安徽省含山县第二中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

含山县二中2024-2025学年高一上学期期末质量检测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第I卷 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 2.下列命题正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 4.函数的零点的个数为(     ) A. B. C. D. 5.茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度单位：和泡茶时间单位：满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为(     ) A. B. C. D. 6.在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为(     ) A. B. C. D. 7.已知函数，设，，，则，，的大小关系是(     ) A. B. C. D. 8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知、为正实数，，则(     ) A. 的最大值为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 10.函数，对都有，则下列说法正确的是(     ) A. B. 在上单调递减 C. 将函数的图象向左平行移动个单位，得到的函数图象关于原点对称 D. 若，则函数的最小值为 11.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，它们从小到大依次记为，，，，则(     ) A. B. C. D. 函数有个零点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ________． 13.已知函数，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 14.已知定义域为的函数若对任意恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，． 分别求，． 已知，且，求实数的取值范围． 16. 本小题分 用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉衣服上污渍的用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上设用单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数． 求的解析式，写出应该满足的条件或具有的性质至少写条，不需要证明； 现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由． 17. 本小题分 已知函数的图像经过点． 求的值，并判断的奇偶性； 判断的单调性并证明； 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知函数的最大值为． 求的值； 求函数的单调递减区间； 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 19.本小题分 对于任意两正数，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知． 求，，； 对正数和任意两个正数，，猜想与的大小关系，并证明； 试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数，恒有； 若，试说明：当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 含山县二中2024-2025学年高一上学期期末质量检测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第I卷 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解：因为集合， 所以， 因为， 所以． 2.下列命题正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B  解：时不成立； B.，，则，成立； C.，则，因此不成立； D.时，． 3.“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A  解：由得或，令集合， 由得或，令集合， 由于， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 4.函数的零点的个数为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：令，则， 函数零点个数即为函数与交点个数， 在同一坐标系内分别作出，的图象， 因为， ，， ，在定义域上都单调递增且随着的增大， 的增长速度远大于， 所以，的图象有两个交点， 所以的零点个数为． 5.茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度单位：和泡茶时间单位：满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  解：令，解得 令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为． 6.在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由点的纵坐标为得，， ，， 因为，即，又， 所以，所以，所以， ， 所以点的纵坐标为． 故选B． 7.已知函数，设，，，则，，的大小关系是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：由，令， 则，其定义域为， 且满足， 故为偶函数， 又当时，在上单调递增， ，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 即． 8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  解： 在 上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为． ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知、为正实数，，则(     ) A. 的最大值为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC  解：因为、为正实数，， 对于选项，因为，则， 故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A对； 对于选项，，当且仅当时，等号成立， 所以也正确，故B对； 对于选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故C对． 对于选项，， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为，故D错． 10.函数，对都有，则下列说法正确的是(     ) A. B. 在上单调递减 C. 将函数的图象向左平行移动个单位，得到的函数图象关于原点对称 D. 若，则函数的最小值为 【答案】AC  解：因为，对都有， 所以，， 对于：因为，所以，故A正确， 对于：由于函数，当时，故，此时函数在该区间上单调递增，故B错误； 对于：将函数的图象向左平行移动个单位，得到的函数图象关系式，故函数的图象关于原点对称，故C正确； 对于：由于； 由于，故，故当时，函数的最小值为，故D错误． 11.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，它们从小到大依次记为，，，，则(     ) A. B. C. D. 函数有个零点 【答案】ABC  解：作出函数的图象，如图所示： 对于，因为当时，与轴相交于点， 与轴交于点． 当时，与轴交于点， 因为关于的方程有四个不同的根， 所以与有四个交点，所以，故A正确； 对于，令，则，， 所以，所以，故B正确； 对于，因为，， 所以，， 即． 又因为方程，即的两根为，， 且， 所以， 因为， 在上单调递减， 所以，即，故C正确； 对于项：由，得， 令， 则有，，，， 因为无解；有两解； 有三解；有三解， 所以有个根， 所以函数有个零点．故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ________． 【答案】  解：原式． 13.已知函数，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 【答案】  解：因为，令，则单调递减， 又函数在上单调递减，所以， 又，得在上恒成立，则，综上取值范围是． 14.已知定义域为的函数若对任意恒成立，则的取值范围为________． 【答案】  解：； 增大时，增大，减小，减小； 所以在上单调递减； ， 所以为奇函数， 由， 得， 又在上单调递减； 所以对于任意恒成立； 即对任意恒成立； 所以只需， 令，， 因为与在上单调递增， 所以单调递增， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，． 分别求，． 已知，且，求实数的取值范围． 【答案】解：由，解得， 所以， 又因为， 所以，； 因为，显然， 若，则， 解得， 所以实数的取值范围为．  16.本小题分 用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉衣服上污渍的用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上设用单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数． 求的解析式，写出应该满足的条件或具有的性质至少写条，不需要证明； 现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由． 【答案】解：因为，解得，即， 函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减； ，，， 所以， 当时，，此时清洗一次或两次残留的污渍一样， 当时，，此时清洗一次残留的污渍更少， 当时，，此时清洗两次残留的污渍更少， 综上，时，清洗一次残留的污渍更少； 时，清洗一次或两次残留的一样； 时，清洗两次残留的污渍量更少．  17.本小题分 已知函数的图像经过点． 求的值，并判断的奇偶性； 判断的单调性并证明； 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：把点代入函数得，， 解得． 因为，定义域为关于原点对称， 所以是奇函数． 在上单调递增，详见解答过程， 任取，， 因为， 则， 故，即，所以函数在上单调递增； 因为， 若对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为在上单调递增， 所以对任意恒成立， 所以恒成立， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 所以的取值范围．  18.本小题分 已知函数的最大值为． 求的值； 求函数的单调递减区间； 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 【答案】解： ， 所以，即， ， 令， 即，， 所以函数的单调递减区间， 因为， 所以， 由泰勒公式得： 所以． 19.本小题分 对于任意两正数，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知． 求，，； 对正数和任意两个正数，，猜想与的大小关系，并证明； 试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数，恒有； 若，试说明：当时，． 【答案】解：由题意得， ， ； 对正数和任意两个正数，，， 证明：由题知， ， 故L； 设，由题意得， 由小于高为，底为的长方形面积， 得， 由大于高为，底为的长方形面积， 得， 所以对任意正数，恒有； 由得， 显然，当时，， 所以．  1 学科网（北京）股份有限公司 $$