精品解析：浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

命学科网命组卷网 余姚市2024-2025学年第一学期初中期末试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样.下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花 其中是轴对称图形的是（) C. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形定义是解题的关键. 轴对称图形有对称轴，找到对称轴，即可选出正确选项， 【详解】A、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误. B、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误. C 、此图形有对称轴，是轴对称图形，故此选项正确， D、此图形没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误。 故选C. 2.若a>b,则下列各式中一定成立的是() 第1页/共36页 命学科网命组卷网 A.a-2<b-2 B.-3a+1<-3b+1 C.ac2>be2 D.a+5<b+5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】由a>b, 根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得a-2>b-2,所以A不正确： 由a>b, 根据不等式的基本性质3，两边都乘以-3，得-3a<-3b 再根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得-3a+1<-3b+1,所以B正确： 由a>b, 根据不等式的基本性质2，两边都乘以c(c≠0，符a心>bc,所以c不正确； 由a>b, 根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得a+5>b+5,所以D不正确. 故选：B, 3.元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是() A.东经12115，北纬3005 B.在余姚博物馆的东北方向 C.距离余姚北站6公里 D.在浙江省 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，理解坐标的实际意义与应用是解题关键.根据利用有序数对 表示位置解答即可， 【详解】解：A东经12115'，北纬3005'是有序数对，故符合题意： 第2页/共36页 命学科网命组卷网 B.只有方向没有距离，故不符合题意； C.只有距离没有方向，故不符合题意： D.不能表示具体位置，故不符合题意 故选A. 9-2x 4函数'=x-5的自变量x的取值范围是() x>5 A. B.x<5 Ct≥5 D.≠S 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得x-5≠0，再解答即可. 9-2x y= 【详解】解：，函数x-5, .x-5≠0， 解得x≠5， 故选：D y=2-3x 5.对于一次函数 下列命题是假命题的是() A.函数值随自变量的增大而减小 B.图象不经过第三象限 (0,2) C.向左平移2个单位后经过原点 D.图象与y轴交于点 【答案】C 【解析】 y=+b 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数 (k为常数，k≠0)当k>0, ,y的 值随x的值增大而增大；当k<0,y的值随x的值增大而减小.根据一次函数的性质，以及函数图象与 坐标轴的交点的求法即可判断. 第3页/共36页 6学科网 命组卷网 【详解】解：A、:k=-3<0,“函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题 意； B、k=-3<0,b=2>0,“函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题， 不符合题意： C、函数的图象向左平移2个单位后得y=2-3(x+2)=-3x-4 不经过原点，故C结论不正确，是假 命题，符合题意； D、当x=0时，y=2-3x=2 (0,2) 时， 则函数图象与y轴交于点 故D结论正确，是真命题，不符合题 意： 故选：C 6.观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的中线的是() 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了作线段（尺规作图），作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点， 熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键， 根据作线段（尺规作图）、作垂线（尺规作图）、作角平分线（尺规作图)的方法逐项分析判断即可. 【详解】解：由题中的作图痕迹可知： 第4页/共36页 6学科网命组卷网 A CD,△ABC 选项中是作线段（尺规作图），所作线段不是 的中线，故选项A不符合题意； B CD,△ABC 选项中是作垂线（尺规作图)，所作线段 为 的中线，故选项B符合题意； CD △ABC C 选项中是作角平分线（尺规作图），所作线段 不是 的中线，故选项不符合题意： D 顶中是作垂线（尺规作图），所作线段CD不是△1BC CD D 的中线，故选项不符合题意； 故选：B. 7.如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得AB=3,BC=4m,DA=13,CD=12,且 ∠ABC=90° 若每平方米草皮需要200元，则需要投资() D 8 h A.16800元 B.7200元 C.5100元 D.无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：连接AC, D B 第5页/共36页 命学科网命组卷网 .∠B=90°，AB=3L,BC-4,CD=12,AD-13L, :AC2=AB2+BC2=32+42=25 ∴.AC=5, :4C2+CD2=25+144=169=132 又AD2=132 .AC2+CDP=CD2 .∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形， ×3x4+2 1 1 ×5×12=36 ∴四边形ABCD的面积=2 (m2), :要投入资金为：200×36=7200（元）： 故选：B, 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键. 8如图△A0B≌△ADC,∠0∠D=90°，记∠0AD=a,∠M0=B.当40∥BC时，“与 之间的数量关系为() B Aa+B=900 B.+2B=1800 C.a=B D.a=2B 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的 第6页/共36页 6学科网6组卷网 性质是解题关键。 通过全等三角形的性质，得AB=AC,∠BAO=∠CAD,推得∠BAC=∠OAD=a, 48c-080-a) 利用平行线的性质，得∠OBC=90°，推得P 有B+080-a）=90 整理后即可 求解。 【详解】解：：△AOB≌△ADC, ·MB=AC∠BA0=∠CAD :∠BAC=∠CAD+∠BAD=∠BA0+∠BAD=∠OAD=& ∴在a1BC中，ABC=I80-a) AO∥BC :.∠0BC=180°-∠0=180°-90°=90° :B+180°-a）=90° a=2B 整理得： 故选：D 2x<3(x-3)+1 9.关于x的不等式组 3x+2 >x+a有四个整数解，则a的取值范围是() 4 sa<- 11 11 11 A.4 <a<- B.4 as、 2 C.4 sas、 2 D.4 2 【答案】A 【解析】 第7页/共36页 学科网命组卷网 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到 a的取值范围. 【详解】解：解不等 2x<3r-3)+1得，x>8, 3x+2 >x+a 解不等式4 得，x<2-4a, 2x<3(x-3)+1 ,关于x的不等式组 3x+2 >x+a有四个整数解，而的四个整数是9,10,11,12， 4 x>8 .12<2-4a≤13. ≤a<- 解得4 ∴.a的取值范围是4 a<- 11 2, 故选：A. 10.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=4,动点D在线段AB上，以CD为边在右侧作等腰 ,使DCE=12,DC=BC,点F为BC的中点，连接EF,则△CEF △CDE 周长的最小值为( C A.6-5 B.4 c4+V5 D.2+2W5 【答案】D 【解析】 第8页/共36页 学科网命组卷网 【分折】连接BE,证明△1CD≌△BCE(SMS,则∠BBC=∠CMB=30°，即点E在射线BH上运动， 作点C关于BE的对称点M,连接CM交BN于点H,当MF⊥CB时，即M、E、F共线时，△CEF CH=MH=1BC=2 CF=1CM=2 周长有最小值MF+CF,根据直角三角形的性质得 2 EF=1CE 2 然后由勾股定理和线段和差即可求解. 【详解】解：如图，连接BE, B :∠ACB=120°，∠DCE=120°，AC=BC=4,DC=EC, .∠CAB=∠CBA=30°，∠ACD=∠BCE,∠CDE=∠CED=30° AC=BC=4,DC=EC, :△ACD≌aBCE(SAS) .∠EBC=∠CAB=30° ∴.点E在射线BH上运动， 如图，作点C关于BE的对称点M,连接CM交BN于点H, N B 第9页/共36页 6学科网列组卷网 .∠ABN=∠CBN+∠ABC=60°， .∠AHB=180°-∠A-∠ABH=180°-30°-60°=90°， .∠BCH=60°， ∴点ACM三点共线， ∴，当MF⊥CB时，即M、E、F共线时，△CEF周长有最小值MF+CF, .∠CBH=30° :CH-MH-IBC-2 21 ∠CBH=∠M=30°， :C=6C=2= 2 ,C与点M关于BE对称， .CE=ME, .∠M=∠ECM=30°， .∠ECF=30°， 1 EF=二CE 2 由勾殷定理得：CF2+EF2=CE2 :22+EF2=(2EF, :E=23 CE=ME4 3 3 第10页/供36页 6学科网命组卷网 aCEF周长最小值为MF+CF=ME+EF+CF=45,2V3 3+3 2=2+25 二、填空题（每小题4分，共24分) 11.在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是 (填“直角三角形”、“钝角三角形”或 “锐角三角形”) 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理直接解答即可， 【详解】解：：∠A+∠B=90°，∠A+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠A-∠B=90°， 故△ABC是直角三角形. 故答案为：直角三角形 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解题的关键 12.若a-2)2+b-3到=0 则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 【答案】8或7 【解析】 =2,b=3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义，先得出 ，再结合等腰三角形的周长 进行列式计算，即可作答. 【详解】解：·(a-2)2+b-3到=0 :(a-2)2=0,b-3到=0 =2,b=3 解得 ,以a,b为边长的等腰三角形， 第11页/共36页 学科网 命组卷网 ∴周长是2+3+3=8或2+2+3=7， 故答案为：8或7 13.点 P(m,3).2(2,n) 和点 关于x轴对称，则m+n 的值为 【答案】-1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐 标互为相反数，进而得出答案. P(m,3),Q(2,n) 【详解】解：点 与点 关于x轴对称， ∴.m=2,n=-3, ∴.m+n=2-3=-1 故答案为：-1. 14直线：y=x+b 与直线：y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式 kx>kx+b 的解集为. -4723-2-10外1衣 【答案】x<-1#-1>x 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键.结合图象， 写出直线2在直线的上方所对应的自变量的范围即可. 第12页/供36页 学科网 命组卷网 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为x=-1, 不等式 x>kx+b 的解集为<-1， 故答案为：x<-1, 15.若定义max{a,)是a与b中的较大者，例如：maxL,3}=3,max5,5}=5,若有 y=maxx+3,-x+8 ,那么y的最小值是 11 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一次函数的性质，不等式的性质等知识点，运用分类讨论思 想是解题的关键. 分两种情况讨论：①当x+3≥-x+8时；②当x+3<-x+8时；分别求解即可. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当x+3≥-x+8时， 解得：≥5 2 y=x+3 此时 x≥5 2, x+3 2, 11 y≥ 2； ②当x+3<-x+8时， 第13页供36页 学科网命组卷网 5 X< 解得： 2, 此时少=-x+8 .x< 2, 5 -x> 2, -x+8> 2 、11 y>。 2: 11 综上，y的最小值为2， 11 故答案为：2. 16.如图，在长方形ABCD中，点E是边BC上一点，将△DCE沿DE折叠，使得点C落在AB上，连 结DC、EC,点P是DC的中点，连结CF,BC=V7,且3∠ACD=2∠BCF,则CD的长为 C B 【答案】4 【解析】 第14页/供36页 6学科网命组卷网 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过C作 CM1DC于M,连接CC,由 CC'3∠AC'D=2LBCF∠BCF=3x∠AC'D=2x ，设 由折可得 △DCE≌△DC'EEC=EC'CD=C'D∠DCE=∠DC"E=90° ,得到 ∠AC'D=∠BEC'=2x=∠ECC'+∠EC'C ∠ECC'=∠EC'C=x ∠DC'C=∠BC'C ，推出 在再证明 得到△BCC≌AMCC(AAS),得到BC'=MC,∠BCC'=∠MCC=∠FCM=x,即可证 △MCF≌aMCC'(ASA).MF=MC',设BC'=MC'=MF=a,C"F=2a,由中点得到 CD=CD=AB=4a,AC=4B-BC=3a,最后在 RtAACD 中利用勾股定理列方程计算即可， 【详解】解：过C作CM⊥DC于M,连接CC', 3∠AC"D=2LBCF 设∠BCF=3x,则∠AC"D=2x, ,在长方形ABCD中， :∠B=∠DCB=∠A=90°，AB=CDAD=BC=√万 ·将△DCE沿DE折叠，使得点C落在AB上， .△DCE≌△DC'E, 第15页/供36页 命学科网命组卷网 :EC=EC'CD=CD∠DCE=∠DC'E=9O0 :∠ECC'=∠EC'CCD=CD=AB .∠AC'D+∠BCE=90°=∠BEC'+∠BC'E, :∠ACD=∠BEC'=2x=∠ECC'+∠BC'C :.∠ECC'=∠EC'C=x, :∠BC'C=90°-∠EC'C=90°-x :∠DC'C=180-∠BC'C-∠ACD=90°-x .∠DCC=∠BCC, ..CM L DC :∠B=∠C'MC=90 :.△BCC'≌aMCC'(AAS) :BC'=MC'∠BCC'=∠MCC'=x :∠FCM=∠FCB-∠BCC'-∠MCC'=3x-x-x=x .∠BCC'=∠MCC'=∠FCM=x, :.△MCF≌aMCC'(ASA) .MF=MC .设BC'=MC'=a,则BC'=MC'=MF=a,CF=2a, 第16页/供36页 6学科网 命组卷网 :点F是DC的中点， .CF=DF=2a. :CD=C'D=AB=4a AC'=AB-BC=3a 在Rt△MCD电CA+AD2-CD2 (3a}+-(4a2. 解得a=1(负值舍去)， :CD=4a=4 故答案为：4. 三、解答题（第1718题各6分，第19~20题各7分，第21题8分，第22~23题10分，第24 题12分，共66分) 17.解下列不等式（组)· 3(x+1)≤5x+7 (1) 4x-5<3x (2) 3x-221· 3 【答案】(1)x≥-2 ≤x<5 (2)3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与不等式组. (1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得： (2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不 到确定不等式组的解集。 第17页/共36页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 3(x+)≤5x+7 解： 去括号，得：3x+3≤5x+7, 移项，得：3x-5x≤7-3， 合并同类项，得：-2x≤4， 系数化为1，得：x≥-2： 【小问2详解】 4x-5<3x 解： 3x-221· 3 解不等式4x-5<3x,得：x<5, 3x-221 .5 解不等式3，得： 2 ≤x<5 ∴.不等式组的解集为3 18.如图，点B,C,E,F在同一直线上，点A,D在BC的异侧，AB=DC,BF=CE,∠B=∠C. 求证：AE∥DF B E 【答案】 证明：，BF=CE, .BF +EF =CE+EF BE=CF, 第18页/供36页 6学科网 命组卷网 在△ABE和△DCF中， AB=DC ∠B=∠C BE=CF :△MBE≌ADCF(SAS) ∴.∠AEB=∠DFC. ∴，AE∥DF 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，证△MBE≌△DCF(SAS),得 ∠AEB=∠DFC ,即可得出结论. 【详解】略 19如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)、B(2,0）、C(4,3) 5 4 +-3 ×2 -4-3-2-1 012345 (1)在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是 (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 (3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标 第19页/供36页 学科网命组卷网 【答案】(1) 如图，△ABC即为所求： 5 3 5-4-3-2- O12345x (2)（4,3) (3) (4,0)(0,0) 或 【解析】 【小问1详解】 3x4-1 1x21 2x4-x2x3=4 △ABC的面积是： 2 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：P为x轴上一点，△ABP的面积为1， .S.w-DP.4O-ixlxBP-1 2 ∴.BP=2 ·点P的横坐标为：2+2=4或2-2=0 点坐标为： ..P (4,0)(0,0) 或 第20页/供36页 6学科网命组卷网 y=c+b(k≠0) B(12,0) 20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点 和点 1 y=1 一 C(0,12),并与正比例函数2的图象相交. (1)求直线BC的表达式. (2)求△AOC的面积. 【答案】(1)少=-x+12 (2)48 【解析】 【分析】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解. (1)用待定系数法求一次函数的解析式即可： (2)令x+12=x 1 '可得点A的坐标，再由5c=2×0C 1 得答案 【小问1详解】 y=+b(k≠0) 的图象分别与x轴、y轴交于点 (12,0)C(0,12) 解：，一次函数 和点 12k+b=0 ∴.b=12 k=-1 解得：b=12, 第21页/供36页 学科网命组卷网 BC 的表达式为 y=-x+12 直线 【小问2详解】 解：令+12=号x 2 解得x=8,此时少=2无=4 A(84) B(12,0)C(0,12) .OB=12,0C=12, 2x8x0C 2×12x8=48 即△AOC的面积为48. 21.一辆容车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发.设客车与甲地的距离为片 (千米)，出租车与甲地的距离为片（千米），两车行驶的时间为x(小时)，片、与x的函数关系 图象如图所示： y(千米) 600-- 出租车 客车 6 10x(小时) (1)根据图象，直接写出片、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围。 第22页/供36页 学科网丽组卷网 (2)运用(1)的结论，求当x=5时两车之间的距离. (3)若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S,求S与x的函数表达式. 【答案】(4)片=60x(0≤x≤10).乃=-10.x+600(0≤x≤6) (2)当x=5时两车之间的距离为200千米 (3)相遇前1 =乃-y=-160x+600≤x≤5 , 【解析】 【分析】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力. (4)直接运用待定系数法就可以求出片、片与x之间的函数图关系式： (2)将x=5代入()中的关系式，再由片一乃得出结果 (3)先求出两车相遇时所需时间，再分别根据相遇前和相遇后两种情况列出函数表达式即可. 【小问1详解】 解：设乃=kx(k≠0），由图可知，函数图象经过点(10,60) :10%=600 k1=60 解得： :片=60x(0≤x≤10) 设h=kx+b6≠0)由图可知，函数图象经过点(0,60)，(6,0)， b=600 则6k2+b=0, ∫k2=-100 解得：b=600, 第23页/供36页 命学科网列组卷网 :h=-100x+600(0≤x≤6) 【小问2详解】 解：当x=5时，片=300五=100 :片-h=200 答：当x=5时两车之间的距离为200千米； 【小问3详解】 解：当两车相遇时=乃2，即60x=-100x+600,解程3 板两车相遇之前5与的西数关系式为：S=为-%=-160x+600≤x≤)】 丙车利适之后s与内能数失系式方.5=-为=160-60（月<x≤可】 22.如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=1O0°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作 EF⊥AB 垂足为凡，且 ∠AEF=50° DE ，连接 E D (1)求证：AE平分∠FAD (2)求证：DE平分∠ADC. (3)若AB=7,AD=4,CD=8,So=15,求△MBE的面积. 第24页/共36页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)证明：：∠BAD=100°， ∴.∠FAD=180°-∠BAD=180°-100°=80° EF⊥AB, .∠EFA=90° ∴.∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40° ∴.∠DAE=∠FAD-∠FAE=80°-40°=40° ∴.∠FAE=∠DAE, ∴.AE平分∠FAD: (2)证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H, B D H 由(1)可得：AE是∠FAD的平分线， .EF=EG」 :BE。∠ABC 是 的平分线， .:EF =EH, ..EG=EH .,E,∠ADC 点在 的平分线上， :.DE平分 ∠ADC 第25页/供36页 命学科网列组卷网 35 (3)4 【解析】 【分析】(1)利用邻补角互补可得∠FAD=180°-∠BAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余可得 ∠FAE=90°-∠AEF=40° ∠DAE=∠FAD-∠FAE=40° ,由角的和差关系可得 ,进而可得 ∠FAE=∠DAE,于是结论得证； (2)过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H,由(1)可得AE是∠FAD的平分线，同时BE 是∠ABC的平分线，由角平分线的性质定理可得EF=EG,EF=EH,进而可得EG=EH,然后由角 平分线的判定定理即可得出结论： (3)设BG=x,由(2)可得BF=BH=BG=x,由已知条件S4m=15, 可得关于x的一元一次方程， 1 解方程即可求出EF的长，然后利用三角形的面积公式可得 S△MBs=7AB·EF 2 ，据此即可求出△ABE的 面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设EG=x, 由(2)可得：EF=EH=EG=x. S.ACD=15 AD=4 CD=8 第26页/供36页 命学科网命组卷网 AD-EG+CD-=15, 即：4x+8x=30, 5 解得：2， ·BF=x=5 24 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角 平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线 的判定与性质定理是解题的关键。 23.根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推 出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等.已知1 素 套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元. 材 素 科 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元. 2 素 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时 材 购买书签和冰箱贴两种商品若干件， 3 第27页/共36页 6学科网命组卷网 问题解决 任 务 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元. 1 任 务 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 2 任 【拟定购买方案】 天 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，则分别购买多少书签和冰 3 箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用. 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元：任务2：最多能买16套书签：任务 3:要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为34元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式： ()设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的告价为m-18)元，根据等量关系列出方程组，求出解 即可： (2)设该老师购买x套书签，则购买(25-)个冰箱贴，再根据总费用≤1000列出不等式，求出解集， 可得答案： (3)先购买的书签比冰箱贴多，得x>25-x，解不等式，得出购买13套书签，12个冰箱贴.在计算费用 即可 【详解】解：任务1：设1套书签的告价为m元，则1个冰箱贴的售价为(m-18)元， :小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， .m+4(m-18)=158 解得m=46 第28页/共36页 6学科网列组卷网 ∴.m-18=46-18=28 ∴.1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元： 任务2：设该老师购买x套书签，则购买(25-个冰箱贴， 根据题意得 46x+28(25-x)≤1000 解得 s162 x为整数， .x最大值为16， .最多能买16套书签： 任务3：要求购买的书签比冰箱贴多， x>25-x, 解得x>12.5, x为整数， .x最小值为13， 13×46+12×28=934(元)， ∴.要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元. 24在平面直角坐标系中，有1(m,0）,B(0,川)两点，若存在点c使得∠ABC-90°，且AB=BC,则 称点C为m的“等垂点”.例如：在4,0），B(0,1,C(-,0)三点中，因为∠1BC=0°，且 AB=BC ,所以点C为1的“等垂点”. y=3x-5 y=3x-5 5可 5 图1 图2 备用图 第29页/供36页 学科网命组卷网 1)①点A(2,0）,B(0,2),则C2,4」 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）· ②如图1，若点A(4,0）,B(0,3) 则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 (2)如图2，若一次函数y=3x-5 存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标. （3)若在直线y=c+b(k>0)上存在无数个5的“等垂点”，且直线y=c+bk>0)与x轴交于点 E,与y轴交于点F,点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP=4,OP=3,连接MP,设EM=a, 直接写出△EPM面积S关于a的表达式. 【答案】(1)①是：②3,7)或-3，-) 2)(5,10)或(0，-5) (3)S△PM= 【解析】 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等； 解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问 题的能力， (1)①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：C分点在B点上方和下方，分别画出图形求 解即可； (2)分两种情况：当n>0时，当n≤0时，分别画出图形，进行求解即可： (3)特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求△EPO的高，根据 2 5,根据三角形面积 公式写出表达式即可. 第30页/供36页 6学科网命组卷网 【小问1详解】 解：①：点1(2,0)，B(0,2),C(2,4) :.0A=2,0B=2,AC=4,AB=VOA+0B2=2N2, :∠ABC=90°， BC=AC2-AB2=2 .AB=BC, 则C(2,4)是2的“等垂点”， 故答案为：是 ②当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E, FA衣 :点44,0），B(0,3),且点C是4的“等垂点”， :.∠ABC=90°，OA=4,OB=3,AB=BC, :.∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°， .∠CBE+∠BCE=∠CBE+∠ABO=90° .∠BCE=∠ABO. AB=BC. 第31页/供36页 6学科网列组卷网 .△ABO≌△BCE, .BE=OA=4,CE=BO=3, .CF=OE=OB+BE=3+4=7, :c37) 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作CF LEF于点CHy 轴于点H,过点A 作AE⊥EF于点E,如图所示： VA B :点4(4,0，B(0,3),且点C是4的“等垂点”， .∠ABC=90°，OA=4,OB=3,AB=BC, 同理得：△ABE≌△BCF, .BE=CF=OA=4,BF=AE =BO=3, .BH=CF=4,CH=BF=3. .OH=BH-OB=4-3=1, :C(-3,-) 故答案为： (3,7)或-3，- 【小问2详解】 解：设A5,0吵，B(0,n), 第32页/供36页 命学科网命组卷网 当”>0时，如图，过C作C1y精于点E, Eb--- y=3x-5 A CE⊥y 轴， .∠CEB=∠AOB=90°， :∠CBA=90°」 .∠CBE=90°-∠ABO=∠BAO, AB=BC, .△CBE≌ABAO. ÷A(5,0),B(0,n) CE=OB=n,BE=AO=5 即C(m,n+5)或(”，n-5) :点C在y=3x-5 ， ∴.n+5=3n-5或n-5=-3n-5, 解得n=5或n=0(舍)， :C(5,10) 第33页/供36页 命学科网命组卷网 3a≤0时，知：拉C作CM1y轴F友M y=3x-5 同理可得C(m,-n-5)或(，5-m)】 :点C在y=3x-5 上， .-n-5=3n-5或5-n=-3n-5, 解得n=-5(舍)或n=0, :C(0,-5) 综上所述： (5,10)或(0，-5) 【小问3详解】 解：直线 y=kx+b(k>0) 上存在无数个5的“等垂点”， 直线与x轴交于点E(5,0),与y轴交于点F(0,5), 「-5k+b=0 ∴.b=5 k=1 解得：b=5, y=x+5 ·直线解析式为 第34页/供36页 6学科网6组卷网 如图，过点P分别作 Q⊥x 轴于点2， O,PHLy轴于点H,PN LER交EF于点N F M E .EP=4 OP=3 OE=5 :EP2+0p2=0E2 .AEPO 为直角三角形， PQ-EPOP_12 =oE=5,00=VOp2-Pg_9 , :PH=00= 5, :S.wo-S.mo+S.m+S.mo-EO-PQ+EF-PN+FOPH 2 x5x5-1x5PQ+EFPN+* ×5PH 即2 Γ21 2 解得，PW=2V2 5, EM-PN=ax2Y2-2。 a× 2 5 5 第35页/供36页 命学科网组卷网 第36页/共36页 余姚市2024-2025学年第一学期初中期末试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（ ） A. 东经，北纬 B. 在余姚博物馆的东北方向 C. 距离余姚北站6公里 D. 在浙江省 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 图象不经过第三象限 C. 向左平移2个单位后经过原点 D. 图象与y轴交于点 6. 观察下列作图痕迹，所作线段为的中线的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ） A. 16800元 B. 7200元 C. 5100元 D. 无法确定 8. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为的中点，连接，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在中，，那么是_________（填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”） 12. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____________． 13. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 15. 若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是____________． 16. 如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为____________． 三、解答题（第17~18题各6分，第19~20题各7分，第21题8分，第22~23题10分，第24题12分，共66分） 17. 解下列不等式（组）． （1）． （2）． 18. 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． （1）求直线的表达式． （2）求的面积． 21. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车与甲地的距离为（千米），出租车与甲地的距离为（千米），两车行驶的时间为x（小时），、与x的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，直接写出、与x的函数表达式，并写出相应的自变量取值范围． （2）运用（1）的结论，求当时两车之间的距离． （3）若在出租车到达甲地之前，两车间的距离为S，求S与x的函数表达式． 22. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 24. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． （1）①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． （2）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． （3）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $