2025年中考数学复习：平行四边形

2025年中考数学复习：平行四边形 一、单选题 1．如图，菱形中，，则（    ）    A．20° B．25° C．30° D．40° 2．如图，将线段AB沿箭头方向平移2 cm得到线段CD，若AB＝3 cm，则四边形ABDC的周长为(   ) A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．20 cm 3．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 4．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　 　) A．2 B．3 C．4 D．6 5．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（  ） A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm 6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(  ) A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 二、填空题 7．如图，在四边形中，，点从点 出发沿边以每秒1cm的速度向点运动， 秒后四边形是矩形．    8．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 9．如图，中，交于，交于，是的角平分线，那么四边形的形状是 形；在前面的条件下，若再满足一个条件 ，则四边形是正方形． 10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有 个．                                                                             11．如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，若于点，是的角平分线，，则的长为 ． 12．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形． 三、解答题 13．如图：平行四边形ABCD中，MNAC，交DA、DC的延长线于点M、N，试说明MQ＝NP． 14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由． 15．在矩形中，相交于点，平分，交于点．若，求的度数． 16．已知：在菱形中，对角线相交于点O．求证：，平分和，平分和． 17．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点． （1）若EF＝5cm，则AB＝______cm；若BC＝9cm，则DE＝_______cm； （2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想． 18．如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)过点作，交的延长线于点，若 ①求菱形的面积． ②求四边形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C C B D 1．A 【分析】根据菱形的对边平行，对角线平分一组对角，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对边平行，对角线平分一组对角． 2．B 【分析】根据平移证明四边形ABDC为平行四边形，利用平行四边形周长=（长+宽）×2计算即可 【详解】解：根据平移，AB∥CD，并且AB=CD， ∴四边形ABDC为平行四边形， ∴(3+2) cm， 故选：B． 【点睛】本题考查平移性质，平行四边形判定，线段和差． 3．C 【分析】由折叠得：∠DEF=∠D′EF=60°，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可． 【详解】解：∵∠DEF=60°， ∴由翻折可知∠DEF=∠D′EF =60°， ∴∠AEG=60°， ∵平行四边形ABCD中，AD//BC， ∴∠EGF=∠AEG=60°，∠EFG=∠DEF=60°， ∴∠FEG=∠EGF=∠EFG＝60°， ∴△EFG是个等边三角形， ∴△GEF的周长=3EF=3×6=18， 故选：C 【点睛】考查平行四边形的性质、轴对称的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键． 4．C 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6， ∴∠F=∠DCF， ∵∠C平分线为CF， ∴∠FCB=∠DCF， ∴∠F=∠FCB， ∴BF=BC=8， 同理：DE=CD=6， ∴AF=BF−AB=2，AE=AD−DE=2 ∴AE+AF=4 故选C 5．B 【详解】∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD， ∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED， ∴平行四边形AEDF是菱形． ∴四边形AEDF周长为4AE=16． 6．D 【详解】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF； ∵BF=BE， ∴BE=EC=CF=BF； ∴四边形BECF是菱形． 当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠EBC=45°； ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°． ∴菱形BECF是正方形． 故选项A不符合题意． 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意． 当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意． 当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意． 故选D． 7．3 【分析】由矩形的性质求出CP的长度即可算出时间. 【详解】当时，四边形是矩形， 此时cm，cm， 在中，（cm）， 所以3秒后四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的性质,关键在于熟练掌握基础知识. 8．(5，) 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=3，然后设EC=x，则EF=DE=4-x，CF=5-3=2，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(5，4)， ∴AD=OC=5，DC=AO=4， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=5，DE=EF， 在Rt△AOF中，OF= =3， ∴FC=5−3=2， 设EC=x，则DE=EF=4−x， 在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2， 即(4−x)2=x2+22， 解得x=，即EC的长为， ∴点E的坐标为(5，)． 故答案为：(5，)． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为，是解题的关键． 9． 菱 【分析】由角平分线的性质与平行线的性质，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=DE，由菱形的判定方法即可得答案，由前面的条件下和正方形的判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形即可得问题答案． 【详解】根据题意，，， 则四边形AEDF是平行四边形， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠DAF=∠ADE， 则AE=DE， 即四边形AEDF是菱形； ∵四边形AEDF是菱形； ∴当时，四边形AEDF是正方形， 故答案为菱，． 【点睛】本题主要考查菱形的判定与性质，正方形的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10．3 【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形． 【详解】∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点， ∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB， ∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形． 故答案为3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容． 11．/ 【分析】根据于点，是的角平分线，证明，得到，再利用正方形的性质求出的长，则利用求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在中， ， 正方形的对角线，交于点， ， 于点， ， 是的角平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质对角线相等且互相平分是解题的关键． 12．DF∥AB 【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立． 【详解】解：DF∥AB，理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD， ∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点睛】本题主要考查了添加条件，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，角平分线定义，菱形的判定，添加DF∥AB． 13．见解析 【分析】分别证明四边形MACQ是平行四边形，四边形APNC是平行四边形，得到MQ=AC=NP即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∵MNAC， ∴四边形MACQ是平行四边形， ∴MQ＝AC， ∵ABCD，MNAC， ∴四边形APNC是平行四边形， ∴PN＝AC， ∴MQ＝NP． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 14．四边形PCOD是菱形．理由见解析 【分析】先根据PD∥OC，PC∥OD，说明四边形PCOD是平行四边形．再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明结论. 【详解】四边形PCOD是菱形．理由如下： ∵PD∥OC，PC∥OD， ∴四边形PCOD是平行四边形． 又∵OC=OD， ∴平行四边形PCOD是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 15． 【分析】根据矩形的性质和角平分线得是等腰三角形，根据角之间的关系得是等边三角形，根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的综合题，解题的关键是掌握矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质． 16．见解析 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的证明方法易证，，，由全等三角形的性质即可证明、平分和，平分和． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， 平分和， 在和中， ， ， 平分和． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质，属于基础性题目． 17．（1）10、4.5；（2）中线AF与中位线DE互相平分；理由见解析． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可得解； （2）由三角形的中位线的性质可知四边形ADFE是平行四边形，因此中线AF与中位线DE互相平分． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EFAB．又EF＝5cm， ∴AB＝10cm．同理，DEBC＝4.5cm；故答案是：10、4.5 （2）互相平分，理由：如图，连接DF， ∵AD＝EF，AD∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形，∴中线AF与DE的关系是互相平分． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，它的性质与线段的中点及平行线紧密相连． 18．(1)见解析 (2)①，② 【分析】(1)根据平行线的性质可知角相等，再根据角相等即可求得边平行且相等，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求得结论； (2) ①根据余角的性质可知角相等，再根据勾股定理求出，最后根据面积关系求出四边形的面积；②根据①的结果直角求出四边形的周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形 是菱形． （2）解：①∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ② ∵，，， ∴四边形的周长：， 【点睛】本题考查了菱形的判定性质，余角的性质，勾股定理，正确运用菱形判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$