精品解析：福建省厦门科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性测试数学试题

2024-2025学年（上）厦门大学附属科技中学12月阶段性测试 高二数学试题 （考试时长：120分钟满分：150分） 姓名______班级______座号______ （在此卷上答题无效） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第Ⅱ卷第2至4页. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义求解即得. 【详解】直线的倾斜角为，因此该直线的斜率，又， 所以. 故选：C 2. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质结合充分必要条件求解即可. 【详解】若实数成等比数列，则，即， 所以命题甲可以推出命题乙，即甲是乙的充分条件； 当时，，但不成等比数列， 所以命题乙不可以推出命题甲，即甲不是乙的必要条件； 故甲是乙的充分不必要条件， 故选：B. 3. 已知圆与圆的公切线条数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 4. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 故选：A 5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式列方程组计算可得结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由可得，可得； 所以. 故选：C 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为＂曲池＂的几何体，该几何体的上，下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接， 以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 所以， 又因为异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D. 7. 数列的首项是数列的前项积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知等式应用分组求和应用指数运算结合等差数列求和公式计算即可求解. 【详解】因为， 则 . 故选：A. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长. 二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题意.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（ ） A. 双曲线的焦点坐标为 B. 双曲线C与有相同的渐近线 C. 双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为 D. 直线与双曲线只有一个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及性质一一判断求解即可. 【详解】对A，由题知，，所以， 所以双曲线的焦点坐标为，A错误； 对B，双曲线的渐近线方程为， 双曲线C与的渐近线方程为，B正确； 对C，由于对称性，双曲线C的焦点到渐近线的距离都相等， 双曲线的一渐近线方程为，即， 右焦点到渐近线的距离等于，C正确； 对D，因为直线与双曲线的渐近线平行， 所以直线与双曲线只有一个交点，D正确； 故选:BCD. 10. 已知等差数列的公差，等比数列的公比且，记的前项和分别为，则对任意正整数，以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列定义和性质，利用通项公式写出相应表达式由作差法计算，即可逐一判断选项是否正确得出结果. 【详解】对于A，， 作差法有，故，A正确； 对于B，， 作差法有， 若，则，即，В错误； 对于C，， 作差法有， 若，则，C错误； 对于D，， 作差法有， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，又，故等号不成立， 故，D正确. 故选：AD. 11. 已知抛物线的焦点坐标为为上两点，，则（ ） A. B. C. 若线段的中点的坐标为，则 D. 当时，若在轴上方，则抛物线上存在三个不同的点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线方程，设直线，且，联立方程组，根据韦达定理、向量数量积的坐标运算及抛物线的定义逐一分析即可. 【详解】由已知可得拋物线，设直线，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 对于：， 所以，故A正确； 对于：由，故B错误； 对于：当时，到准线的距离为，则两点到准线的距离之和为3， 由抛物线的定义得：，即， 又，可得，故C正确； 对于：时，， 所以，即，又，在轴上方， 所以中点， 与直线平行的直线与抛物线相切时切点， 此时，所以轴上方有一个点满足要求， 又因为轴下方有两个点满足要求，所以有三个点满足要求，故D正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积的处理方法： （1）一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线的距离），设直线方程为斜截式； （2）拆分法：可以将三角形沿着轴，轴分成两个三角形，结合韦达定理求解. 第II卷（非选择题共92分） 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则______. 【答案】3或 【解析】 【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 13. 在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据线段比值得到的轨迹，再判断点在轨迹内外，从而得到其范围. 【详解】设，因为，所以， 化简，得，即的轨迹是圆， 因为点在圆的内部，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与的右支有两个交点，其中一个交点满足，则的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到点在圆上，不妨设在第一象限上，由直接求出，进而得直线的斜率，结合条件，数形结合，建立不等式，即可求解. 【详解】由题知，交点满足，则点在圆上，由对称性不妨设在第一象限上， 由，解得， 故的坐标为， 又的坐标为，则的斜率， 又与的右支有两个交点，则的绝对值大于渐近线斜率的绝对值， 即，化简得， 令，则，即， 两边平方得， 化简得，即， 得到，所以，则离心率， 又，故的取值范围为， 故答案为：. 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）从圆外一点向圆引切线，求切线方程； （2）若圆与圆C相交于两点，求线段的长. 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【分析】（1）当斜率存在时，用点斜式设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得k的值，可得切线方程．当斜率不存在时，易得切线方程，从而得出结论； （2）把两个圆的方程相减可得直线的方程，可判断圆心在直线上，刚好是圆的直径，得解. 【小问1详解】 由题圆的方程可化为， 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，于是， 解得，切线方程为， 当切线的斜率不存在时，得切线方程为， 综上，切线方程为或. 【小问2详解】 把两圆方程相减可得直线的方程：， 圆心刚好在直线上，则是圆的直径， 故. 16. 设为正项数列的前项和，已知. （1）数列是否是等差数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）是，； （2） 证明：由题设知 ， 所以 ，又，所以， 又因为函数在单调递增，所以当时取得最小值， 所以，命题得证. 【解析】 【分析】（1）应用求得，然后根据等差数列定义判断即可，进而写出通项公式； （2）由（1）得，裂项相消法求，再借助函数的单调性和有界性即可证结论. 【小问1详解】 ，两边同时平方整理得， 由题设知， 构造 两式作差得， 化简得， 由于是正项数列，所以 所以是公差2的等差数列，令，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在五棱锥中，已知底面，. （1）证明：平面平面； （2）求侧面与侧面所成二面角的余弦值. 【答案】（1） 由得， 即，即，所以， 由底面，底面得， 而平面，所以平面， 又，则，所以， 所以平面，平面 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积可得，从而可证底面，由面面垂直的判定定理可得面面垂直； （2）利用向量法可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为轴的正方向， 点为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 由得点， 而， 所以点，对于侧面，有 设侧面的法向量为，则, 取侧面的一个法向量， 对于侧面， 设平面的法向量为则 取侧面的一个法向量， 所以， 由题意可判断侧面与侧面所成二面角为钝二面角， 故侧面与侧面所成二面角的余弦值为. 18. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D. （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i） 由题意知，由椭圆对称性可知， 不妨设； 根据题意可知直线斜率均存在，且； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得，. ，解得， 则； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得； ，解得，则； 则， ； 所以； 即可知为钝角，所以点在以为直径的圆内； （ii）6 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解椭圆的方程即可； （2）（i）得到直线的方程为和的方程为，然后联立直线和椭圆方程得到点的坐标，从而求出向量和,计算出两者的数量积，得到小于零，从而证明出点在以为直径的圆内.（ii）求出四边形的面积的表达式，结合基本不等式求出四边形的面积最大为6.. 【小问1详解】 由题知双曲线即，其焦点坐标为， 故椭圆的焦点为为椭圆焦半距）， 故可设椭圆的方程为，将点代入可解得， 则 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 （i）略 （ii）四边形的面积为 ， 设，则，当且仅当时等号成立； 又在上单调递增，所以， 可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 19. 设一个的数表满足：第一行的数从左至右依次成等差数列，每一列的数从上至下依次成等比数列，每一列等比数列的公比相等.已知. （1）试用表示的值； （2）求； （3）从中选出个数，这个数两两不同行，两两不同列，求这个数之和的最小值. ，数表（数表中表示第行，第列的数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式可求； （2）根据错位相减法可求； （3）可证：若选取的和满足，则变换为和，可使总和更小，据此可求和的最小值. 【小问1详解】 由题意第一行等差数列的公差，则， 第一列等比数列的公比，由题意，每一列等比数列的公比均为2， 故. 【小问2详解】 由（1），，所以， 记，则， 故，也即. 【小问3详解】 由（1），， 则对的值影响较大的为， 当i较大时，譬如，当时，每增加的值增加，故应使尽量小， 故为使所选取的的总和尽可能小，应使较大的搭配较小的， 对此，我们提出如下引理： 若选取的和满足，则变换为和，可使总和更小. 证明： 故按照该方法对选取的两两对调系数，可使总和变小. 当取得最小时，应有对任意和，若，则. 不难验证此时选取的个数为：. 故最小的总和 （其中由（2）可知，） 故所选个数的最小值为. 【点睛】思路点睛：对于数列求和的最值问题，如果数列的通项是两个常见数列的乘积，那么和的最值可以通过排序不等式来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（上）厦门大学附属科技中学12月阶段性测试 高二数学试题 （考试时长：120分钟满分：150分） 姓名______班级______座号______ （在此卷上答题无效） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第Ⅱ卷第2至4页. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆与圆的公切线条数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为＂曲池＂的几何体，该几何体的上，下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 数列的首项是数列的前项积，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题意.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（ ） A. 双曲线的焦点坐标为 B. 双曲线C与有相同的渐近线 C. 双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为 D. 直线与双曲线只有一个交点 10. 已知等差数列的公差，等比数列的公比且，记的前项和分别为，则对任意正整数，以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点坐标为为上两点，，则（ ） A. B. C. 若线段的中点的坐标为，则 D. 当时，若在轴上方，则抛物线上存在三个不同的点，使得 第II卷（非选择题共92分） 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则______. 13. 在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是______. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与的右支有两个交点，其中一个交点满足，则的离心率的取值范围是______. 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）从圆外一点向圆引切线，求切线方程； （2）若圆与圆C相交于两点，求线段的长. 16. 设为正项数列的前项和，已知. （1）数列是否是等差数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； （2）设，数列的前项和为，证明：. 17. 如图，在五棱锥中，已知底面，. （1）证明：平面平面； （2）求侧面与侧面所成二面角的余弦值. 18. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D. （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 19. 设一个的数表满足：第一行的数从左至右依次成等差数列，每一列的数从上至下依次成等比数列，每一列等比数列的公比相等.已知. （1）试用表示的值； （2）求； （3）从中选出个数，这个数两两不同行，两两不同列，求这个数之和的最小值. ，数表（数表中表示第行，第列的数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $