精品解析：上海市嘉定区2024-2025学年九年级上学期期末（一模）数学试题

2024学年第一学期九年级质量调研 数学样卷 （时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个三角形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 有一个内角为的两个直角三角形 C. 两个等腰三角形 D. 有一个内角是的两个等腰三角形 4. 如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果和都是单位向量，那么 C. D. 如果，那么 6. 如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知，那么______． 8. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是______． 9. 将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是______． 10. 已知点、在函数的图像上，如果，那么______．（填“>”、“=”、“<”） 11. 已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线______． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 12. 如图，，、相交于点，如果，那么的值是______． 13. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，连接，如果，，那么______．（用含向量、的式子表示） 14. 在等腰中，，如果，那么的值是______． 15. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 16. 如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯___________m． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 18. 如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为______平方厘米． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为， （1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：①它与轴交点的坐标是；②顶点的坐标为．你选择的条件是 （填写编号），并求、的值． （2）由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点，求的值． 21. 如图，在中，点、分别在边、上，，，且． （1）求线段长； （2）当，时，求的面积． 22. 如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接． （1）求证：； （2）取边中点，连接，求证：． 23. 火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求该抛物线表达式； （2）如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 25. 如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足点，求证：； （3）设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级质量调研 数学样卷 （时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题二次函数图象上的点的特征，根据图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故函数图象不经过点； B、当时，，故函数图象经过点； C、当时，，故函数图象不经过点； D、当时，，故函数图象不经过点； 故选B 3. 下列两个三角形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 有一个内角为的两个直角三角形 C. 两个等腰三角形 D. 有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 4. 如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果和都是单位向量，那么 C. D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质． 由平面向量的基本概念和性质，即可判断． 【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意； B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、如果，那么，正确，故D选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 已知，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据推出，再整体代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴把代入可得：， 故答案为：． 8. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 9. 将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 10. 已知点、在函数的图像上，如果，那么______．（填“>”、“=”、“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据开口向下的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线______． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据抛物线的对称性求对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数值相等， 即：点和关于对称轴对称， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 12. 如图，，、相交于点，如果，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先根据同高三角形的面积之比等于底边长之比得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，连接，如果，，那么______．（用含向量、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，三角形法则求出，证明，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 在等腰中，，如果，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理．过点作，根据，不妨设，，设，勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作，如图，设， ∵， ∴不妨设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 15. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 16. 如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯___________m． 【答案】14 【解析】 【分析】根据坡面的坡度，求出的长度，从而利用平移的知识可得红地毯的长度为，进而得出答案． 【详解】解：∵，坡面的坡度， ∴， ∴红地毯的长度为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出的长度是解答本题的关键，另外要掌握平移性质的运用． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，证明，得到，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵是梯形的“黄金分割线”， ∴，， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为______平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，重心的性质，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的面积，旋转的性质，重心的性质，推出，且相似比为，利用的面积减去三个小三角形的面积求出重叠部分的面积即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， ∵绕点旋转180度， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴重叠部分的面积为：； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算， 先把特殊角的三角函数值代入，然后再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 20. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为， （1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：①它与轴交点的坐标是；②顶点的坐标为．你选择的条件是 （填写编号），并求、的值． （2）由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点，求的值． 【答案】（1）②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）选择②，写出顶点式，再转化为一般式求出、的值即可； （2）求出点的坐标，过点作轴，利用正切的定义，进行求解即可． 小问1详解】 解：当选择条件为①时，只有一个点的坐标无法求出两个参数的值； 故选择②，此时：， ∴； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：当时， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴， 则：， ∴， ∴． 21. 如图，在中，点、分别在边、上，，，且． （1）求线段的长； （2）当，时，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理． 根据：，，可证，根据相似三角形的对应边成比例可得：，从而可求的长度； 过点作，根据直角三角形的性质可求，利用勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，因为，，可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，， ， ， 是线段， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接． （1）求证：； （2）取边的中点，连接，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）先证明，由相似三角形的性质得出，由线段中点的定义得出，等量代换可得出，结合，进而可得出． （2）取边的中点D，连接，先证明，由相似三角形的性质得出，，连接交于点H，连接，利用三角形中位线的判定以及性质，等腰直角三角形的判定得出，再证明，，再由相似三角形的性质进一步证明，最后根据相似三角形的性质即可得出． 【小问1详解】 证明：∵，点E是边的中点，于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 【小问2详解】 解：取边的中点D，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 连接交于点H，连接， ∵点E是中点，点D是的中点， ∴，，，， ， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求长度．（结果精确到个位，，，） 【答案】（1）（2）60 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，过点作直线，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出为等边三角形，在中，求出的长，进而得到的长，即可得出点的横坐标； ②在中，利用锐角三角函数求出的值，进而求出点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴对称轴直线， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∵与抛物线的对称轴交于点， ∴为的中点， 连接，过点作直线， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，且点到抛物线对称轴的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：； ②设点到抛物线对称轴的距离为，则点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， 由①可知：点横坐标为：，则：点的纵坐标为：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：． 25. 如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，求证：； （3）设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）设，则，在结合等腰三角形的性质即可推出结论； （2）过点作于点，过作于点，证明，得出，可推出结论； （3）分两种情况①当时，②当时，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵与相似， ①当时，如图所示 则， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边对等角，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$