精品解析：河北省沧州市六校联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二12月月考数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程求，再求其准线方程. 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2. 已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ） A. B. 3 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出，进而求出的坐标及模. 【详解】向量，，线段AB的中点为D，则, 而，于是， 所以. 故选：B 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得到其圆心与半径，再利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 又点到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长等于. 故选：A. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故选：A. 5. 已知，为双曲线E：（，）的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A，B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何关系得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】依题意，，根据对称性可知，从而， 不妨设A在第一象限，其中一条渐近线方程为，令得， 则，故，故， 可得渐近线方程为． 故选：B 6. 已知圆M：，圆N：，则下列不是圆M与圆N的公切线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线.    两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，C错误； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D正确. 故选：C. 7. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A,B，点O是坐标原点，若，则的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线焦点，利用抛物线定义求出点的坐标，直线方程，进而求出点的纵坐标，再求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点，准线，过作，垂足为， 则由抛物线的定义得，设， 则，解得，由抛物线对称性，不妨令点在轴上方，则， 点，，则直线的方程为，即， 由消去得，则， 所以的面积为. 故选：D. 8. 已知椭圆：（）和双曲线：（，）有共同的焦点，，P是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义和双曲线的定义结合余弦定理得，化简后两边同除以，得，再由可求出. 【详解】设的离心率为，焦距为， 因为，又P是它们在第一象限的交点， 所以， 由余弦定理，得, 即， 化简得，两边同除以，得， 又，所以，解得或， 又，所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则共面 C. 若，则与共线 D. 若，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，由共面向量定理判，对于C，根据数量积的定义判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，若，结论不一定成立，故A错误； 对于B，由三向量共面的充要条件知B正确； 对于C，若且为非零向量，则，所以或，所以与共线，若中有零向量，则与也共线，故C正确； 对于D，若都与垂直，不一定成立，故D错误. 故选：BC. 10. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义与性质，逐步验证各选项正误即可. 【详解】由椭圆方程可知，，则， 由椭圆定义得的周长是，故A正确； 设，面积的为， 则面积的最大值为，故B正确； 可知，当位于椭圆短轴一个端点时，最大，此时， 又，则为正三角形，， 即不存在点P，使，故C错误； 可知，当位于椭圆右顶点时，最大值为， 当位于椭圆左顶点时，最小值为， 即的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知F为抛物线C：（）的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点D，若，则（ ） A. B. C. l与x轴所成的锐角为 D. l与x轴所成的锐角为 【答案】AC 【解析】 【分析】过作准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义结合平面几何知识求出答案. 【详解】过作准线的垂线，垂足分别是，则，， 因为，所以， 由，可得，即，故A正确，B错误； 设直线的倾斜角为，则， ，， 所以，又，则， 即直线与轴所成的锐角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】提取，通过方程组即可得定点坐标. 【详解】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为， 故答案为：. 13. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 14. 已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结椭圆方程即可得解. 【详解】设， 因为与是圆的切线， 所以切线的方程为，切线的方程为， 因为点在切线上，所以，， 所以直线的方程为， 所以，则， 因为点在椭圆上，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）若，求a的值； （2）若，求两直线，间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果. （2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为：，：且，所以，解得. 【小问2详解】 因为：，：，且，所以且，解得， 所以：，：，即：，：， 所以直线，间的距离为. 16. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为. （1）求该双曲线的方程； （2）设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求（O为坐标原点）的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为，列出方程组，即可求解； （2）设，，根据得点的坐标代入双曲线的方程，求得，进而利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意得，解得， 故该双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知双曲线的渐近线方程为，设，，其中，， 由得点P的坐标为. 将点P的坐标代入，整理得. 设，因为与渐近线的倾斜角满足，且， 则，，，从而. 又∵，. ∴. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线：上. （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. （2）若点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据点关于线的对称，求解，由几何法求圆心坐标，进而根据两点坐标即可求解直线方程， （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 点关于直线的对称点， 解得，所以， 由于圆过点，，因为圆心在直线：：上， 垂直平分线的方程为，联立与得圆的圆心： 则反射光线必经过点和点，， 由点斜式得为：，：， 【小问2详解】 设点，则，则又 ， 故当时，的最小值为20． 18. 如图，在长方体中，，，点P在棱上，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】如图，以为原点，，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算求解第（1）小问，求出两个半平面的法向量，求其夹角可得第（2）小问. 【小问1详解】 如图，以D为原点，，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，，. 设直线与平面所成角为， 由，平面的一个法向量为， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 依题意，可得，，. 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得； 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆E：（）的离心率为，其左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，四边形的面积为. （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的右焦点F的直线l与椭圆E交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于M，N两点，判断是否为定值？并说明理由. 【答案】（1） （2）为定值， 方法1：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为， 此时可得，，，，所以. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为（），代入整理得 ，易得恒成立. 设，，（，），则，， 由直线的方程可得点， 由直线的方程可得点， 所以，， 所以， 综上，为定值. 方法2：显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，代入整理得 ，易得恒成立， 设，，（，），则，， 由直线的方程可得点， 由直线的方程可得点， 所以，， 所以. 综上，为定值. AI 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程即可求出即可得出椭圆方程； （2）方法1：若直线的斜率不存在，易得，若直线斜率存在，设出方程，与椭圆联立，利用韦达定理建立关系求解即可. 方法2：设直线l的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理求出，设直线的方程，求出，同理求出，由平面向量数量积求出，将代入即可得出答案. 【小问1详解】 设椭圆E的半焦距为c，由题意得， 解得，，所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二12月月考数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ） A. B. 3 C. 8 D. 9 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为双曲线E：（，）的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A，B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆M：，圆N：，则下列不是圆M与圆N的公切线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A,B，点O是坐标原点，若，则的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知椭圆：（）和双曲线：（，）有共同的焦点，，P是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则共面 C. 若，则与共线 D. 若，且，则 10. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 11. 已知F为抛物线C：（）的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点D，若，则（ ） A. B. C. l与x轴所成的锐角为 D. l与x轴所成的锐角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为__________. 13. 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 14. 已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）若，求a的值； （2）若，求两直线，间的距离. 16. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为. （1）求该双曲线的方程； （2）设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求（O为坐标原点）的面积. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线：上. （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. （2）若点在直线上运动，求的最小值. 18. 如图，在长方体中，，，点P在棱上，且. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆E：（）的离心率为，其左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，四边形的面积为. （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E的右焦点F的直线l与椭圆E交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于M，N两点，判断是否为定值？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $