精品解析：辽宁省铁岭市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末考试试卷 八年数学 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 下列奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则▲表示的式子为（ ） A. B. C. D. 5. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则m的值为（　　） A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 7. 如图，，，是五边形的三个外角，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别平分于点，的周长为24，则的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 9. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点，并连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共70分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 计算：_________． 13. 方程的解为______． 14. 已知，，则_________． 15. 如图，中，为中线，于于，则_________． 16. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17. （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解方程：； 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE． （1）求证：AC=CD； （2）若AC=AE，求∠DEC的度数． 21. 如图，在中，是的角平分线，． （1）尺规作图：作的平分线与相交于点E；（作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） （2）直接写出的度数． 22. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 23. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________； （2）如图2，正方形是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示） （3）请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足，，求的值． 24. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； （2）如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试试卷 八年数学 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 下列奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，理解图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的分式有意义条件，根据分母不为零分式有意义求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴，解得， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键． 4. 已知，则▲表示的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，掌握整式除法的运算法则是解题的关键． 利用整式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故选：A． 5. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：A． 6. 若，则m的值为（　　） A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键． 7. 如图，，，是五边形的三个外角，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握多边形外角和为． 根据多边形外角和为360度求出，再根据三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 8. 如图，分别平分于点，的周长为24，则的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点，并连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中利用含30度角的直角三角形三边的关系以及勾股定理得到，再由基本作图得到垂直平分，所以，则，接着证明为等边三角形，所以，根据等边三角形的性质得，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理求出的长． 【详解】解：在中，∵， ，即， ， 由尺规作图作法得垂直平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ∵点是的中点， ， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系等知识点． 第二部分 非选择题（共70分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 14. 已知，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ，．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：4． 15. 如图，中，为中线，于于，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵中，为中线， ∴， ∵于于， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值，     ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，分解因式；解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式、整式运算法则的性质； （1）首先通分，再通过化简即可得到答案； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式计算，即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ； （2） ， ． 18. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 先去分母，再解方程即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 将代入最简公分母进行检验，， ∴是原分式的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE． （1）求证：AC=CD； （2）若AC=AE，求∠DEC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论； （2）根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到 【详解】（1）证明： 在△ABC和△DEC中，， （2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD， ∴∠1＝∠D＝45°， ∵AE＝AC， ∴∠3＝∠5＝67.5°， ∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°． 21. 如图，在中，是的角平分线，． （1）尺规作图：作的平分线与相交于点E；（作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） （2）直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据角平分线的尺规作图方法，即可作出的角平分线与相交于点； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线定义可得，再由三角形内角和为即可得到的度数． 【小问1详解】 解：的平分线，如下所示： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的的角平分线， ∴， ∴． 22. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书． 【解析】 【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题； （2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可． 【详解】解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元， ， ， 经检验是原分式方程的解， ， 答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元． （2）设今年这所中学要购买本文学书， ． 答：今年至少要购买140本文学书． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________； （2）如图2，正方形是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示） （3）请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用． （1）图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得出答案； （2）图2可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案； （3）根据（1）中所得等式，结合题意可得关于a，b的等式，进而整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：把图1看作一个大正方形，它的面积是； 如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． 由此得到． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：把图2看作是一个边长为的大正方形，它的面积是； 如果把图2看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，它的面积是； 由此得到． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）得． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； （2）如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）如图：延长至G，使，连接，先证明，得到、，再证明，即可得到即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图：延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $