方向．（g＝10m/s2） 【解答】解：（1）汽车转弯时由牛顿第二定律得：mgtanθ＝m 得tanθ＝0.225 （2）若汽车所受侧向摩擦力沿斜面向里，对汽车进行受力分析，如图所示： 由正交分解得 Ncosθ﹣fsinθ﹣mg＝0 Nsinθ+fcosθ＝m 解方程得f＝2400N，摩擦力沿斜面向下． 答：（1）倾角θ的正切值应为θ＝arctan0.225， （2）此时地面对汽车的侧向摩擦力的大小为2400N，方向沿斜面向下． 15．如图所示，光滑水平面内有个带有固定弯杆的小车，将一长L＝0.80m的轻绳一端固定在弯杆的端点O，另一端连接一质量m＝0.10kg的小球，悬点O到小车上表面的距离为H＝1.00m．开始时小车连同小球一起在水平面上做匀速直线运动，速度大小v0＝4m/s．在运动过程中轻绳碰到一个相对地面静止的钉子P．（g＝10m/s2） （1）若轻绳碰到钉子时立刻断裂，且轻绳断裂前后小车的速度认为不变．从绳子断裂开始到小球落在小车上表面的过程中，小车前进的距离？ （2）若轻绳所能承受的最大拉力Fm＝9.0N，要使碰钉子后瞬间细绳不被拉断，则钉子P到小球的距离d应满足什么条件？ （3）在（2）的情况下，试画出碰钉子后瞬间轻绳拉力F与钉子到小球的距离d间的关系图象．（标出特殊点的具体数值，但不需要写出计算过程） 【解答】解：（1）绳子断裂后，小球相对于地面做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则哟： s＝v0t 联立解得：s＝0.8m （2）绳子碰到钉子后做圆周运动，当绳子的拉力达到最大拉力时，绳子断裂，则有： 解得：d＝0.2m 故钉子P到小球的距离d应满足的条件是：0.2m≤d＜0.8m （3）结合上题的结论，作出F图象如下． 答： （1）小车前进的距离为0.8m． （2）钉子P到小球的距离d应满足的条件是：0.2m≤d＜0.8m． （3）作出F图象如上图所示． 16．质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4×104N．汽车经过半径为50m的弯路时，车速达到72km/h． （1）请你通过计算说明这辆车会不会发生侧滑； （2）为保证汽车能安全通过弯路，请你对公路及相应设施的设计提出一项合理化建议． 【解答】解：（1）根据向心力公式，汽车转弯时需要的向心力 F向＝m； 代入数据得 F向＝1.6×104N； 因为F向＞fm，所以最大静摩擦力不足以提供向心力； 故汽车会发生侧滑． （2）建议一：将转弯处的路面设计为外高内低； 建议二：增大转弯处路面的半径； 建立三：在转弯处设置限速标志… （其它建议只要合理，即有助于增大摩擦或减小向心力就行均可） 四．火车的轨道转弯问题（共3小题） 17．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h。 湾道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 （1）根据表中数据，推断求出当r＝440m时，h的设计值为多少毫米； （2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v；（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理，g＝9.8m/s2） （3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求。为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高。请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。（说出一条措施即可） 【解答】解：（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数 C＝660m×50×10﹣3m＝33m2 因此 h•r＝33（或h＝33） ① 当r＝440m时，有： hm＝0.075m＝75mm （2）转弯时，当内外轨对车轮无侧向压力时，火车的受力如图所示 由牛顿第二定律得： ② 因为θ很小，有： ③ 由②，③可得： ④ 代入数据得：v15m/s＝54km/h （3）由④式可知，可采取的有效措施有： a．适当增大内外轨的高度差h； b．适当增大铁路弯道的轨道半径r． 答：（1）当r＝440m时，h的设计值为75mm； （2）我国火车的转弯速率v为54km/h； （3）为了提速应采取的措施有：a．适当增大内外轨的高度差h；b．适当增大铁路弯道的轨道半径r。 18．高速铁路简称“高铁”，是指通过改造原有线路（弯道直线化、轨距标准化），使最高营运速率达到不小于每小时200公里。如图若某列高铁在一个半径为4km的弯道转弯时由于轨道面倾斜使得车体倾斜θ＝15°左右，恰好轨道内外侧都无挤压（取tan15°＝0.25，g＝10m/s2），则此时火车的转弯时的速度是多大？ 【解答】解：如下图所示，恰好轨道内外侧都无挤压，火车只受到mg和垂直轨道面的弹力FN作用，合力的方向水平，合大小为 F合＝mgtanθ＝0.25mg ① 合力给火车提供转弯所需的向心力 ② 由①②两式可求得：v＝100m/s＝360km/h ③ 答：此时火车的转弯时的速度是360km/h。 19．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h． 弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 （1）根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440m时，h的设计值； （2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理） （3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？ 【解答】解：（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数 C＝660m×50×10﹣3m＝33m2 因此 h•r＝33（或h＝33） ① 当r＝440m时，有： hm＝0.075m＝75mm （2）转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得： ② 因为θ很小，有： ③ 由②，③可得： ④ 代入数据得：v15m/s＝54km/h （3）由④式可知，可采取的有效措施有： a．适当增大内外轨的高度差h； b．适当增大铁路弯道的轨道半径r． 答： （1）当r＝440m时，h的设计值为75mm； （2）我国火车的转弯速率v为54km/h； （3）为了提速应采取的措施有：a．适当增大内外轨的高度差h；b．适当增大铁路弯道的轨道半径r． 五．绳球类模型及其临界条件（共6小题） 20．如图所示，质量为M的物体内为光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止。关于物体M对地面的压力N和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左 B．滑块运动到A点时，N＝（M+m）g，摩擦力为零 C．滑块运动到D点时，N＜（M+m）g，摩擦力方向向左 D．滑块运动到D点时，N＝（M+m）g，摩擦力方向向左 【答案】C 【解答】解：AB、滑块在A点时，滑块对M的作用力在竖直方向上，N＜Mg，由于系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，故AB错误； CD、滑块在D点时，需要的向心力向左，所以M对滑块有向左的支持力的作用，对M受力分析可知，地面要对物体有向左的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力N＝Mg＜（M+m）g，故C正确，D错误； 故选：C。 21．如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为R的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：蛋糕转至左上或右上两侧时，且当摩擦力达到最大静摩擦力时，托盘做匀速圆周运动的速率最大，设托盘给蛋糕最大静摩擦力为f，支持力为N，对于右上方或左上方可以得到 又f＝μN 两个式联立可以解得，当时，速度有最大值，则解得 故B正确，ACD错误。 故选：B。 22．如图所示，小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时撤去外力，然后小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动通过最高点C，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处。试求： （1）小球运动到C点时的速度； （2）A、B之间的距离。 【解答】解：（1）小球恰好经过C点，在C点重力提供向心力，则有mg＝m 解得： （2）小球从C到A做平抛运动，则有：2R 解得：t 则A、B之间的距离x 答：（1）小球运动到C点时的速度为； （2）A、B之间的距离为2R。 23．如图所示，质量为M的支座上有一水平细轴．轴上套有一长为L的细绳，绳的另一端栓一质量为m的小球，让球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球运动到最高点时，支座恰好离开地面，则此时小球的线速度是多少？ 【解答】解：对支座M，由牛顿运动定律，得：T﹣Mg＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣① 对小球m，由牛顿第二定律，有：T+mg＝m② 联立 ①②式可解得：v． 答：小球的线速度是． 24．如图所示，一个人用一根长1m、只能承受74N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面h＝6m．转动中小球在最低点时绳子恰好断了．（取g＝10m/s2） （1）绳子断时小球运动的角速度多大？ （2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离是多少？ 【解答】解：（1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可得， F﹣mg＝mrω2， 所以ω8rad/s， 即绳子断时小球运动的角速度的大小是8rad/s． （2）由V＝rω可得，绳断是小球的线速度大小为V＝8m/s， 绳断后，小球做平抛运动， 水平方向上：x＝Vt 竖直方向上：h′gt2 代入数值解得 x＝ωR8m 小球落地点与抛出点间的水平距离是8m． 25．某人站在一平台上，用长L＝0.5m的轻细线拴一个质量为m＝1kg的小球，让它在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，当小球转到最高点A时，人突然撒手．经t＝0.8s小球落地，落地点B与A点的水平距离x＝6.4m，不计空气阻力，g＝10m/s2．求： （1）小球到达B点的速度大小． （2）人撒手前小球运动到A点时，绳对球的拉力F大小． 【解答】解：（1）当小球转到最高点A时，人突然撒手后小球开始做平抛运动，据平抛运动规律有： 水平方向有 x＝v0t，得 v08m/s 竖直方向：vy＝gt＝10×0.8＝8m/s 所以小球到达B点的速度大小 v8m/s （2）在A点，根据牛顿第二定律得：F+mg＝m 解得绳对球的拉力 F＝118N 答： （1）小球到达B点的速度大小是8m/s． （2）人撒手前小球运动到A点时，绳对球的拉力F大小是118N． 六．杆球类模型及其临界条件（共6小题） 26．如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN﹣v2图象如图乙所示．下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为 C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 【答案】B 【解答】解：A、由图象知，当v2＝0时，F＝a，故有：F＝mg＝a，由图象知，当v2＝b时，F＝0，杆对小球无弹力，此时重力提供小球做圆周运动的向心力，有： mg＝m，得：g，故A错误； B、由A分析知，当有a时，得：m，故B正确 C、由图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误。 D、由图象可知，当v2＝2b时，由F合＝m，故有：F+mg2a，得：F＝mg，故D错误 故选：B。 27．（多选）一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点 B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点 C．v1大小一定小于 v2大小，图乙中 S1和 S2的面积一定相等 D．v1大小可能等于 v2大小，图乙中 S1和 S2的面积可能不等 【答案】AC 【解答】解：AB、由对称性可知，在最高点左右两侧对称位置，小球沿水平方向分速度相同，那么在小球到达最高点时，其前后对称时刻的小球水平分速度相等，且最高点时刻水平分速度为正，在图乙中t1时刻满足要求，所以t1时刻小球通过最高点，同理，t3时刻小球通过最低点，故A正确，B错误； CD、从t2到t3，小球重力做正功，一直在加速，在最低点时，速度最大，沿水平方向分速度也最大，即v2＞v1，另外根据对称运动过程中分析，可知，S1和S2分别代表从最低点到最左边点以及从最左边点到最高点的水平位移大小，它们对称相等，因此S1和S2面积相等，故C正确，D错误； 故选：AC。 28．绳子的弹力只能沿绳子指向绳收缩的方向，而杆子的弹力可指向任何方向。如图所示，质量为m＝0.2kg的小球固定在长为L＝0.9m的轻杆一端，杆可绕O点的水平转轴在竖直平面内转动。g＝10m/s2，求： （1）当小球在最高点的速度为多大时，杆对球的作用力为零？ （2）当小球在最高点的速度分别为6m/s，杆对球的作用力的大小与方向？ 【解答】解：（1）小球在最高点杆对球的作用力为零时，由重力G提供向心力，则有 mg＝m 得 v03m/s （2）当小球在最高点的速度为6m/s时，假定杆对球弹力N向下，如图所示； 由牛顿第二定律和向心力公式得：N+mg＝m 可得 N＝6N＞0，则N方向向下。 答： （1）当小球在最高点的速度为3m/s时，杆对球的作用力为零。 （2）当小球在最高点的速度分别为6m/s，杆对球的作用力的大小是6N，方向向下。 29．质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动．（g＝10m/s2）求： （1）求当小球在最高点的速度为6m/s时，角速度多大？ （2）当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？ 【解答】解：（1）当小球在最高点的速度为6m/s时，角速度为： （2）由题意，当小球在最高点球对杆的作用力为零时，由重力提供小球所需要的向心力，根据牛顿第二定律得： mg＝m 解得： v 答：（1）当小球在最高点的速度为6m/s时，角速度为； （2）小球在最高点的速度为3m/s时，球对杆的作用力为零． 30．如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A，B球质量分别为2m、m，整个装置在竖直平面内绕O轴做圆周运动，不计摩擦和空气阻力，当A球达到最高点时，球A与杆之间恰好无相互作用，已知重力加速度为g，求： （1）求此时杆对B球的作用力的大小和方向； （2）求当B球转到最高点时，B球的速度是多少，以及此时杆所受O轴力大小和方向？ 【解答】解：（1）设图示位置A、B两球的速率为v，且杆对B球的作用力为F，则对A球有： 2mg＝2① 对B球有：F﹣mg② 由①②两式得：F＝2mg，方向竖直向上 （2）设当B求到达最高点时速度为v1，此过程机械能守恒，有： 2mg×2L﹣mg×2L3m③ 解得：v1 设此时杆对AB的作用力分别为F1、F2， 对A由牛顿第二定律得：F1﹣2mg④ 解得：F1mg，方向竖直向上． 对B同理可得：F2+mg⑤ 解得：F2mg，方向竖直向下． 由牛顿第三定律得，球A对杆的拉力为：F1′＝F1mg，方向竖直向下． 球B对杆的拉力为：F2′＝F2mg，方向竖直向上． 对杆由平衡条件可得：F＝F1′﹣F2′mg，方向竖直向上． 答：（1）求此时杆对B球的作用力的为2mg，方向竖直向下； （2）当B球转到最高点时，B球的速度是，以及此时杆所受O轴力大小为mg，方向竖直向上 31．如图所示，质量M＝2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1kg的小球通过长L＝0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0＝4m/s，g取10m/s2。 （1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。 （2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。 （3）在满足 （2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。 【解答】解：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1．在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则 ① ② 设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下， 则 ③ 由②③式，得 F＝2N…④ 由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。 （2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。 在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。 以水平向右的方向为正方向，有 mv2﹣MV＝0…⑤ 在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒， 则 ⑥ 由⑤⑥式，得 v2＝2m/s （3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2， 任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V′。 由系统水平方向的动量守恒，得 mv3﹣MV'＝0…⑦ 将⑦式两边同乘以Δt，得 mv3Δt﹣MV'Δt＝0…⑧ 因⑧式对任意时刻附近的微小间隔Δt 都成立，累积相加后，有 ms1﹣Ms2＝0…⑨ 又 s1+s2＝2L…⑩ 由⑨⑩式得 答：（1）小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。 （2）小球通过最高点时的速度v2＝2m/s。 （3）小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离 七．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共5小题） 32．某传送带装置在竖直平面内的横截面如图所示，ab段水平，bcd段为圆周。传送带在电机的带动下以恒定速率v＝4m/s运动，在传送带的左端点a无初速地投放质量m＝1kg的小物块（可视为质点），当第一个物块A到达b点时即刻在a点投放另一相同的物块B。物块到达b点时都恰好与传送带等速，此后能确保物块与传送带相对静止地通过bcd段。物块到达最高点d时与传送带间的弹力大小恰等于其重力。在d端点的左方另有一平直轨道ef，轨道上静止停放着质量M＝1kg的木板，从d点出来的物块恰能水平进入木板上表面的最右端，木板足够长。已知：物块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.8，与木板间的动摩擦因数μ2＝0.2；木板与轨道间的动摩擦因数μ3＝0.1；设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2。试求： （1）每个物块在传送带abcd上运行的时间； （2）木板运动的总时间。 【解答】（1）物块在ab段上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得： μ1mg＝ma 已知物块到达b点时都恰好与传送带等速，设过程的时间为t1，由运动学公式得： v＝at1 联立解得：t1＝0.5s 已知物块到达最高点d时与传送带间的弹力的大小恰等于其重力，即FN＝mg，物块经过d点时根据牛顿第二定律得： 解得bcd段的圆周半径为：R＝0.8m 依据题意可得物块在圆周上运动的时间为： 解得：t2 可得每个物块在传送带上运动的时间为： t＝t1+t2＝0.5s （2）物块A滑上木板时，物块与木板间的滑动摩擦力大小为：f1＝μ2mg＝0.2×1×10N＝2N 木板与轨道间的最大静摩擦力大小为：fM1＝μ3（m+M）g＝0.1×（1+1）×10N＝2N 因f1＝fM1，故木板保持静止状态。 物块A在木板上做匀减速直线运动，其加速度大小为：m/s2 当物块B滑上木板瞬间，物块A的速度大小为：vA1＝v﹣aAt1 解得：vA1＝3m/s 物块A、B在木板上同时滑动时两者对木板总的摩擦力大小为：f2＝2f1＝2×2N＝4N 地面与木板间的最大静摩擦力为：fM2＝μ3（M+2m）g＝0.1×（1+2×1）×10N＝3N 木板开始匀加速向左运动，对木板由牛顿第二定律得：f2﹣fM2＝MaM1 解得：aM1＝1m/s2 当物块A与木板共速时有：v共1＝aM1Δt1＝vA1﹣aAΔt1 解得：v共1＝1m/s，Δt1＝1s 物块B在木板上匀减速运动的加速度亦为aA，此时物块B的速度大小为：vB1＝v﹣aAΔt1 解得：vB1＝2m/s 此后物块A与木板保持相对静止一起做匀减速直线运动，对物块A与木板整体由牛顿第二定律得：fM2﹣f1＝（M+m）aM2 解得：aM2＝0.5m/s2 假设物块B与木板达到共速时，木板并没有停止运动，则有： ν共2＝ν共1﹣aM2•Δt2＝νB1﹣aA•Δt2 解得：，m/s 可知假设成立，此后三个物体一起做匀减速直线运动到速度为零。 根据牛顿第二定律可得三者的整体加速度大小为：aM3＝μ3g＝0.1×10m/s2＝1m/s2 三者一起减速到零的时间为：，解得：s 可得木板运动的总时间为：t＝Δt1+Δt2+Δt3 解得：ts 答：（1）每个物块在传送带abcd上运行的时间为； （2）木板运动的总时间为s。 33．如图所示，为一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L＝0.2m，动摩擦因数μ＝0.6，BC、DEN段均可视为光滑，且BC的始、末端均水平，具有h＝0.1m的高度差，DEN是半径为r＝0.4m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过。在左端竖直墙上固定一轻质弹簧，现有一可视为质点的小球，小球质量m＝0.2kg，压缩轻质弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿DEN轨道滑下。求： （1）小球刚好能通过D点时速度的大小； （2）小球到达N点时速度的大小及受到轨道的支持力的大小； （3）压缩的弹簧所具有的弹性势能。 【解答】解：（1）小球刚好能沿DEN轨道滑下，则在半圆最高点D点必有： mg＝m 则有：vDm/s＝2m/s （2）从D点到N点，由机械能守恒定律得： mg•2r 代入数据得：vN＝2m/s。 在N点有：N﹣mg＝m 得：N＝6mg＝12N （3）弹簧推开小球的过程中，弹簧对小球所做的功W等于弹簧所具有的弹性势能Ep，根据动能定理得： W﹣μmgL+mgh0 得：W＝μmgL﹣mgh0.44J 即压缩的弹簧所具有的弹性势能为0.44J。 答：（1）小球刚好能通过D点时速度的大小是2m/s； （2）小球到达N点时速度的大小是2m/s，受到轨道的支持力的大小是12N； （3）压缩的弹簧所具有的弹性势能是0.44J。 34．某同学设计的某款游戏装置由轨道ABCD和圆弧轨道EF两部分构成。如图所示，该装置竖直放置在高H＝0.62m的水平台面上；装置中轨道ABCD的动摩擦因数均为μ＝0.5，其余轨道摩擦不计。AB、CD为水平面，BC为斜面，AB与BC、BC与CD间均由长度不计的圆弧连接，C点上方有一圆弧形弹性小挡板K，挡板末端水平。E点在D点的正上方，DE间距不计。B点到E点的竖直高度h＝0.08m，ABCD的水平长度为L＝0.12m；在水平轨道AB的左侧放有一弹射装置。将一可视为质点，质量m＝1kg的物体紧贴弹簧由静止释放弹出，当弹簧的压缩量为d时，物体由E点进入半径R＝0.2m的圆弧轨道EF运动，物体在此轨道最高点恰好不受任何挤压。忽略小物体在各轨道交接处因碰撞带来的机械能的损失。 （1）当弹簧的压缩量为d时，求小物体在圆弧轨道中运动时的最小速度及此情况下弹射装置弹簧的初始弹性势能； （2）当弹簧的压缩量为1.5d时，求物体在运动至F点处对圆形轨道的压力； （3）当弹簧的压缩量为d时，在D点放置与小物块等质量的小球，小物块经过D点时与小小球发生弹性碰撞，碰后小球经轨道EF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞（三棱柱G的位置上下可调），碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值xmax。 【解答】解：（1）物体在圆弧轨道中运动时，在E点速度最小，在E点恰好不受任何挤压，由重力提供向心力，则有： mg 代入数据解得：vEm/s 设斜面BC的倾角为θ，物体由A到D的过程克服摩擦力做功Wf＝μmg（LAB+LCD）+μmgcosθ•LBC， 由几何关系可得：LAB+LCD+LBCcosθ＝L，则：Wf＝μmgL 物体从释放到E的过程由功能关系可得此情况下弹射装置弹簧的初始弹性势能： Ep1＝Wf+mgh 代入数据解得：Ep1＝2.4J （2）根据弹簧弹性势能Ep，可得当弹簧的压缩量为1.5d时其弹性势能为： Ep2 代入数据解得Ep2＝5.4J 物体从释放到F的过程由功能关系可得： Ep2﹣Wf﹣mgh+mgR 根据牛顿第二定律，物体在F点所受轨道支持力大小为： N 代入数据解得：N＝60J 根据牛顿第三定律可知物体在运动至F点处对圆形轨道的压力大小为60N，方向水平向右。 （3）设物体与小球碰撞后瞬间，物体与小球的速度分别为v1、v2，以水平向右为正方向，根据系统动量和机械能守恒可得： mvE＝mv1+mv2 联立并代入数据解得：v1＝0，v2＝vEm/s 设三棱柱G距离地面的高度为y，小球与其碰撞时的速度大小为v0，则E点到三棱柱G的竖直距离为h′＝H+h﹣y＝0.7﹣y。 小球从E到与三棱柱碰撞过程，根据动能定理可得： mgh′ 可得：16﹣20y 碰撞后小球以初速度为v0做平抛运动，则有： y x＝v0t 联立可得：x24y2 当y＝0.4m时，x取最大值，为xmax＝0.8m 答：（1）小物体在圆弧轨道中运动时的最小速度为m/s，此情况下弹射装置弹簧的初始弹性势能为2.4J； （2）物体在运动至F点处对圆形轨道的压力大小为60N，方向水平向右； （3）落地点Q与F点的水平距离x的最大值xmax为0.8m。 35．如图，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动．一长L为0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1为0.2kg的球．当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当球m1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2为0.8kg的小铁球正碰，碰后m1小球以2m/s的速度弹回，m2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D．g＝10m/s2，求： （1）m2在圆形轨道最低点C的速度为多大？ （2）光滑圆形轨道半径R应为多大？ 【解答】解：（1）设球m1摆至最低点时速度为v0，由小球（包括地球）机械能守恒： m1gLm1 得：v0m/s＝4m/s m1与m2碰撞，动量守恒，设m1、m2碰后的速度分别为v1、v2．选向右的方向为正方向，根据动量守恒定律则： m1v0＝m1v1+m2v2 代入数值解得：v2＝1.5 m/s （2）m2在CD轨道上运动时，由机械能守恒有： m2m2g（2R）① 由小球恰好通过最高点D点可知，重力提供向心力，即： m2g＝m2② 由①②解得：Rm＝0.045m 答：（1）m2在圆形轨道最低点C的速度为1.5m/s． （2）光滑圆形轨道半径R应为0.045m． 36．如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一个小球在A点正上方由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并恰能到达B点，求： （1）释放点距A点的竖直高度； （2）小球落到斜面上C点时的速度大小． 【解答】解：（1）小球恰能到达B点，在B点由重力提供向心力，则有： mg＝m 得：v 设小球的释放点距A点高度为h，小球从开始下落到B点，由动能定理得： mg（h﹣R）mv2； 得：h＝1.5R （2）小球离开B点后做平抛运动，小球落到C点时有： tan45° 解得：t＝2 小球落在斜面上C点时竖直分速度为：vy＝gt＝2 小球落到C点得速度大小：vC 答：（1）释放点距A点的竖直高度是1.5R； （2）小球落到斜面上C点时的速度大小为． 八．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共4小题） 37．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块（可视为质点）质量m＝0.01kg，轨道BCD的半径R＝0.8m，管道DEF的半径r＝0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l＝2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm＝0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。 （1）若弹簧的弹性势能Ep0＝0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小； （2）若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值； （3）若弹簧以最大弹性势能弹出，请判断游戏过程中滑块会脱离轨道吗？若不会，请求出滑块最终静止位置。 【解答】解：（1）滑块运动到与O1等高处的过程，滑块与弹簧组成的系统的机械能守恒，则有： Ep0＝mgR 代入数据解得：v＝4m/s； （2）使滑块在运动过程中不脱离轨道且能进入管道DEF，到达D处的临界条件为在D处滑块与轨道的弹力为零，此情况滑块达到D处速度最小设为vD0，在D处由牛顿第二定律得： mg＝m 代入数据解得：vD0m/s 滑块由D到F的过程，由机械能守恒得： 2mgr 代入数据解得：vF＝2m/s 可见在此临界情况下，滑块可以到达F处，且达到F处的最小速度为vF＝2m/s。 假设滑块运动到F处对管道的弹力为零时的速度为vF0，则有： mg＝m 代入数据解得：vF0＝1m/s 因vF＞vF0，故滑块以最小速度到达F处时挤压轨道上侧，可得滑块以最小速度到达F处时对轨道弹力最小。 设在F处管道对滑块的弹力最小为FN′，由牛顿第二定律得： FN′+mg＝m 代入数据解得：FN′＝0.3N 由牛顿第三定律可知，滑块对轨道弹力FN的最小值为0.3N； （3）弹簧以最大弹性势能Epm＝0.5J弹出滑块，设第一次达到D处的速度为vD1，同理由系统的机械能守恒得： Epm＝2mgR 代入数据解得：vD1m/s 因vD1＞vD0，故滑块可以第一次经过D处。 设返回时第二次达到D处的速度为vD2，由动能定理得： ﹣μmg•2l 代入数据解得：vD2m/s 因vD2＞vD0，故滑块可以第二次经过D处沿BCD轨道返回。 由机械能守恒定律可知，滑块第三次经过D的速度大小仍为vD3m/s，设此后滑块在轨道FG上运动的最大路程为s，由动能定理得： ﹣μmg•s﹣2mgr＝0 代入数据解得：s＝2.4m 因s＜2l＝4m，故滑块最终静止在轨道FG上，游戏过程中滑块不会脱离轨道。 最终位置距离弹性板2.4m﹣2m＝0.4m处。 答：（1）滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小为4m/s； （2）第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值为0.3N； （3）游戏过程中滑块不会脱离轨道，滑块最终静止位置距离弹性板0.4m处。 38．如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2m。下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内。有一质量为0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，求： （1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求落地点与D点的水平距离； （2）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求小球过圆弧A点时对轨道的压力； （3）如果在D点右侧平滑连接一半径R＝0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围（计算结果可以用根式表示）。 【解答】解：（1）小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可得： h 据题 h＝2R+L＝2×0.3m+0.2m＝0.8m 代入数据解得 t＝0.4s 所以落地点与D点的水平距离 x＝vDt＝5×0.4m＝2m； （2）由A到D的过程，由机械能守恒定律可得： mgh 在A点，由牛顿第二定律可得： N﹣mg＝m； 联立解得 N＝44N 由牛顿第三定律知，小球过圆弧A点时对轨道的压力 N′＝N＝44N （3）讨论一： 小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有： mg（R+L） 得 v1m/s 讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有 mg＝m 其中R＝0.4m 从A到D由机械能守恒定律可得： 有：mghmv2 得 v2＝2m/s 所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：v1m/s或v2≥2m/s 答： （1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，落地点与D点的水平距离为2m （2）如果小球能从D点以5m/s的速度水平飞出，小球过圆弧A点时对轨道的压力是44N。 （3）要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围是v1m/s或v2≥2m/s。 39．如图，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABEC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点，轨道上的E点与A点在同一水平线上，将一质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力． （1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球在C点的出射速度是多少？ （2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度H应是多少？ （3）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，求此时小球在通过E点时对轨道的压力． 【解答】解：（1）小球离开C点做平抛运动，恰好能打到垫子的M端时，有： 竖直方向：R 水平方向：R＝vCt 联立解得：vC （2）小球由静止释放的高度最大时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．设能够落到N点的水平速度为v，有： v2 设小球离A点的最大高度为H2，根据机械能守恒定律可知： mg（H2﹣R）mv2 解得：H2＝5R 同理：设小球离A点的最小高度为H1，有 mg（H1﹣R） 解得：H1R 因此小球的释放点离A点的高度H满足的条件：R≤H≤5R． （3）由机械能守恒得：mgR． 在E点，由牛顿第二定律得：N＝m 解得：N＝2.5mg 根据牛顿第三定律知：小球在通过E点时对轨道的压力为：N′＝N＝2.5mg． 答：（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球在C点的出射速度是． （2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度H应是R≤H≤5R． （3）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，此时小球在通过E点时对轨道的压力是2.5mg． 40．有三个半圆形的光滑滑槽C1、C2、C3，和一个半圆形的光滑圆管C4，在竖直平面内连接成如图所示轨道，它们的半径分别为4R、R、R和2R，C4内径远小于R．有一个比C4内径略小的、质量为m的小球，以一定速度竖直向下从A点出发，沿C1、C2、C3的凹面运动，然后进入C4管内，最后又回到A点．已知重力加速度为g．求： （1）小球在A点出发时速度vA至少多大？ （2）若在A点出发时速度v′A，小球运动到何处，轨道对小球的弹力最大？最大值是多大？ 【解答】解：（1）若小球能过D点，则D点速度满足： 即 ① 从A到D对小球由机械能守恒得： …② 联立①②解得：③ 若小球能过H点，则H点速度满足vH≥0…④ 从A到H对小球由机械能守恒得：⑤ 联立④、⑤解得： …⑥ 小球要能沿环形轨道运行一周，必须都能通过D点和H点． 比较③、⑥得： 即A点出发时速度vA至少为： （2）小球在运动过程中，轨道给小球的弹力最大的点只会在圆轨道的最低点，B点和F点都有可能， 从A到B对小球由机械能守恒得： …⑦ 在B点轨道给小球的弹力NB满足： …⑧ 将v′A，代入联立⑦、⑧解得：⑨ 从A到F对小球由机械能守恒得：⑩ 在F点轨道给小球的弹力NF满足： …11， 将v′A，代入联立⑩、11解得：NF＝9mg …12 比较⑨、12得F点处轨道给小球的弹力最大，最大值是9mg． 答： （1）小球在A点出发时速度vA至少为2． （2）若在A点出发时速度v′A，小球运动到F点，轨道对小球的弹力最大，最大值是9mg． 九．拱桥和凹桥类模型分析（共4小题） 41．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态 B．乙所示是圆锥摆，减小θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度变大 C．如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度大小不同，但所受筒壁的支持力大小相等 D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 【答案】C 【解答】解：A．汽车通过拱桥的最高点时，汽车的加速度方向向下，汽车处于失重状态，而不是超重状态，故A错误； B．如图乙所示是一圆锥摆，设高度为h，根据牛顿第二定律可得 mgtanθ＝mω2htanθ 可得 可知，θ减小，但保持圆锥的高h不变，圆锥摆的角速度ω与θ无关，则圆锥摆的角速度ω不变，故B错误； C．如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置分别做匀速圆周运动，设圆锥筒的母线与水平方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律可得 mgtanθ＝mω2rA 由于同一小球在A、B位置做匀速圆周运动的半径不同，则角速度不同，但所受筒壁的支持力大小相等，故C正确； D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心的趋势，外轨对轮缘会有挤压作用，故D错误。 故选：C。 42．如图一辆质量为500kg的汽车通过一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部．（取g＝10m/s2） （1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ （2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？ 【解答】解：（1）汽车受重力G和拱桥的支持力F，根据牛顿第二定律，有： Mg﹣N＝M 解得： N＝Mg﹣M4640N 根据牛顿第三定律，压力： F＝4640N （2）压力为零时，重力提供向心力，故： Mg＝M 解得： v＝10m/s 答：（1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是4640N； （2）汽车以10m/s的速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零． 43．有一辆质量为m＝1.8×103kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，取g＝10m/s2． （1）当汽车到达桥顶的速度v1＝10m/s时，对桥的压力是多大？ （2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好对桥没有压力？ 【解答】解：（1）汽车经过桥顶时，受力分析如图，由重力和支持力的合力提供向心力，则由牛顿第二定律得： mg﹣N＝m 得 N＝m（g）＝1.8×103×（10）＝1.35×104N 由牛顿第三定律，汽车对桥的压力为：N′＝N＝1.35×104N，方向竖直向下 （2）汽车对桥没有压力时，汽车只受重力，重力提供向心力，则有：mg＝m 解得：vm/s＝20m/s． 答： （1）当汽车到达桥顶的速度v1＝10m/s时，对桥的压力是1.35×104N，方向竖直向下． （2）汽车以20m/s的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力． 44．一辆运货的汽车总质量为3.0×103Kg，这辆汽车以10m/s的速率通过凸圆弧形桥，桥的圆弧半径为50m，求： （1）则汽车通过桥顶部时，桥面受到汽车的压力大小为多大？ （2）如果这辆汽车通过凸形桥顶部时速度达多大时，汽车恰好对桥面无压力． （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大．（重力加速度g＝10m/s2，地球半径R＝6.4×103 km） 【解答】解：（1）汽车通过凸圆弧形桥顶部时，由汽车的重力和桥面的支持力提供汽车的向心力， 根据牛顿第二定律得： mg﹣FN＝m 得FN＝mg﹣m2.4×104N 又由牛顿第三定律得，桥面受到汽车的压力大小： FN′＝FN＝2.4×104N． （2）当FN＝0时，mg＝m 得到：v010m/s （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少为： v′8000m/s 答：（1）则汽车通过桥顶部时，桥面受到汽车的压力大小为N2.4×104； （2）如果这辆汽车通过凸形桥顶部时速度达10m/s多大时，汽车恰好对桥面无压力； （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少为8000m/s． 十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共5小题） 45．（多选）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心，R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管、其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中，依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1 B．若v1＝v2，则h1：h2＝R12：R22 C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同 D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2 【答案】BD 【解答】解：A、若h1＝h2，根据竖直方向上自由落体的运动特点可知，水的运动时间相等，在水平方向上，x＝vt，则v1：v2＝R1：R2，故A错误； B、若v1＝v2，根据水平方向的运动特点可知，t1：t2＝R1：R2，结合竖直方向自由落体的公式可知，h1：h2＝R12：R22，故B正确； C、若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，因为旋转的时间相同，则喷出的水量相等，但因为外圈的花盆数量比内圈数量多，则落入每个花盆的水量不相同，故C错误； D、若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同的话，应该这样解释：设每浇一个花盆经历时间t，出水口截面积为S，喷嘴转过的角度为θ，转动的角速度为ω，水柱扫过的弧长为l，则：出水量V＝Svt，根据A选项的解析，若h1＝h2，则v1：v2＝R1：R2。所以要保证落入每个花盆的水量（V）相同的话，必有ω1＝ω2。故D正确； 故选：BD。 46．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞行水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。试求： （1）球落地时的速度大小v2； （2）绳子能够承受的最大拉力为多大； （3）如果不改变手离地面的高度，改变绳子的长度，使小球重复上述的运动。若绳子仍然在小球运动到最低点时断掉，要使小球抛出的水平距离最大，则绳子长度l应为多少，小球的最大水平距离x为多少？ 【解答】解：（1）由几何关系可知：球做平抛运动下降的高度为（） 则根据平抛运动规律可得： 即： 得： 则绳断时，球的速度（水平速度）为：。 球在竖直方向上做自由落体运动，则竖直方向的速度为： 对小球的分速度合成可求小球落地时的速度： （2）由于小球在最低点时，绳子的拉力最大， 根据牛顿第二定律可得：Fm﹣mg＝ma 根据向心加速度和线速度的关系式可得： 代入可得：Fm＝mg+ma 即解得：Fm （3）设绳长为l，绳断时球的速度为v3， 则有：， 由（2）可知绳子最大拉力Fm 则可得： 解得： 绳断后球做平抛运动，竖直位移为（d﹣l），水平位移为x，时间为t2， 则有： x＝v3t2 可得： 解得： 当l＝d﹣l时，即时，x有极大值为：。 答：（1）落地球时的速度大小为； （2）绳子能够承受的最大拉力为； （3）绳子则长度 时，小球的水平距离最大，最大水平距离为。 47．图示为《男生女生向前冲》娱乐节目现场的滑道示意图，其中AB为直滑道，水面上漂浮一半径为R、角速度为ω、铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L．小强同学（可视为质点）从高为H的平台边缘抓住竖直杆，在电动机的带动下从A点沿水平方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，运动中杆始终竖直，已知小强的质量为m，与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g． （1）假设小强落到转盘上时相对转盘的速度瞬间减为零，为保证小明落在转盘的任何位置都不会被甩下，转盘的角速度ω应该满足什么条件？ （2）若小强能落在转盘上，则小强应在距A点多远的C点松开竖直杆？ 【解答】解：（1）若小强不被甩出转盘，则小强在转盘边缘位置受到的静摩擦力应小于或等于其最大静摩擦力，且恰好提供其运动的向心力，由牛顿第二定律可得： μmg＝mω2R 解得ω 即转盘的转速应满足ω． （2）若小强恰好落在转盘的最左端，设松手位置C距A点的距离为x1，末速度为v， 小强由A点运动到C点过程中，有x1， 小强松开手后做平抛运动， Hgt2 L﹣R﹣x1＝vt 由以上各式联立解得x1＝（）2 若小强恰好落在转盘的最右端，设松手位置C距A点的距离为x2，末速度为v2， 小强由A点运动到C点过程中，有x2 小强松开手后做平抛运动， Hgt2 小强松开手后L﹣x2+R＝v2t 联立解得x2＝（）2 则小强应在距A点为）2≤x≤（）2　的范围内松开竖直杆． 答：（1）转盘的角速度ω应该满足ω． （2）若小强能落在转盘上，则小强应在距A点小强应在距A点为）2≤x≤（）2　的范围内松开竖直杆． 48．学校举行遥控赛车（可视为质点）比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，赛车以额定功率P＝2.0w沿水平直线轨道运动，过B点进入半径为R＝0.4m的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续沿光滑平直轨道运动，然后冲上光滑斜坡，最后从C点水平飞出落到水平轨道的D点。已知赛车质量m＝0.1kg，已知赛车在AB段运动中所受阻力f恒为0.2N．（取g＝10m/s2） 求：（1）如果水平直线轨道AB足够长，求赛车运动过程中的最大速度Vm； （2）如果水平直线轨道AB长L＝10m，要让赛车从竖直圆轨道E点通过，赛车从A点开始至少需工作多长时间； （3）如果赛车以最大速度冲过B点，绕过竖直圆轨道后到达C点，C点高度可调，那么赛车落地点D离飞出点C的最大水平位移多大？ 【解答】解：（1）当赛车的牵引力等于阻力时速度最大，为：vm （2）要让赛车从竖直圆轨道E点通过，则E点速度为： 从B到E过程中由动能定理得： 由于赛车以额定功率工作，工作时间为t，在Ab段由动能定理得：Pt﹣fL 联立并代入数据解得：t＝1.5s，v1 （3）设C点高度为h，赛车到达C点速度为v3，有机械能守恒得： 平抛运动，竖直方向：h 水平位移x＝v3t 联立解得： 当时x最大，最大值为：x 答：（1）如果水平直线轨道AB足够长，求赛车运动过程中的最大速度Vm为10m/s （2）如果水平直线轨道AB长L＝10m，要让赛车从竖直圆轨道E点通过，赛车从A点开始至少需工作多长时间为1.5s； （3）如果赛车以最大速度冲过B点，绕过竖直圆轨道后到达C点，C点高度可调，那么赛车落地点D离飞出点C的最大水平位移5m 49．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳恰好断掉，球飞行水平距离d后落地．如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力，绳能承受的最大拉力为定值． （1）求绳断开时小球的速度； （2）求绳能承受的最大拉力多大； （3）若手的位置始终不变，改变绳长使手与球间的绳长变为，要使绳仍在球运动到最低点时恰好断掉，求小球飞行的水平距离． 【解答】解：（1）设绳断后球做平抛运动的时间为t1， 竖直方向上：d，水平方向上：d＝v1t1 解得v1． （2）设绳能承受的最大拉力为Fm． 球做圆周运动的半径为Rd Fm﹣mg＝m 解得Fmmg （3）在原周的最低点，有：Fm﹣mg＝m 平抛运动，有： d s＝vt 联立解得：s 答：（1）绳断开时小球的速度为； （2）绳能承受的最大拉力为mg； （3）小球飞行的水平距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 生活中的圆周运动 【十大题型】 一．水平转盘上物体的圆周运动（共5小题） 二．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共5小题） 三．车辆在道路上的转弯问题（共6小题） 四．火车的轨道转弯问题（共3小题） 五．绳球类模型及其临界条件（共6小题） 六．杆球类模型及其临界条件（共6小题） 七．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共5小题） 八．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共4小题） 九．拱桥和凹桥类模型分析（共4小题） 十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共5小题） 一．水平转盘上物体的圆周运动（共5小题） 1．旋转餐桌的水平桌面上，一个质量为m的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．若减小餐桌的转动转速，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动 B．一起匀速转动时茶杯有沿切线方向滑出去的趋势 C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，则茶杯受到的摩擦力的方向指向餐桌的中心 D．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的转速匀速转动餐桌，茶杯与餐桌仍保持相对静止 2．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，A的质量为3m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为ω1；若只将B的质量增加为2m，A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为ω2。转动过程中轻绳未断，则为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点正立方体物块，与转盘间的动摩擦因数相同，B、C处物块的质量相等为m，A处物块的质量为2m，点A、B与轴O的距离相等且为r，点C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（　　） A．C处物块的向心加速度最大 B．A处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A处的物块 4．如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内运动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用长为L的轻绳连在一起，L＜R．若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙连线正好沿半径方向拉直，开始时转盘角速度为零且连线无张且甲、乙物体均可视为质点．现缓慢增大转盘的角速度ω，试求： （1）当圆盘旋转的角速度为多大时，连接甲、乙两物体的细线开始有张力； （2）当圆盘旋转的角速度为多大时，甲、乙两物体将开始相对圆盘发生滑动． 5．如图所示，水平转盘的中心有一竖直的小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A的质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ＜1）倍，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随转盘转动？ 二．倾斜转盘(斜面体)上物体的圆周运动（共5小题） 6．如图所示，在倾角是30°的光滑斜面上，有一长为l的轻杆，杆的一端固定着一个小球，质量为m。另一端绕垂直于斜面的光滑轴做圆周运动，运动到最高点速度是．（　　） A．在最高点时，杆对球的作用力为0 B．在最高点时，杆对球的作用力沿杆向上 C．在最高点时，杆对球的作用力沿杆向下，大小是mg D．在最低点时，杆对球的作用力沿杆向上，大小是mg 7．如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切阻力，则（　　） A．在轻杆转过180°的过程中，角速度逐渐减小 B．只有ω0大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动 C．轻杆受到转轴的力的大小始终为2mgsinθ D．轻杆受到转轴的力的方向始终在变化 8．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期T。 9．如图所示，光滑的斜面体OAB固定在水平地面上，在其右端B点与固定的光滑半圆形轨道平滑连接，半圆轨道与水平地面相切于B点，且半圆轨道的最高点C与斜面顶端A处于同一水平高度．小滑块（可看成质点）的质量为m，半圆轨道半径为R，斜面倾角α＝45°（不计空气阻力和在B点处的能量损失）． （1）若小滑块自A点无初速度下滑，求小滑块在B点对半圆轨道的压力（滑块在B点做圆周运动）？ （2）若斜面AB的动摩擦因数μ＝0.5，半圆轨道光滑；现让小滑块以一定的初速度v0自A点沿斜面下滑，欲使小滑块能通过C点，v0至少要为多大？ （3）若斜面AB的动摩擦因数µ＝0.5，半圆轨道不光滑；小滑块从A点以初速度v1＝2沿斜面下滑，过C点后恰能垂直地打在斜面AB上，求滑块从B到C过程中克服阻力做的功． 10．如图，一质量m＝0.2kg的可视为质点的小滑块，以一定的初速度滑上长为L＝1m的水平传送带右端A，小滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，传送带的左端B与一光滑半圆轨道顶端C相连，小滑块能从皮带上的B点通过圆弧轨道的C点进入圆弧轨道内侧，且无能量损失．圆弧轨道的半径R＝0.4m，圆弧轨道的底端D与一高为h＝0.8m，底边长为x＝2m的光滑斜面EFG的E点连接．（g取10m/s2） （1）若皮带静止，要使小滑块能滑上圆弧轨道做圆周运动，求小滑块滑上皮带右端时的最小速度v0的大小； （2）若皮带沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v0滑上皮带右端，求小滑块运动至圆弧底端D点时轨道对小滑块支持力的最大值； （3）若皮带仍沿逆时针方向转动且皮带速度可取不同的值，小滑块以第（1）问中的v0滑上皮带右端，要使小滑块落在斜面EF上，求皮带速度v的取值范围． 三．车辆在道路上的转弯问题（共6小题） 11．“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。某次考试过程中，有两名学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时（　　） A．两名学员具有相同的线速度 B．两名学员具有相同的角速度 C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反 D．坐在副驾驶上的学员受到汽车的作用力较大 12．（多选）学完圆周运动的知识后，某同学设计了一个汽车在极限状态下的试车道，如图所示。车道为漏斗状，汽车可在圆心为O的水平面内做匀速圆周运动，车道转弯半径为r，路面倾角为θ，车胎与路面间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），车胎与路面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若不考虑实际中空气阻力等影响因素，仅从理论上分析，下列选项正确的是（　　） A．汽车在该车道上可以静止 B．车速为时，汽车恰好不受路面静摩擦力 C．汽车在该车道上的最大车速为 D．汽车在该车道上的最小车速为 13．如图所示，是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC、弯曲、水平轨道CDE和半径R＝7.5m的竖直圆形轨道平滑连接．质量m＝100kg的小车，从距水平面H＝20m高处的A点静止释放，通过最低点C后沿圆形轨道运动一周后进入弯曲、水平轨道CDE．重力加速度g＝10m/s2，不计摩擦力和阻力．求： （1）若小车从A点静止释放到达圆形轨道最低点C时的速度大小； （2）小车在圆形轨道最高点B时轨道对小车的作用力； （3）为使小车通过圆形轨道的B点，相对于C点的水平面小车下落高度的范围． 14．某高速公路转弯处修成一定的倾角θ以利于车辆转弯，弯道半径R＝100m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为μ＝0.8． （1）汽车若以15m/s的速度行驶，在弯道上没有左右滑动趋势，则路面的设计倾角θ的正切值应为多大？ （2）若θ＝37°，汽车的质量为2000kg，当汽车的速度为30m/s时车并没有发生侧向滑动，求此时地面对汽车的摩擦力的大小和方向．（g＝10m/s2） 15．如图所示，光滑水平面内有个带有固定弯杆的小车，将一长L＝0.80m的轻绳一端固定在弯杆的端点O，另一端连接一质量m＝0.10kg的小球，悬点O到小车上表面的距离为H＝1.00m．开始时小车连同小球一起在水平面上做匀速直线运动，速度大小v0＝4m/s．在运动过程中轻绳碰到一个相对地面静止的钉子P．（g＝10m/s2） （1）若轻绳碰到钉子时立刻断裂，且轻绳断裂前后小车的速度认为不变．从绳子断裂开始到小球落在小车上表面的过程中，小车前进的距离？ （2）若轻绳所能承受的最大拉力Fm＝9.0N，要使碰钉子后瞬间细绳不被拉断，则钉子P到小球的距离d应满足什么条件？ （3）在（2）的情况下，试画出碰钉子后瞬间轻绳拉力F与钉子到小球的距离d间的关系图象．（标出特殊点的具体数值，但不需要写出计算过程） 16．质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4×104N．汽车经过半径为50m的弯路时，车速达到72km/h． （1）请你通过计算说明这辆车会不会发生侧滑； （2）为保证汽车能安全通过弯路，请你对公路及相应设施的设计提出一项合理化建议． 四．火车的轨道转弯问题（共3小题） 17．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h。 湾道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 （1）根据表中数据，推断求出当r＝440m时，h的设计值为多少毫米； （2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v；（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理，g＝9.8m/s2） （3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求。为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高。请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。（说出一条措施即可） 18．高速铁路简称“高铁”，是指通过改造原有线路（弯道直线化、轨距标准化），使最高营运速率达到不小于每小时200公里。如图若某列高铁在一个半径为4km的弯道转弯时由于轨道面倾斜使得车体倾斜θ＝15°左右，恰好轨道内外侧都无挤压（取tan15°＝0.25，g＝10m/s2），则此时火车的转弯时的速度是多大？ 19．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h． 弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 （1）根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440m时，h的设计值； （2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理） （3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？ 五．绳球类模型及其临界条件（共6小题） 20．如图所示，质量为M的物体内为光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止。关于物体M对地面的压力N和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左 B．滑块运动到A点时，N＝（M+m）g，摩擦力为零 C．滑块运动到D点时，N＜（M+m）g，摩擦力方向向左 D．滑块运动到D点时，N＝（M+m）g，摩擦力方向向左 21．如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为R的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（　　） A． B． C． D． 22．如图所示，小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时撤去外力，然后小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动通过最高点C，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处。试求： （1）小球运动到C点时的速度； （2）A、B之间的距离。 23．如图所示，质量为M的支座上有一水平细轴．轴上套有一长为L的细绳，绳的另一端栓一质量为m的小球，让球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球运动到最高点时，支座恰好离开地面，则此时小球的线速度是多少？ 24．如图所示，一个人用一根长1m、只能承受74N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面h＝6m．转动中小球在最低点时绳子恰好断了．（取g＝10m/s2） （1）绳子断时小球运动的角速度多大？ （2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离是多少？ 25．某人站在一平台上，用长L＝0.5m的轻细线拴一个质量为m＝1kg的小球，让它在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动，当小球转到最高点A时，人突然撒手．经t＝0.8s小球落地，落地点B与A点的水平距离x＝6.4m，不计空气阻力，g＝10m/s2．求： （1）小球到达B点的速度大小． （2）人撒手前小球运动到A点时，绳对球的拉力F大小． 六．杆球类模型及其临界条件（共6小题） 26．如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN﹣v2图象如图乙所示．下列说法正确的是（　　） A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为 C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 27．（多选）一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．t1时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点 B．t2时刻小球通过最高点，t3时刻小球通过最低点 C．v1大小一定小于 v2大小，图乙中 S1和 S2的面积一定相等 D．v1大小可能等于 v2大小，图乙中 S1和 S2的面积可能不等 28．绳子的弹力只能沿绳子指向绳收缩的方向，而杆子的弹力可指向任何方向。如图所示，质量为m＝0.2kg的小球固定在长为L＝0.9m的轻杆一端，杆可绕O点的水平转轴在竖直平面内转动。g＝10m/s2，求： （1）当小球在最高点的速度为多大时，杆对球的作用力为零？ （2）当小球在最高点的速度分别为6m/s，杆对球的作用力的大小与方向？ 29．质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动．（g＝10m/s2）求： （1）求当小球在最高点的速度为6m/s时，角速度多大？ （2）当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？ 30．如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A，B球质量分别为2m、m，整个装置在竖直平面内绕O轴做圆周运动，不计摩擦和空气阻力，当A球达到最高点时，球A与杆之间恰好无相互作用，已知重力加速度为g，求： （1）求此时杆对B球的作用力的大小和方向； （2）求当B球转到最高点时，B球的速度是多少，以及此时杆所受O轴力大小和方向？ 31．如图所示，质量M＝2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1kg的小球通过长L＝0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0＝4m/s，g取10m/s2。 （1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。 （2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。 （3）在满足 （2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。 七．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共5小题） 32．某传送带装置在竖直平面内的横截面如图所示，ab段水平，bcd段为圆周。传送带在电机的带动下以恒定速率v＝4m/s运动，在传送带的左端点a无初速地投放质量m＝1kg的小物块（可视为质点），当第一个物块A到达b点时即刻在a点投放另一相同的物块B。物块到达b点时都恰好与传送带等速，此后能确保物块与传送带相对静止地通过bcd段。物块到达最高点d时与传送带间的弹力大小恰等于其重力。在d端点的左方另有一平直轨道ef，轨道上静止停放着质量M＝1kg的木板，从d点出来的物块恰能水平进入木板上表面的最右端，木板足够长。已知：物块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.8，与木板间的动摩擦因数μ2＝0.2；木板与轨道间的动摩擦因数μ3＝0.1；设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2。试求： （1）每个物块在传送带abcd上运行的时间； （2）木板运动的总时间。 33．如图所示，为一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L＝0.2m，动摩擦因数μ＝0.6，BC、DEN段均可视为光滑，且BC的始、末端均水平，具有h＝0.1m的高度差，DEN是半径为r＝0.4m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过。在左端竖直墙上固定一轻质弹簧，现有一可视为质点的小球，小球质量m＝0.2kg，压缩轻质弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿DEN轨道滑下。求： （1）小球刚好能通过D点时速度的大小； （2）小球到达N点时速度的大小及受到轨道的支持力的大小； （3）压缩的弹簧所具有的弹性势能。 34．某同学设计的某款游戏装置由轨道ABCD和圆弧轨道EF两部分构成。如图所示，该装置竖直放置在高H＝0.62m的水平台面上；装置中轨道ABCD的动摩擦因数均为μ＝0.5，其余轨道摩擦不计。AB、CD为水平面，BC为斜面，AB与BC、BC与CD间均由长度不计的圆弧连接，C点上方有一圆弧形弹性小挡板K，挡板末端水平。E点在D点的正上方，DE间距不计。B点到E点的竖直高度h＝0.08m，ABCD的水平长度为L＝0.12m；在水平轨道AB的左侧放有一弹射装置。将一可视为质点，质量m＝1kg的物体紧贴弹簧由静止释放弹出，当弹簧的压缩量为d时，物体由E点进入半径R＝0.2m的圆弧轨道EF运动，物体在此轨道最高点恰好不受任何挤压。忽略小物体在各轨道交接处因碰撞带来的机械能的损失。 （1）当弹簧的压缩量为d时，求小物体在圆弧轨道中运动时的最小速度及此情况下弹射装置弹簧的初始弹性势能； （2）当弹簧的压缩量为1.5d时，求物体在运动至F点处对圆形轨道的压力； （3）当弹簧的压缩量为d时，在D点放置与小物块等质量的小球，小物块经过D点时与小小球发生弹性碰撞，碰后小球经轨道EF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞（三棱柱G的位置上下可调），碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值xmax。 35．如图，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动．一长L为0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1为0.2kg的球．当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当球m1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2为0.8kg的小铁球正碰，碰后m1小球以2m/s的速度弹回，m2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D．g＝10m/s2，求： （1）m2在圆形轨道最低点C的速度为多大？ （2）光滑圆形轨道半径R应为多大？ 36．如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一个小球在A点正上方由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并恰能到达B点，求： （1）释放点距A点的竖直高度； （2）小球落到斜面上C点时的速度大小． 八．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共4小题） 37．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块（可视为质点）质量m＝0.01kg，轨道BCD的半径R＝0.8m，管道DEF的半径r＝0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l＝2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm＝0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。 （1）若弹簧的弹性势能Ep0＝0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小； （2）若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值； （3）若弹簧以最大弹性势能弹出，请判断游戏过程中滑块会脱离轨道吗？若不会，请求出滑块最终静止位置。 38．如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2m。下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内。有一质量为0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，求： （1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求落地点与D点的水平距离； （2）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求小球过圆弧A点时对轨道的压力； （3）如果在D点右侧平滑连接一半径R＝0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围（计算结果可以用根式表示）。 39．如图，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABEC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点，轨道上的E点与A点在同一水平线上，将一质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力． （1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球在C点的出射速度是多少？ （2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度H应是多少？ （3）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，求此时小球在通过E点时对轨道的压力． 40．有三个半圆形的光滑滑槽C1、C2、C3，和一个半圆形的光滑圆管C4，在竖直平面内连接成如图所示轨道，它们的半径分别为4R、R、R和2R，C4内径远小于R．有一个比C4内径略小的、质量为m的小球，以一定速度竖直向下从A点出发，沿C1、C2、C3的凹面运动，然后进入C4管内，最后又回到A点．已知重力加速度为g．求： （1）小球在A点出发时速度vA至少多大？ （2）若在A点出发时速度v′A，小球运动到何处，轨道对小球的弹力最大？最大值是多大？ 九．拱桥和凹桥类模型分析（共4小题） 41．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态 B．乙所示是圆锥摆，减小θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度变大 C．如图丙，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度大小不同，但所受筒壁的支持力大小相等 D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用 42．如图一辆质量为500kg的汽车通过一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部．（取g＝10m/s2） （1）如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？ （2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？ 43．有一辆质量为m＝1.8×103kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，取g＝10m/s2． （1）当汽车到达桥顶的速度v1＝10m/s时，对桥的压力是多大？ （2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好对桥没有压力？ 44．一辆运货的汽车总质量为3.0×103Kg，这辆汽车以10m/s的速率通过凸圆弧形桥，桥的圆弧半径为50m，求： （1）则汽车通过桥顶部时，桥面受到汽车的压力大小为多大？ （2）如果这辆汽车通过凸形桥顶部时速度达多大时，汽车恰好对桥面无压力． （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大．（重力加速度g＝10m/s2，地球半径R＝6.4×103 km） 十．圆周运动与平抛运动相结合的问题（共5小题） 45．（多选）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心，R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管、其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中，依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若h1＝h2，则v1：v2＝R2：R1 B．若v1＝v2，则h1：h2＝R12：R22 C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同 D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2 46．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞行水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。试求： （1）球落地时的速度大小v2； （2）绳子能够承受的最大拉力为多大； （3）如果不改变手离地面的高度，改变绳子的长度，使小球重复上述的运动。若绳子仍然在小球运动到最低点时断掉，要使小球抛出的水平距离最大，则绳子长度l应为多少，小球的最大水平距离x为多少？ 47．图示为《男生女生向前冲》娱乐节目现场的滑道示意图，其中AB为直滑道，水面上漂浮一半径为R、角速度为ω、铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L．小强同学（可视为质点）从高为H的平台边缘抓住竖直杆，在电动机的带动下从A点沿水平方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，运动中杆始终竖直，已知小强的质量为m，与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g． （1）假设小强落到转盘上时相对转盘的速度瞬间减为零，为保证小明落在转盘的任何位置都不会被甩下，转盘的角速度ω应该满足什么条件？ （2）若小强能落在转盘上，则小强应在距A点多远的C点松开竖直杆？ 48．学校举行遥控赛车（可视为质点）比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，赛车以额定功率P＝2.0w沿水平直线轨道运动，过B点进入半径为R＝0.4m的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续沿光滑平直轨道运动，然后冲上光滑斜坡，最后从C点水平飞出落到水平轨道的D点。已知赛车质量m＝0.1kg，已知赛车在AB段运动中所受阻力f恒为0.2N．（取g＝10m/s2） 求：（1）如果水平直线轨道AB足够长，求赛车运动过程中的最大速度Vm； （2）如果水平直线轨道AB长L＝10m，要让赛车从竖直圆轨道E点通过，赛车从A点开始至少需工作多长时间； （3）如果赛车以最大速度冲过B点，绕过竖直圆轨道后到达C点，C点高度可调，那么赛车落地点D离飞出点C的最大水平位移多大？ 49．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳恰好断掉，球飞行水平距离d后落地．如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力，绳能承受的最大拉力为定值． （1）求绳断开时小球的速度； （2）求绳能承受的最大拉力多大； （3）若手的位置始终不变，改变绳长使手与球间的绳长变为，要使绳仍在球运动到最低点时恰好断掉，求小球飞行的水平距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$