精品解析：江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

2026届高二年级第三次月考数学试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴、坐标平面对称点的特征求解即得. 【详解】依题意，点关于坐标平面的对称点为. 故选：C 2. 设复数，则的虚部为（ ） A. 2i B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，再根据复数虚部的概念可得结果. 【详解】因为， 所以，其虚部为：2. 故选：C 3. 已知直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由直线l的一个法向量可求得直线的一个方向向量，根据方向向量求直线斜率，得到倾斜角. 【详解】由直线l的一个法向量为得直线l的一个方向向量为 设直线l的倾斜角为，斜率为，则，故. 故选：D. 4. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 6. 若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段的垂直平分线的方程为 C. 公共弦的长为 D. P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】对于，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，判断出错误；对于，线段的垂直平分线过圆心，且斜率可求得为，即可求出其方程，判断出错误；对于，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可；对于，根据圆心到直线的距离及圆的半径即可求得，做出判断. 【详解】对于,依题意知，两圆相交于， 故两圆方程作差可得即， 即为两圆公共弦所在直线方程，故错误； 对于，圆，则其圆心为，, 则线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为， 即，故错误； 对于,圆心到直线的距离， 圆半径，所以,故错误； 对于,圆心到直线的距离,圆半径, 则点P到直线的距离的最大值为，故正确， 故选：. 7. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多，计算三棱锥的体积与原体积的关系，可得最多盛水量. 【详解】 连接DE，DF，EF，当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多， 因为，所以， 又因为，所以F到平面SDE的距离是C到平面SAB的距离的， 所以，容器可盛水原来水的. 故选：B. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 二、多选题 9. 下列说法错误的有（ ） A. 若两直线斜率相等，则两直线平行； B. 若，则； C. 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； D. 若两直线斜率都不存在，则两直线平行. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线平行或相交的判断进行分析即可. 【详解】当时，与平行或重合，故A错误； 当斜率不存在时，与也平行，故B错误； 一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则它们必然相交，故C正确； 两直线斜率都不存在，与平行或重合，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知复数不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ） A. B. 复平面内，与所对应的点关于实轴对称 C. 与都是实数 D. 若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算，几何意义，定义，即可判断选项． 【详解】设，，，故A错误； ，对应的点为，，对应的点为，对应的点关于实轴对称，故B正确； ，，，为实数，，只有当的时候才是实数，，为实数，故C错误； 若，即，即，所以在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，点，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上段圆弧，是以OA为直径的圆上段圆弧，三段弧构成曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线与x轴围成的图形的周长等于 B. 过点的直线l与所在圆相交所得弦长为，则l的直线方程为 C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D. 过点B的直线l在两坐标轴上截距相等，则l的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题意，由图象的几何性质，结合圆的周长公式、弦长公式以及直线的方程、截距的定义，可得答案. 【详解】对于A，由题意可得曲线与x轴围成的图形的周长是由以半径为1的圆周与线段组成， 则，故A正确； 对于B，作图如下： 设所在圆的圆心为， 当直线斜率不存在时，直线，圆心到直线的距离为， 此时弦长，符合题意； 当直线斜率存在时，直线，整理可得， 圆心到直线的距离，由弦长公式可得， 则，解得，则此时直线， 综上所述，直线方程为或，故B错误； 对于C，由题意作图如下： 显然公共弦所在直线为直线，故C正确； 对于D，当直线的截距为零时，易知为直线； 当直线的截距不为零时，直线，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算求出复数，再求其模长即得. 【详解】由，可得， 则. 故答案为：. 13. 已知三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面的夹角均为60度，则该三棱锥的高是__________cm 【答案】 【解析】 【分析】设为三棱锥的高，过作，，，连接，结合已知可得是角平分线的交点，根据角平分线的性质列方程求，再根据即可求高. 【详解】如下图，为三棱锥的高， 由题意，，且，则， 过作，，，连接， 因为平面，平面，则， 又，平面，所以平面， 同理可得平面，平面， 所以各侧面与底面所成二面角的平面角分别为， 所以，， 所以是内角平分线的交点，O为内切圆圆心， D，E，F为内切圆与各边的切点，令， 因为是正方形，所以，解得， 又，解得， 即该三棱锥的高是， 故答案为： 14. 已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6m，在一场暴雨后水面上涨了1m，宽变为4m（如图）.根据以上数据，计算暴雨后圆拱顶距水面的距离是_____________米. 【答案】 【解析】 【分析】以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆的标准方程，根据两点坐标求距离公式和列出关于b的方程，解方程即可得出结果. 【详解】如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 设拱桥所在圆的方程为， 得：， 由题意，即， 解得，则圆的方程为， 可得暴雨后圆拱顶距水面的距离为(m). 故答案为： 四、解答题 15. （1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 16. ．已知直线，圆. （1）若直线m过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线m的方程； （2）若直线与圆相离，求的取值范围； （3）若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或； （2）； （3）不存在，理由： 若存在过点的直线垂直平分弦，则直线必过圆心， 于是直线的斜率，即直线的斜率， 由直线垂直于弦，得弦所在直线的斜率， 由（2）知，当时，直线与圆相离，与题设矛盾， 所以不存在过点的直线垂直平分弦. 【解析】 【分析】（1）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求出即得. （2）利用点到直线的距离公式列式求解. （3）根据给定条件，利用圆的性质求出直线的斜率，再结合（2）的结论即可得解. 【小问1详解】 当直线m过原点时，直线的方程是，即； 当直线m不过原点时，设直线m的方程为，则，解得， 直线m的方程是， 所以所求直线m的方程为或. 【小问2详解】 圆的圆心，半径， 由直线与圆相离，得， 化简得，解得或， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 17. 在四棱柱中，底面ABCD是菱形，且. （1）求证：平面平面； （2）若， ①求棱 AA1 与平面ABCD的夹角的大小 ②求二面角的大小. 【答案】（1） 证明：因为， 所以和均为正三角形，于是， 设AC与BD的交点为O，则O是BD的中点，则， 又ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 而，平面，平面， 所以BD⊥平面，平面， 故平面平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设AC与BD的交点为O，由题可得，AC⊥BD，然后利用线面垂直及面面垂直的判定定理即得； （2）建立空间直角坐标系，分别得到两个平面的法向量，根据线面、面面向量夹角公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， ∴，， ∴，， 于是，， 从而，又，， 平面ABCD，平面ABCD， 所以底面ABCD， 如图，建立空间直角坐标系，则， ∴， ①是平面ABCD的一个法向量，， 设棱AA1 与平面ABCD的夹角的大小为， 由， 因为，所以， 所以棱AA1 与平面ABCD的夹角的大小； ②设平面的一个法向量为， 由，得， 令，得， AC⊥BD，，而，平面，平面， 所以AC⊥平面, 则平面的一个法向量为， 则， 由原图可知二面角为锐角，故二面角的大小为. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段的中点的横坐标为，求直线的方程； （3）若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义以及之间的关系求出，可得椭圆方程； （2）假设直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出直线斜率，进而求出直线方程； （3）利用圆的直径对应的圆周角为，利用向量运算求出直线斜率，进而求出直线方程. 【小问1详解】 由已知得，所以. 因为，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 因为直线过， 当斜率不存在时，直线的方程为，与无交点. 当斜率存在时，设，即. 联立直线的方程与椭圆的方程得方程组， 消去，整理得， 由已知，即， 设，，由韦达定理可知，， 因为线段的中点横坐标为，所以，得. 于是，方程为或者. 【小问3详解】 因为，， 所以. 将，代入上式可得 ， 由题意可知，所以， 即， 解得，即. 方程为或者. 19. 如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点． （1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG； （2）若AC＝2，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为D，H分别是PA，PC的中点，所以． 因为E，F分别是AB，BC的中点，所以， 综上，，又平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF． 由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点， 所以，又平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF． 由，HG，平面DHG， 所以平面平面DHG． （2）. 【解析】 【分析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论. （2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以， 所以，又，则． 因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以， 又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB， 所以平面ABC，面ABC，故． 综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 有，，，，则，，． 设平面BPC的法向量为，则，令，则． 设平面PCA的法向量为，则，令，则． 所以．由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二年级第三次月考数学试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的虚部为（ ） A. 2i B. C. 2 D. 3. 已知直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 6. 若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段的垂直平分线的方程为 C. 公共弦的长为 D. P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 7. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法错误的有（ ） A. 若两直线斜率相等，则两直线平行； B. 若，则； C. 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； D. 若两直线斜率都不存在，则两直线平行. 10. 已知复数不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ） A. B. 复平面内，与所对应的点关于实轴对称 C. 与都是实数 D. 若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆 11. 如图，点，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上段圆弧，是以OA为直径的圆上段圆弧，三段弧构成曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线与x轴围成的图形的周长等于 B. 过点的直线l与所在圆相交所得弦长为，则l的直线方程为 C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D. 过点B的直线l在两坐标轴上截距相等，则l的直线方程为 三、填空题 12. 已知复数满足，则__________. 13. 已知三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面的夹角均为60度，则该三棱锥的高是__________cm 14. 已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6m，在一场暴雨后水面上涨了1m，宽变为4m（如图）.根据以上数据，计算暴雨后圆拱顶距水面的距离是_____________米. 四、解答题 15. （1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 16. ．已知直线，圆. （1）若直线m过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线m的方程； （2）若直线与圆相离，求的取值范围； （3）若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 17. 在四棱柱中，底面ABCD是菱形，且. （1）求证：平面平面； （2）若， ①求棱 AA1 与平面ABCD的夹角的大小 ②求二面角的大小. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段的中点的横坐标为，求直线的方程； （3）若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程. 19. 如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点． （1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG； （2）若AC＝2，，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $