精品解析：浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

余姚市2024-2025学年第一学期初中期末试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形定义是解题的关键． 轴对称图形有对称轴，找到对称轴，即可选出正确选项． 【详解】、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形有对称轴，是轴对称图形，故此选项正确． 、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】由， 根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得，所以A不正确； 由， 根据不等式的基本性质3，两边都乘以，得， 再根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得，所以B正确； 由， 根据不等式的基本性质2，两边都乘以，得，所以C不正确； 由， 根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得，所以D不正确． 故选：B． 3. 元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理是（ ） A. 东经，北纬 B. 在余姚博物馆的东北方向 C. 距离余姚北站6公里 D. 在浙江省 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，理解坐标的实际意义与应用是解题关键．根据利用有序数对表示位置解答即可． 【详解】解：A东经，北纬是有序数对，故符合题意； B．只有方向没有距离，故不符合题意； C．只有距离没有方向，故不符合题意； D．不能表示具体位置，故不符合题意． 故选A． 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 5. 对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 图象不经过第三象限 C. 向左平移2个单位后经过原点 D. 图象与y轴交于点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断． 【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意； B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意； C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意； D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 6. 观察下列作图痕迹，所作线段为的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了作线段（尺规作图），作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． 根据作线段（尺规作图）、作垂线（尺规作图）、作角平分线（尺规作图）的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：由题中的作图痕迹可知： 选项中是作线段（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意； 选项中是作垂线（尺规作图），所作线段为的中线，故选项符合题意； 选项中是作角平分线（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意； 选项中是作垂线（尺规作图），所作线段不是的中线，故选项不符合题意； 故选：． 7. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接AC， ∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m， ∴， ∴AC=5m， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=（）， ∴要投入资金为：（元）； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键． 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 9. 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 10. 如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为的中点，连接，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴当时，即共线时，周长有最小值， ∵， ∴，， ∴， ∵与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴周长最小值为． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在中，，那么是_________（填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”） 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理直接解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是是解题的关键． 12. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____________． 【答案】8或7 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义，先得出，再结合等腰三角形的周长进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵以a，b为边长的等腰三角形， ∴周长是或， 故答案为：8或7 13. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15. 若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一次函数的性质，不等式的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 解得：， 此时， ， ， ； ②当时， 解得：， 此时， ， ， ， ； 综上，y的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过作于，连接，由，设，，由折可得，，，，得到，推出，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第17~18题各6分，第19~20题各7分，第21题8分，第22~23题10分，第24题12分，共66分） 17. 解下列不等式（组）． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，证，得，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 【答案】（1）见解析，4 （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：下图为所求： 如图所示：的面积是： 故答案为：4 【小问2详解】 解：点与点关于轴对称， 则点的坐标为： 【小问3详解】 解：为轴上一点，的面积为1， 点的横坐标为：或 点坐标为：或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2）48 【解析】 【分析】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令可得点A的坐标，再由可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得，此时， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即的面积为48． 21. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围． （2）运用（1）的结论，求当时两车之间的距离． （3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式． 【答案】（1）， （2）当时两车之间的距离为200千米 （3）相遇前，相遇后 【解析】 【分析】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力． （1）直接运用待定系数法就可以求出、与x之间的函数图关系式； （2）将代入（1）中的关系式，再由得出结果； （3）先求出两车相遇时所需时间，再分别根据相遇前和相遇后两种情况列出函数表达式即可． 【小问1详解】 解：设，由图可知，函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴， 设由图可知，函数图象经过点，， 则， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，， ∴， 答：当时两车之间的距离为200千米； 【小问3详解】 解：当两车相遇时，即，解得， 故两车相遇之前S与x的函数关系式为：； 两车相遇之后S与x的函数关系式为：． 22. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，于点，        由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； 【小问3详解】 解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式； （1）设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； （2）设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，，再根据总费用列出不等式，求出解集，可得答案； （3）先购买的书签比冰箱贴多，得，解不等式，得出购买13套书签，12个冰箱贴．在计算费用即可． 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多， ， 解得， 为整数， 最小值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用934元． 24. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． （2）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． （3）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】（1）①是；②或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【小问1详解】 解：①∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴垂线，垂足分别为点和点E，   ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：    ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：或． 【小问2详解】 解：设 当时，如图，过作轴于点，   ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． 【小问3详解】 解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，    ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚市2024-2025学年第一学期初中期末试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立是（ ） A. B. C. D. 3. 元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（ ） A. 东经，北纬 B. 在余姚博物馆的东北方向 C. 距离余姚北站6公里 D. 在浙江省 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 图象不经过第三象限 C. 向左平移2个单位后经过原点 D. 图象与y轴交于点 6. 观察下列作图痕迹，所作线段为的中线的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为的中点，连接，则周长的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在中，，那么是_________（填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”） 12. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____________． 13. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 15. 若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是____________． 16. 如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为____________． 三、解答题（第17~18题各6分，第19~20题各7分，第21题8分，第22~23题10分，第24题12分，共66分） 17. 解下列不等式（组）． （1）． （2）． 18. 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． 21. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围． （2）运用（1）结论，求当时两车之间的距离． （3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式． 22. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 24. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． （2）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． （3）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $