精品解析：江苏省南通市新高考学科基地2024-2025学年高三上学期第一次大联考（12月）数学试题

2025届新高考基地学校第一次大联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量和满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 某人通过手机记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间（单位：如下表： 锻炼时间 小于0.5 不小于2 天数 2 6 10 8 4 据表中数据，下列结论一定正确的是（ ） A. 30天锻炼时间的中位数不超过 B. 30天锻炼时间的平均数不低于 C. 30天锻炼时间的极差不超过 D. 30天锻炼时间的众数不低于 5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左焦点为，点分别在的左、右两支上，（为坐标原点），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱柱中，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若为偶函数，是奇函数，且且，则（ ） A. B. C. D. 11. 设曲线与轴交于两点，是上一点（不在坐标轴上），则（ ） A. 是轴对称图形 B. 的面积小于 C. 围成的封闭图形面积小于 D. 为钝角 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等比数列，若，则__________. 13. 若和都为锐角，，则______． 14. 设，函数（e是自然对数的底数，）.从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 16. 如图，四棱锥中，四边形为菱形，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值. 17. 已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且. （1）证明：是等差数列； （2）设是方程的根，数列的前项和为，证明：. 18. 在坐标平面中，已知抛物线，经过点的直线与交于两点，直线平行于且与切于点.当直线与轴垂直时，. （1）求的方程； （2）若直线与交于点，求的横坐标； （3）求的面积的最小值. 19. 已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数. （1）设. ①讨论的单调性； ②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； （2）证明：在上为“中值偏移”函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届新高考基地学校第一次大联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】验证可知，进而可求交集. 【详解】因为， ， 可知，所以. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的除法运算可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得， 则. 故选：A. 3. 已知向量和满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直，模长的运算以及向量的数量积计算即可； 【详解】由题意可得，即， 又，所以， 所以， 故选：D. 4. 某人通过手机记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间（单位：如下表： 锻炼时间 小于0.5 不小于2 天数 2 6 10 8 4 据表中数据，下列结论一定正确的是（ ） A. 30天锻炼时间的中位数不超过 B. 30天锻炼时间的平均数不低于 C. 30天锻炼时间的极差不超过 D. 30天锻炼时间的众数不低于 【答案】B 【解析】 【分析】由题意给的数据，结合中位数、平均数、极差和众数的概念依次判断即可. 【详解】A：将锻炼时间从小到大排序，中位数为第15个和第16个数据的平均值，又第15个和第16个数据都落在内， 所以中位数位于内，不一定不超过1.2，故A错误； B：总时间为个小时， 所以平均数为小时，不低于1.1个小时，故B正确； C：最小值小于0.5，最大值不小于2，所以极差可能超过2.5，故C错误； D：众数位于内，低于1.5，故D错误. 故选：B. 5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得，根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可 【详解】设球的半径及圆锥的底面半径均为， 圆锥的母线长为， 则，所以， 球的体积为，圆锥的高， 圆锥的体积为， 所以圆锥的体积与球的体积的比值为． 故选：C． 6. 记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的对称性得到到的距离为到的距离的二倍，再结合题意列方程，然后结合二倍角的余弦公式求解即可； 【详解】关于对称， 因为，所以到的距离为到的距离的二倍， 所以，即， 所以，即， 即，解得， 又， 故选：C. 7. 已知双曲线的左焦点为，点分别在的左、右两支上，（为坐标原点），且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，易得，在中，利用正弦定理求出，再根据双曲线的定义得出的齐次式即可得解. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接， 则四边形为等腰梯形，故， 所以， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为在双曲线左支上，所以， 即，所以， 即的离心率为. 故选：A. 8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先因为定义域和值域都为，得出，分和两种情况结合导函数得出函数单调性即可根据值域列式求解即可. 【详解】因为， 三次函数的定义域和值域都为，所以，所以， 所以， 当时，不合题意； 当时，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以，即得. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱柱中，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将空间中直线与平面的平行、垂直关系分别转化为直线与法向量的垂直、平行关系，逐项分析即可. 【详解】以为原点，以、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，，，， ，，， ，，， 对于A，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以与不垂直，即与平面不平行，故选项A错误； 对于B，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以，又因为平面， 所以平面，故选项B正确； 对于C，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：， 即，所以平面，故选项C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：与不平行， 所以与平面不垂直，故选项D错误， 故选：BC. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若为偶函数，是奇函数，且且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合方程组法计算可得、，利用求导公式和基本不等式的应用计算，依次判断选项即可. 【详解】由①，得， 又为奇函数，为偶函数，所以，， 故②， ①②，得；①②，得， 所以，故A错误； ， 当且仅当时等号成立，此时，即，故B正确； 又，可得，解得， 所以，， 得，故C正确； ，， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 设曲线与轴交于两点，是上一点（不在坐标轴上），则（ ） A. 是轴对称图形 B. 的面积小于 C. 围成的封闭图形面积小于 D. 为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】将换为，换为，可判断A；设，求出及的范围，求的面积可判断B；设是曲线上任一点，由题设得到，即，可判断C；由题设知，利用二次函数的性质求得的范围，再由极化恒等式确定的符号可判断D. 【详解】对于A：将换为，不变，得，与原方程一样，所以曲线C关于轴对称， 换为，不变，得，与原方程一样，所以曲线C关于轴对称， 故曲线C关于坐标轴对称，是轴对称图形，故A正确； 对于B：令，得，， 在曲线上任取一点，且不在坐标轴上， 则， ∴，，故B正确； 对于C：设是曲线上任一点， 由，得，所以， 所以， ∴，即点在单位圆外或圆上， 所以曲线C围成的图形面积不小于，故C错误； 对于D：由选项B知， ，，， 因为， ， ∴，又不共线，故为钝角，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等比数列，若，则__________. 【答案】48 【解析】 【分析】根据等比中项可得，进而可得，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，则，可得， 则等比数列的公比，所以. 故答案为：48. 13. 若和都为锐角，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系结合两角和与差的正弦展开式求解即可； 【详解】因为和都为锐角，， 所以由同角的三角函数关系可得， 又，， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 设，函数（e是自然对数的底数，）.从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为__________. 【答案】##0.15 【解析】 【分析】利用导数的应用研究函数的零点，进而，得，结合列举法和古典概率公式即可求解. 【详解】由题意知，有序实数对有100个. 由，得， 令， 所以，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；当时，， 所以， 要使有两个零点，则， 即，得，即. 满足该条件的有序实数对有： 对于，可以取，共8个； 对于，可以取，共5个； 对于，可以取，共2个； 对于到，没有满足题意的. 所以所求事件的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的应用研究的零点，进而，得，结合列举法计算即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果； （2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得：，即， ，则. 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得：， 又，，解得：或（舍）， ，. 16. 如图，四棱锥中，四边形为菱形，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，且，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可证平面，进而可得； （2）过作，过作，求相应长度，根据可得，进而可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，可知， 在中，由余弦定理可得， 则， 过作，垂足为，则， 可得， 因为， 则， 即，解得， 则， 可得， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 17. 已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且. （1）证明：是等差数列； （2）设是方程的根，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）因为是公差为6的等差数列，则， 设，可得，， 又因为是公差为9的等差数列， 则， 可得，即， 且，解得， 即，，可得， 综上所述：，所以是等差数列. （2）构建，则是函数的零点 因为，则在上单调递增， 且，可知有且仅有一个零点， 又因为， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 则， 又因为，可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列定义可得，，即可得，再求，验证可得即可； （2）构建，利用导数结合零点存在性定理可得，分析可知数列为等比数列，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在坐标平面中，已知抛物线，经过点的直线与交于两点，直线平行于且与切于点.当直线与轴垂直时，. （1）求的方程； （2）若直线与交于点，求的横坐标； （3）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合平面垂直向量的坐标表示计算即可求解； （2）设，利用导数的几何意义求得，联立方程即可求解； （3）根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，联立方程与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式表示出，得（令），结合幂函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为轴，所以，代入方程， 得，设， 由，得，即，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，不妨设，如图， 由，得，则，所以，得， 故，得， 所以，消去得，即的横坐标为. 【小问3详解】 设，由（2）得，， 则点到直线的距离为； 由，得， ，， 所以， 故， 令，则，所以， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为4. 19. 已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数. （1）设. ①讨论的单调性； ②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； （2）证明：在上为“中值偏移”函数. 【答案】（1）①当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. ② （2） 不妨设，因为， 所以以为切点的切线的斜率． 因为直线的斜率 ， 所以． 设，则 . 设． 因为， 设，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以， 所以是＂中值偏移＂函数． 【解析】 【分析】（1）①利用导数的应用分类讨论含参函数的单调性即可；②设，计算的表达式，再设，求导得其单调性即可； （2），设，则，通过二次求导即可证明. 【小问1详解】 ①由题意，， 当时，，则在R上单调递减； 当时，令， 所以在上单调递减，在上单调递增. ②因为函数为＂中值偏移＂函数，设， 则，对任意，不妨设． 因为，所以以为切点的切线斜率， 因为直线的斜率， 所以． 设． 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $