2025年北京市中考数学模拟考试试卷（一）

2025年北京市中考数学模拟考试试题（一）（原卷版） 满分100分 考试用时120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第一部分 选择题 1、 单选题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的倍，则的值为(   ) A．或 B．或 C． D． 5．不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 6．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，求作：，使 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角． 根据以上作法，可以判断出的方法是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 8．在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（     ） A． ①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 10．将整式分解因式结果正确的是 ． 11．方程的解为 ． 12．若点在反比例函数图像上，则代数式 ． 13．某工厂加工了一批共360个工件，质检员小字从中随机抽取了12个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：                                 当一个工件的质量x（单位：g）满足：时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估计这一批工件中一等品的个数是 ． 14．如图，的半径与弦互相平分，则的度数为 ． 15．如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 16．有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 2 1 10 根据以上信息，可知： ① ； ②拥有“卡牌组合” 的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型） 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（本题5分）计算：． 18．（本题5分）解不等式组： 19． （本题5分）已知，求代数式的值． 20．（本题6分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 20． （本题6分）据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23．（本题5分）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图： 注“●”表示患者，“▲”表示非患者． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这40名被调查者中， ①指标y低于0.4的有 　　人； ②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则 　　，s12 　　s22（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 　　人； (3)若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 　　人． 24．（本题6分）如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若，求证：CE是的切线． (2)若的半径为，，求AC的长． 25．（本题5分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x(分钟) 0 5 10 15 20 … (克) 25 23.5 20 14.5 7 … (克) 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)． 26．（本题6分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 27．（本题7分）在△ABC中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28．（本题7分）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市中考数学模拟考试试题（一）（解析版） 满分100分 考试用时120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第一部分 选择题 1、 单选题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个 1．（本题2分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2．（本题2分）如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（本题2分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点从左往右依次增大得到a、b的大小关系．本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握利用数轴比较有理数大小． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得． 故选：B 4．（本题2分）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的倍，则的值为(   ) A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法． 5．（本题2分）不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键． 根据概率的求法计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个， ∴摸出一个球是红球的概率是． 故选：Ａ ． 6．（本题2分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 7．（本题2分）如图，已知，求作：，使 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角． 根据以上作法，可以判断出的方法是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】利用作法得到OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF， 则可根据“SSS”判断△OPQ≌△EDF，从而得到∠DEF＝∠AOB． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定． 8．（本题2分）在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，得出，可判定①正确；证明得到从而可得，可判定②正确；当时，可得四边形是菱形，则存在无数个点E，使得四边形为菱形；可判定③正确；若四边形为矩形，可得，从而证明，得到，继而得到，可判定④正确． 【详解】解：∵菱形，点O为对角线 的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； 设与相交于M，如图， 若，则， ∵菱形， ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴， 即，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴存在无数个点E，使得四边形为菱形；故③正确； 若四边形为矩形， ∴， 由①可知， ∴ ∴ ∵ ∴故④正确． 综上，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题菱形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 第2部分 非选择题 二、填空题（共16分） 9．（本题2分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．（本题2分）将整式分解因式结果正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式，进而用平方差公式分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．（本题2分）方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 12．（本题2分）若点在反比例函数图像上，则代数式 ． 【答案】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 13．（本题2分）某工厂加工了一批共360个工件，质检员小字从中随机抽取了12个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：                                 当一个工件的质量x（单位：g）满足：时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估计这一批工件中一等品的个数是 ． 【答案】270 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出12个工件中为一等品的频率，再乘以总数360即可求解． 【详解】解：12个工件中为一等品的有，，，，，，，，，这9个， ∴这360个工件中一等品的个数为个， 故答案为：270． 14．（本题2分）如图，的半径与弦互相平分，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】连接，由的半径与弦互相平分，可知，由余弦定义可知，，根据圆周角定理可求的度数． 【详解】解：连接， ∵的半径与弦互相平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、由三角函数值求特殊角以及圆周角定理，解答关键是利用三角函数值求出特殊角． 15．（本题2分）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16．（本题2分）有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 2 1 10 根据以上信息，可知： ① ； ②拥有“卡牌组合” 的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型） 【答案】 10 【分析】先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可． 【详解】解：∵所有卡牌的数量为． ∴同学人数为，即． ∵B型卡牌和F型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌， ∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张F型卡牌． ∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，D型卡牌有2张， ∴拥有“卡牌组合”的有4人，拥有“卡牌组合”的有3人，拥有“卡牌组合”的有2人，拥有“卡牌组合”的有1人． ∵， ∴拥有“卡牌组合”的人数最少． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（本题5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可． 【详解】解：原式= = =． 18．（本题5分）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 19．（本题5分）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先将分式化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ， 即原式值为3． 20．（本题6分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 21．（本题6分）据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，再利用车速度之间的关系列方程，再解方程即可． 【详解】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则 ， 解得：， ∴， 答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米． 22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． 23．（本题5分）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图： 注“●”表示患者，“▲”表示非患者． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这40名被调查者中， ①指标y低于0.4的有 　　人； ②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则 　　，s12 　　s22（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 　　人； (3)若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 　　人． 【答案】(1)①9；②＜；＞ (2)100 (3)125 【分析】（1）①直接统计指标y低于0．4的有人的个数即可； ②通过观察图表估算出指标x、y的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系． （2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x低于0．3的概率，然后500乘以该概率即可； （3）通过观察统计图确定不在“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：①根据图象，可得指标y低于0．4的有9人． 故答案为：9； ②将20名患者的指标x的平均数记作 ，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则 ，S12＞S22． 故答案为：＜，＞； （2）解：500100（人）． 故答案为：100； （3）解：根据图象，可知“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”的有15人，而患者有20人， 则发生漏判的概率是：1， 发生漏判的有：500125（人）， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图中获取有用信息是解题的关键 24．（本题6分）如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若，求证：CE是的切线． (2)若的半径为，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接OC，可证明OC//DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案． （2）连接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以=，设BC=x，AC=2x，所以AB=x，列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接OC， ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠COB=2∠OAC， ∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC， ∴∠COB=∠ABD， ∴OC//DE， ∵CE⊥DB，∠CED=90°， ∴∠OCE=90°，OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线． （2）连接BC， ∵∠BDC=∠BAC， ∴=， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴， 设BC=x，AC=2x，   ∴AB=， ∵⊙O的半径为， ∴， ∴x=2， ∴AC=2x=4． 【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理． 25．（本题5分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x(分钟) 0 5 10 15 20 … (克) 25 23.5 20 14.5 7 … (克) 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)＞ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，作图如下． ； （2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系. 又点在函数图象上， ∴． 解得：． ∴场景A函数关系式为． 对于场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系 又在函数图象上， ∴． 解得：． ∴场景B函数关系式为． （3）解：由题意，当时， 场景A中， 场景B中，， 解得：， ∴． 26．（本题6分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3） (2)﹣3≤n＜6 【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围． 【详解】（1）解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）解：如图所示： 由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上， ∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6． 【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型． 27．（本题7分）在△ABC中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查等边三角形的判断和性质、平行直线的判定、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质， （1）延长交于点，连接，先证明是等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，进一步证明，得到，最后证得； （2）延长交的延长线于点，连接，先证明，得到，进一步得到，在中，，可得，进一步证得． 【详解】（1）证明：延长交于点，连接，如下图所示， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上． ∴． ∴． ∴． （2）解：依题意补全图，如下图所示，延长交的延长线于点，连接， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴． 在中，，可得． 在中，，可得． ∴． ∵， ∴． 28．（本题7分）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)①；②1 (2) 【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可； （2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为． 【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为， ∵， ∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为， 故答案为：； ②∵，点， ∴它们的中点的坐标为，即， ∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”， ∴点到直线的距离为1， 故答案为：1． （2） ①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且， ∵点D与点E的中点为O， ∴点C与点B重合， ∵， ∴, ∴； ②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图， ∵， ∴点G关于点A的对称点H的坐标为, 将代入，得， ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$