生活中的圆周运动：水平转盘上的物体、转弯问题、圆锥摆问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

生活中的圆周运动：水平转盘上的物体、转弯问题、圆锥摆问题专项训练 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体、转弯问题、圆锥摆问题专项训练 考点目录 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 生活中的圆周运动：转弯问题 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 考点一 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 解题思路点拨：确定圆周运动圆心与半径，由静摩擦力提供向心力；分析临界状态，结合最大静摩擦求角速度、半径的取值范围。 例1．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是1rad/s，小物体与水平面动摩擦因数为0.4，盘面上距圆盘中心1m边缘的位置有一个质量为0.10kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。 (1)求当角速度为多大时，小物体滑离盘面； (2)若圆盘距地面高度为5m，求滑块落地时速度大小。 【答案】(1)2rad/s (2) 【详解】（1）小物体刚好滑离盘面，则有最大静摩擦力刚好提供向心力 解得 （2）物块之后做平抛运动，竖直方向有 圆盘距地面高度为5m，小物块落地时间 滑块落地时竖直速度大小 落地时速度大小 例2．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间动摩擦因数为，桌面上表面距地面高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (2)当圆盘转动的角速度为，绳子恰好断裂，求物体A落到地面时距O点的水平距离。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由得 可知 可判断随着圆盘角速度的增大，物体A先达到最大静摩擦力，设当角速度为时，物体A刚好达到最大静摩擦力，则： 则： 因为，则物体A受到的摩擦力达到最大值，且绳子有拉力，则：， 解得： A受到的摩擦力达到最大值： （2）两物体都将相对转盘滑动时，对A有 对B有 解得： 故当圆盘转动的角速度为时，两物体都相对于圆盘静止，物体A的线速度： 绳断后，物体A滑至桌面，在桌面上做匀减速运动，则： ，， 解得： 物体A离开桌面后做平抛运动，则：， 解得： 物体A落到地面时距O点的水平距离为： 代入数据解得： 例3．（25-26高一下·云南楚雄·期中）如图所示，旋转餐桌上餐盘及盘中水果的总质量为2kg，餐盘与转盘间的动摩擦因数为0.4，距中心转轴的距离为0.5m。若轻转转盘使餐盘随转盘以1rad/s的角速度匀速转动，转动过程中餐盘和转盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 (1)求餐盘的线速度大小； (2)求餐盘与转盘间的摩擦力大小； (3)为防止转动过程中餐盘滑离转盘，旋转转盘时的角速度不能超过多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由 得 （2）餐盘与转盘之间的静摩擦力提供向心力，则有 又餐盘的向心加速度为 联立解得 （3）角速度为最大值时，餐盘与转盘间的静摩擦力达到最大值，此时有 解得 变式1．（25-26高一下·天津南开·月考）如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=56N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.40，开始时弹簧未发生形变，长度l0=25cm，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求： (1)圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动； (2)当圆盘角速度缓慢地增加到6.0rad/s时，弹簧的长度是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆盘的角速度为时，物块A将开始滑动，此时物块的最大静摩擦力提供向心力，则有 解得 （2）设此时弹簧的长度为，物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力，则有 代入数据解得 变式2．（25-26高一下·湖北黄冈·期中）如图所示，水平杆可以绕竖直轴匀速转动，在离杆的端处套着一个质量为的小环，已知环与杆之间的最大静摩擦力等于小环重力的倍。（取） (1)当杆以的转速匀速转动时，小环受到的摩擦力多大？ (2)当杆以的转速匀速转动时，小环最远可以放到什么位置上而不至于滑动？ 【答案】(1)0.24N (2)0.16m 【详解】（1）小环随杆做匀速圆周运动，向心力由环与杆间的静摩擦力提供，已知最大静摩擦力 此时小环转动半径 ，所需向心力为 由于 ，小环不会滑动，静摩擦力提供向心力，因此摩擦力大小为 。 （2）小环刚好不滑动时，最大静摩擦力提供向心力，设最大转动半径为，则 解得， 即小环最远放到离B点处不滑动。 变式3．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）如图，半径为的水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有质量均为的小物体、。、到转盘中心的距离分别为、，、间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知与圆盘间的动摩擦因数为，与圆盘间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，、均可视为质点，现让圆盘从静止开始逐渐缓慢加速，不计空气阻力。 (1)求细线上开始产生拉力时，圆盘角速度； (2)圆盘角速度时，求与水平圆盘之间的摩擦力大小； (3)圆盘角速度时，剪断绳子，同时让转盘立即停止转动，若圆盘距离水平地面高为，求物体落地点距转盘停止时所在位置的水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当A刚要产生滑动时，则 解得 同理，当B刚要产生滑动时，则 解得 由于A、B角速度相等，故求细线上开始产生拉力时，圆盘角速度为 （2）圆盘角速度时，A所需的向心力为 B所需的向心力为 由于B所需向心力更大，因此B受到的摩擦力方向沿B指向圆心，故绳子的拉力为 对A有 故与水平圆盘之间的摩擦力大小 （3）剪断绳子，同时让转盘立即停止转动，B沿转盘边缘飞出，A在盘上减速运动到盘边缘后飞出，如下图    根据平抛运动规律可得A、B下落的时间都为 转盘停止时A的速度为 根据几何知识可得转盘停止后A在转盘上匀减速运动的距离为 A做匀减速运动的加速度大小为 设A飞出时速度为，则 解得 故A沿速度方向运动的水平距离为 故A落地点距转盘停止时A所在位置的水平距离为 考点二 生活中的圆周运动：转弯问题 解题思路点拨：水平面转弯由静摩擦力、倾斜路面由重力与支持力的合力提供向心力；受力正交分解，列向心力方程，求解安全速度与倾角关系。 例1．（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100m，汽车的质量m=2000kg，重力加速度g=10m/s2。 (1)当汽车以v1=15m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？ (2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数µ=0.9，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？ 【答案】(1)4500N (2) 【详解】（1）当汽车以的速率行驶时，其所需的向心力为 （2）汽车转弯速度达到最大时，最大静摩擦力提供向心力，则有 解得 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）如图所示，场地自行车比赛的赛道路面（如图所示）与水平面间有一定的夹角θ，不考虑空气阻力，。若一运动员（自行车和运动员的质量之和为100kg）在该赛道上一水平半径为30m的圆周内训练，则 (1)当他以12m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车和运动员整体的向心力为多大？ (2)当他以15m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间刚好没有侧向运动趋势，此赛道路面与水平面的夹角θ的正切值为多大； (3)当他以20m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间的静摩擦力为多大（结果保留整数）。 【答案】(1)480N (2) (3) 【详解】（1）根据向心力公式有 代入数据解得F=480N （2）对运动员和自行车整体，受力如图所示 在竖直方向上，根据受力平衡有 在水平方向上，根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）当以20m/s的速度做匀速圆周运动时，对整体受力如图所示 在竖直方向上，根据受力平衡有 在水平方向上，根据牛顿第二定律有 联立解得 变式1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）当驾车过弯道时，为防止侧滑，行驶速度不能过大。图1为一弯道路段，其俯视图如图2所示，其中一中心线位于同一水平面内的圆弧形车道，半径r。一汽车沿该车道中心线做匀速圆周运动，已知汽车轮胎与路面间的最大静摩擦力等于压力的k倍。（计算时汽车可视为质点，且在该路段行驶过程阻力不计，结果可用根式表示） (1)若此弯道的路面设计成水平，求该汽车不发生侧滑的最大速度v1： (2)若此弯道的路面设计成倾斜（外高内低），路基截面可简化为图3，路面与水平面夹角，已知： ①为使汽车转弯时与路面间恰好无摩擦，求它行驶的速度大小v2； ②假如k =0.6，r=99米，当汽车的速度为v3=15m/s时，汽车有没有受到侧向摩擦力作用？方向如何？ 【答案】(1) (2)①    ②汽车受到沿斜面向下的摩擦力 【详解】（1）摩擦力提供向心力 解得 （2）①如图所示 重力与支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得 ②若没有摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 代入数据解得 所以汽车受到沿斜面向下的摩擦力。 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）在2025年全国场地自行车锦标赛中，浙江队以46秒661的成绩收获青年男子团体竞速赛冠军。某场地自行车比赛圆形赛道的路面与水平面的夹角为，不考虑空气阻力，并将运动员与自行车视作质点处理。运动员A与自行车的总质量为m，圆周运动的轨道半径为R，自行车与赛道的最大摩擦力为两者间弹力的k倍，重力加速度为g。 (1)某时刻运动员A骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，且恰好不受摩擦力作用，则： ①赛道对自行车的作用力多大？ ②自行车的速度多大？ (2)为保持领先位置，领先的运动员A需要在原轨道上不停改变速度大小以打乱后方运动员的节奏。在不改变其运动轨道的前提下，求A速度的最大值。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）① 竖直方向受力平衡，设赛道对自行车的支持力（即作用力，无摩擦力）为： 解得： ②水平方向合力提供向心力： 代入 整理得： （2）速度越大需要的向心力越大，最大速度时自行车有沿斜面上滑趋势，摩擦力沿斜面向下，且达到最大静摩擦力 对其受力分析：竖直方向合力为0： 整理得： 水平方向合力提供向心力： 代入和的表达式，整理得最大速度： 变式3．（24-25高一下·广东惠州·期末）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量的汽车在水平公路的弯道上行驶，速度大小，其轨迹可视为半径的圆弧。若汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。 (1)求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F； (2)求汽车转弯时不发生侧滑所允许的最大速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）汽车转弯时需要向心力，由向心力公式 代入数据得 （2）汽车不侧滑时，最大静摩擦力提供向心力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力 由向心力公式 联立得 整理得 代入数据得 考点三 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 解题思路点拨：对摆球受力分析，重力和拉力的合力充当向心力；分解拉力，结合摆长、摆角确定圆周半径，列式求线速度、周期与角速度。 例1．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）如图，用一根长的细线，一端系一质量的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，O点距地面高度。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（，，）求： (1)小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力及圆锥体的弹力大小； (2)小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度多大时，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； (3)若细线与竖直方向的夹角为，则小球的角速度为多大； 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球静止时，受力平衡，设小球所受细绳的拉力为，圆锥体的弹力大小为，根据正交分解，在竖直方向上有 在水平方向上有 代入数据解得， （2）当小球与圆锥体间恰好无弹力时，小球仍在圆锥体的表面上，但仅受重力和拉力，设加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 （3）小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，若细线与竖直方向的夹角为，且有，说明此时小球离开圆锥表面，仅由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 例2．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）下图为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图所示模型，已知绳长，水平横梁，小孩和座椅的总质量，整个装置可绕竖直轴转动，绳与竖直方向夹角，小孩和座椅可视为质点，取，已知，，求： (1)绳子的拉力为多少？ (2)该装置转动的角速度多大？ (3)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为，求此时小孩的线速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小孩受力分析如图所示 由于竖直方向受力平衡，有 代入数据得 （2）小孩做圆周运动的半径 由牛顿第二定律 代入数据解得 （3）此时半径为 由牛顿第二定律 解得 例3．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示，质量的小球用细绳悬挂于点，在水平面内做匀速圆周运动。取，忽略空气阻力。 (1)若悬点到轨迹圆心的竖直距离，求小球做匀速圆周运动的角速度； (2)若更换为绳长的细绳，使小球仍然在水平面内以相同的角速度做匀速圆周运动，求此时细绳与竖直方向的夹角。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设细绳与竖直方向夹角为α，竖直方向有 水平方向有 联立可得 运动半径为 解得小球做匀速圆周运动的角速度 （2）更换为绳长的细绳，根据牛顿第二定律有 运动半径为 解得 变式1．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，长度的光滑轻质细杆一端固定在竖直转轴上的O点处，细杆与竖直转轴的夹角始终为且可随竖直轴一起转动。细杆上套有一劲度系数轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上、质量的圆环（视为质点）相连。细杆未转动时圆环静止在距离O点处。细杆缓慢加速转动时，弹簧的长度逐渐增大。当细杆转动的角速度为（未知）时弹簧处于原长状态。弹簧始终处于弹性限度内，取重力加速度大小，，。求： (1)弹簧的原长； (2)弹簧处于原长时细杆转动的角速度； (3)圆环处于细杆顶端时的线速度大小v。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）细杆未转动时，圆环静止，沿细杆方向受力平衡，弹簧压缩量为 弹簧弹力平衡重力沿杆的分力，由胡克定律，得 联立解得 （2）弹簧原长时弹力为0，圆环做匀速圆周运动，圆周半径 由圆环重力和细杆对圆环的支持力的合力提供向心力，有 联立解得 （3）圆环处于细杆顶端时，由胡克定律，得弹簧上的弹力大小 对圆环受力分析，设细杆对圆环的支持力为，竖直方向上受力平衡，有 水平方向上，由牛顿第二定律，得 其中 联立解得 变式2．（25-26高一下·山西吕梁·期中）如图所示，水平放置的正方形光滑木板，边长为，距地面的高度为，木板正中间有一个光滑的小孔。一根长为的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球，两小球在同一竖直平面内。小球以角速度在木板上绕点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，点正好是细线的中点，已知，小球质量均为，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)细线对小球B的拉力大小； (2)小球B的角速度以及悬挂B球的细线与竖直方向的夹角的余弦值； (3)当小球A、B的速度方向均平行于木板边时，剪断细线，小球A经多长时间离开木板?小球B的落地点到cd边在地面上的投影的距离? 【答案】(1)12.5N (2)， (3)0.4s，1.4m 【详解】（1）A的圆周运动半径为   设绳子拉力为T，则对A绳子拉力提供向心力：   代入数据得细线对小球B的拉力大小为 （2）设悬挂B球的细线与竖直方向的夹角为，对B由牛顿第二定律得：    又 解得， （3）当剪断细线后，A先匀速运动L，后做平抛运动；B做平抛运动，A做圆周运动的线速度为 A先匀速运动L的时间为     B做圆周运动的线速度为    半径为   做平拋运动过程中B的水平位移为   则B小球的落地点到边cd在地面上的投影之间的距离 变式3．（25-26高一下·天津静海·期中）暑假里，某同学去游乐场游玩，坐了一次名叫“旋转秋千”的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。该同学和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为，该同学与座椅的总质量m=50kg，转盘的半径为，绳长，重力加速度取。 (1)求座椅受到绳子的拉力T的大小； (2)求该同学运动的角速度的大小； (3)开放题：若转盘离地面的高度为，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸到地面上的行人，地面上至少要设置多大面积的区域不能通行？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对该同学和座椅，竖直方向有 解得 （2）水平方向上，根据牛顿第二定律有 其中 联立解得 （3）物品掉落瞬间的速度 物品掉落后做平抛运动，竖直方向有 解得物品掉落后做平抛运动的时间 则平抛运动的水平位移为 由题意可得，设置禁止通行区域的半径 则设置禁止通行区域的面积 2 学科网（北京）股份有限公司 $生活中的圆周运动：水平转盘上的物体、转弯问题、圆锥摆问题专项训练 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体、转弯问题、圆锥摆问题专项训练 考点目录 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 生活中的圆周运动：转弯问题 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 考点一 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 解题思路点拨：确定圆周运动圆心与半径，由静摩擦力提供向心力；分析临界状态，结合最大静摩擦求角速度、半径的取值范围。 例1．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是1rad/s，小物体与水平面动摩擦因数为0.4，盘面上距圆盘中心1m边缘的位置有一个质量为0.10kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。 (1)求当角速度为多大时，小物体滑离盘面； (2)若圆盘距地面高度为5m，求滑块落地时速度大小。 例2．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间动摩擦因数为，桌面上表面距地面高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (2)当圆盘转动的角速度为，绳子恰好断裂，求物体A落到地面时距O点的水平距离。 例3．（25-26高一下·云南楚雄·期中）如图所示，旋转餐桌上餐盘及盘中水果的总质量为2kg，餐盘与转盘间的动摩擦因数为0.4，距中心转轴的距离为0.5m。若轻转转盘使餐盘随转盘以1rad/s的角速度匀速转动，转动过程中餐盘和转盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 (1)求餐盘的线速度大小； (2)求餐盘与转盘间的摩擦力大小； (3)为防止转动过程中餐盘滑离转盘，旋转转盘时的角速度不能超过多大？ 变式1．（25-26高一下·天津南开·月考）如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=56N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.40，开始时弹簧未发生形变，长度l0=25cm，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求： (1)圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动； (2)当圆盘角速度缓慢地增加到6.0rad/s时，弹簧的长度是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘） 变式2．（25-26高一下·湖北黄冈·期中）如图所示，水平杆可以绕竖直轴匀速转动，在离杆的端处套着一个质量为的小环，已知环与杆之间的最大静摩擦力等于小环重力的倍。（取） (1)当杆以的转速匀速转动时，小环受到的摩擦力多大？ (2)当杆以的转速匀速转动时，小环最远可以放到什么位置上而不至于滑动？ 变式3．（25-26高一下·四川攀枝花·月考）如图，半径为的水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有质量均为的小物体、。、到转盘中心的距离分别为、，、间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知与圆盘间的动摩擦因数为，与圆盘间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，、均可视为质点，现让圆盘从静止开始逐渐缓慢加速，不计空气阻力。 (1)求细线上开始产生拉力时，圆盘角速度； (2)圆盘角速度时，求与水平圆盘之间的摩擦力大小； (3)圆盘角速度时，剪断绳子，同时让转盘立即停止转动，若圆盘距离水平地面高为，求物体落地点距转盘停止时所在位置的水平距离。 考点二 生活中的圆周运动：转弯问题 解题思路点拨：水平面转弯由静摩擦力、倾斜路面由重力与支持力的合力提供向心力；受力正交分解，列向心力方程，求解安全速度与倾角关系。 例1．（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100m，汽车的质量m=2000kg，重力加速度g=10m/s2。 (1)当汽车以v1=15m/s的速率行驶时，其所需的向心力为多大？ (2)若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数µ=0.9，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？ 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）如图所示，场地自行车比赛的赛道路面（如图所示）与水平面间有一定的夹角θ，不考虑空气阻力，。若一运动员（自行车和运动员的质量之和为100kg）在该赛道上一水平半径为30m的圆周内训练，则 (1)当他以12m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车和运动员整体的向心力为多大？ (2)当他以15m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间刚好没有侧向运动趋势，此赛道路面与水平面的夹角θ的正切值为多大； (3)当他以20m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间的静摩擦力为多大（结果保留整数）。 变式1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）当驾车过弯道时，为防止侧滑，行驶速度不能过大。图1为一弯道路段，其俯视图如图2所示，其中一中心线位于同一水平面内的圆弧形车道，半径r。一汽车沿该车道中心线做匀速圆周运动，已知汽车轮胎与路面间的最大静摩擦力等于压力的k倍。（计算时汽车可视为质点，且在该路段行驶过程阻力不计，结果可用根式表示） (1)若此弯道的路面设计成水平，求该汽车不发生侧滑的最大速度v1： (2)若此弯道的路面设计成倾斜（外高内低），路基截面可简化为图3，路面与水平面夹角，已知： ①为使汽车转弯时与路面间恰好无摩擦，求它行驶的速度大小v2； ②假如k =0.6，r=99米，当汽车的速度为v3=15m/s时，汽车有没有受到侧向摩擦力作用？方向如何？ 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）在2025年全国场地自行车锦标赛中，浙江队以46秒661的成绩收获青年男子团体竞速赛冠军。某场地自行车比赛圆形赛道的路面与水平面的夹角为，不考虑空气阻力，并将运动员与自行车视作质点处理。运动员A与自行车的总质量为m，圆周运动的轨道半径为R，自行车与赛道的最大摩擦力为两者间弹力的k倍，重力加速度为g。 (1)某时刻运动员A骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，且恰好不受摩擦力作用，则： ①赛道对自行车的作用力多大？ ②自行车的速度多大？ (2)为保持领先位置，领先的运动员A需要在原轨道上不停改变速度大小以打乱后方运动员的节奏。在不改变其运动轨道的前提下，求A速度的最大值。 变式3．（24-25高一下·广东惠州·期末）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量的汽车在水平公路的弯道上行驶，速度大小，其轨迹可视为半径的圆弧。若汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。 (1)求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F； (2)求汽车转弯时不发生侧滑所允许的最大速度。 考点三 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 解题思路点拨：对摆球受力分析，重力和拉力的合力充当向心力；分解拉力，结合摆长、摆角确定圆周半径，列式求线速度、周期与角速度。 例1．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）如图，用一根长的细线，一端系一质量的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，O点距地面高度。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（，，）求： (1)小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力及圆锥体的弹力大小； (2)小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度多大时，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； (3)若细线与竖直方向的夹角为，则小球的角速度为多大； 例2．（25-26高一下·广东中山·阶段检测）下图为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图所示模型，已知绳长，水平横梁，小孩和座椅的总质量，整个装置可绕竖直轴转动，绳与竖直方向夹角，小孩和座椅可视为质点，取，已知，，求： (1)绳子的拉力为多少？ (2)该装置转动的角速度多大？ (3)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为，求此时小孩的线速度大小。 例3．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图所示，质量的小球用细绳悬挂于点，在水平面内做匀速圆周运动。取，忽略空气阻力。 (1)若悬点到轨迹圆心的竖直距离，求小球做匀速圆周运动的角速度； (2)若更换为绳长的细绳，使小球仍然在水平面内以相同的角速度做匀速圆周运动，求此时细绳与竖直方向的夹角。 变式1．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，长度的光滑轻质细杆一端固定在竖直转轴上的O点处，细杆与竖直转轴的夹角始终为且可随竖直轴一起转动。细杆上套有一劲度系数轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上、质量的圆环（视为质点）相连。细杆未转动时圆环静止在距离O点处。细杆缓慢加速转动时，弹簧的长度逐渐增大。当细杆转动的角速度为（未知）时弹簧处于原长状态。弹簧始终处于弹性限度内，取重力加速度大小，，。求： (1)弹簧的原长； (2)弹簧处于原长时细杆转动的角速度； (3)圆环处于细杆顶端时的线速度大小v。 变式2．（25-26高一下·山西吕梁·期中）如图所示，水平放置的正方形光滑木板，边长为，距地面的高度为，木板正中间有一个光滑的小孔。一根长为的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球，两小球在同一竖直平面内。小球以角速度在木板上绕点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，点正好是细线的中点，已知，小球质量均为，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)细线对小球B的拉力大小； (2)小球B的角速度以及悬挂B球的细线与竖直方向的夹角的余弦值； (3)当小球A、B的速度方向均平行于木板边时，剪断细线，小球A经多长时间离开木板?小球B的落地点到cd边在地面上的投影的距离? 变式3．（25-26高一下·天津静海·期中）暑假里，某同学去游乐场游玩，坐了一次名叫“旋转秋千”的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。该同学和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为，该同学与座椅的总质量m=50kg，转盘的半径为，绳长，重力加速度取。 (1)求座椅受到绳子的拉力T的大小； (2)求该同学运动的角速度的大小； (3)开放题：若转盘离地面的高度为，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸到地面上的行人，地面上至少要设置多大面积的区域不能通行？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $