2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（特殊三角形问题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东广州·月考）已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 3．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 4．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；  ②若且，则；③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的结论是(　　) A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．①④ 二、填空题 7．（23-24九年级上·福建厦门·月考）如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，拋物线顶点为．下列结论： ①；②； ③当是等边三角形时，； ④若方程有四个根，则这四个根的和为； 其中，正确结论的序号为 ． 8．（23-24九年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线对称轴上一点，连接、．当是直角三角形时，点坐标为 ． 9．（22-23九年级上·江西上饶·月考）如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．    10．（22-23九年级上·浙江宁波·月考）抛物线的顶点为，且图象经过点，若是面积为16的等腰直角三角形，则 ． 11．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 ． 12．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图点，， 在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为 ． 三、解答题 13．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作 轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上． (1)直接写出随的增大而减小时的取值范围． (2)求抛物线的解析式； (3)若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 15．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)①求线段长度的最大值； ②连接，当为等腰三角形时，求的值． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 17．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 18．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】求出，的坐标，画出图形即可解决问题． 【详解】解：， 所以，抛物线经过点，， ， 点坐标为，，    观察图象可知，满足条件的点有4个， 所以，能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论． 2．B 【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点为， 点坐标为， ． ， ， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 3．C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 5．C 【分析】把解析式化为交点式可得解析式为，则，由抛物线开口向下，得到，据此可判断①②；可求出，，然后作差可得，据此可判断③；当时，，解不等式即可判断④求出，则，， ，再分分别为直角三角形，利用勾股定理建立方程求出的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴抛物线解析式为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线上有两点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 在中，当时，，当时，， ∴， ∵， ∵，， ， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，此时方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，符合条件的a值有2个，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 6．A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 7．①②④ 【分析】根据二次函数图象的性质，等边直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程的关系一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则， ∵抛物线交轴分别于点， ∴对称轴为直线 即 ∴ ， 抛物线交轴正半轴于点，则， ∴，故①正确 又， ∴，即， 故②正确； 如图，设对称轴与轴相交于点， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故③错误； ∵方程有四个根， ∴方程有两个根，有两个根， 设方程有两个根为，有两个根为， ∴，， ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 8．或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，理解题意是关键．先根据对称轴求得a值，进而求得函数关系式和顶点坐标，分和分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则， ∴， 当时，， ∴， 设对称轴与x轴的交点为E，则， 当是直角三角形时，有两种情况： 当时，点P为对称轴与x轴的交点E，则； 当时，如图， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 综上，当是直角三角形时，点P坐标为或， 故答案为：或． 9．或或 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征、直角三角形的判定，解题的关键是理解点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点． 【详解】当时， ，则， 是以为直角边的直角三角形， 点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 点坐标为或或 ， 故答案为：或或． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分情况进行讨论． 设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、，结合等腰直角三角形的性质和抛物线的性质，求出值，然后分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、， ∴长度为 到 的垂直距离为 ， ∵ 是等腰直角三角形（直角顶点为），故根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半得，即 ， ∴， 解得（负值已舍）， 抛物线顶点式为， 当抛物线开口向下时，顶点为最高点，，将代入得， ∴ 解得； 当抛物线开口向上时，顶点为最低点，，将代入得， ∴ 解得； 综上，． 故答案为：． 11．或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，注意分类讨论是解题关键． 先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值，然后由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把，代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 12． 【分析】此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为C、E． ∵、都是等腰直角三角形， ∴，． 设，则，将其代入解析式得： ， 解得：（不符合题意）或， 由勾股定理得：， 即的腰长为， ∴， 过作，设点， 可得，， 又点在抛物线上，所以， ， 解得，（不合题意舍去）， ∴， 即的腰长为， 同理可得： ， … ∴， ∴的腰长为． 故答案为：． 13．(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 14．(1)为任意实数 (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质可得结论； （2）将点代入，确定直线解析式即可求出点坐标，再设抛物线解析式为，将所求的点坐标代入即可求出的值，可得结论； （3）设，根据两点间距离得出、、，然后根据直角三角形的勾股定理得，继而得到关于的方程，求解后可得结论． 【详解】（1）解：∵直线的解析式中， ∴随的增大而减小时的取值范围为：为任意实数； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∵点为抛物线的顶点，且点在该抛物线上， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，两点间距离，勾股定理等知识点，确定函数解析式是解题的关键． 15．(1)， (2)①②或或3． 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）①用s表示P，M坐标，进而求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ②分别求出，再分三种情况讨论，，，，据此列方程求s即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 抛物线的解析式， 设直线的解析式， 把代入得， 解得， 直线的解析式； （2）解：①由题意，， ， ， 当时，取得最大值，的最大值为； ②，， ， 当为等腰三角形时， 若，则，即，解得． 若，则，即，解得或（舍去）． 若，则，即，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或或3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 16．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为； （3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 17．(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 18．(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $