精品解析： 北京市朝阳区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

北京市朝阳区2024~2025学年度第一学期期末检测 八年级数学试卷（选用） 2025.1 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，5，9 C. 2，5，5 D. 5，12，7 3. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 5. 将一副三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录（2024版）》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 8. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 计算：__________． 10. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 11. 六边形的外角和是______度． 12. 方程的解为______． 13. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 14. 如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是______．（写出所有可能的情况．） 15. 如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为______． 16. 由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、二次降价均为．记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，方案③的产品价格为．若，，则______（填“”“”或“”）；若，均为正数，则，，的大小关系是______． 三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分） 17. 计算：． 18. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 计算：． 21. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 22. 某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？ 23. 如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． （1）根据题意补全图形； （2）求证：． 24. 在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： （1）如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； （2）求分式的最大值． 25. 已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． （1）如图，若点在上，，则______； （2）如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过1，则称点存在关于直线的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） （1）在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______； （2）如图，点A在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围； （3）已知直线与轴交于A，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区2024~2025学年度第一学期期末检测 八年级数学试卷（选用） 2025.1 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，5，9 C. 2，5，5 D. 5，12，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可解答． 【详解】解：A，，∴不能构成三角形，不符合题意； B，∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C，∵，∴能构成三角形，符合题意； D，∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 3. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，观察四个选项，且结合三角形具有稳定性的性质进行作答即可． 【详解】解：依题意，三角形具有稳定性， 故选：A． 4. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键． 根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中和都扩大3倍， 即：， ∴分式的值不变． 故选：D． 5. 将一副三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键． 求出的度数，根据三角形的外角性质得到，代入即可． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 6. 根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录（2024版）》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法表示即可解答． 【详解】解：， 故， 故选：A． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定，由作图可得，，，再结合，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图可得，， ∵， ∴， ∴． ∴判定的依据是：三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 8. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故②错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到的周长，故④正确． 【详解】解：∵沿着直线折叠得到， ， 平分， ∴故①正确； ∵沿着直线折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿着折叠得到， ， ， ， ， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴的周长，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 计算：__________． 【答案】a5 【解析】 【分析】分析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：a2×a3=a2+3=a5． 故答案为： 【点睛】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键． 10. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 11. 六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【解析】 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴六边形的外角和是度． 12. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项并移项，得， 系数化为1，得：， 检验：当，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 13. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 14. 如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是______．（写出所有可能的情况．） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由平分，点在上，于点于点，根据角平分线的性质得，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：①∵平分，点在上，于点于点， ，故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， ，故②符合题意； 在和中， ， ， ，故③符合题意， 故答案为：①②③． 15. 如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【详解】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 16. 由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、二次降价均为．记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，方案③的产品价格为．若，，则______（填“”“”或“”）；若，均为正数，则，，的大小关系是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查代数式表示式，整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出，，表达式．记产品原价为，根据题意分别表示出，即可比较，的大小，再同样表示出，结合整式的混合运算，完全平方公式的运用，作差法比较大小，即可解题． 【详解】解：记产品原价为， 若，， 则， ， ， 若，均为正数， 则， ， ， ， 又，均为正数， ， ， 故答案为：，． 三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则进行计算，即可解题． 【详解】解： ． 18. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． 根据得到，结合，，，得到，即可得到证明． 【详解】证明：， ． 在和中， ． ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 13 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是根据已知条件得到． 通过展开代数式并利用已知条件整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 代数式 ， ∵， ∴ 原式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握分式的加法运算法则． 利用异分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 21. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 【答案】（1）画图见详解，点，，的坐标分别为，， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，利用轴对称求最短距离问题，熟练掌握利用轴对称的性质作图与求最短距离是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再首尾顺次连接即可，然后根据所作图形可得，，三个点坐标； （2）作出点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即是点D的位置，此时，最小，即可得到结论； 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，． 【小问2详解】 解：如图，点D即为所求． 22. 某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？ 【答案】原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来玉米的平均每亩产量是吨， 由种植玉米地的面积这块地的总产量÷平均每公顷产量，根据现在少种20亩列方程求解即可． 【详解】解：设原来玉米的平均每亩产量是吨， 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是吨． 23. 如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． （1）根据题意补全图形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）由轴对称的性质可得，，，，，从而得出，证明，得出，再证明，即可得证． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： （1）如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； （2）求分式的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 25. 已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． （1）如图，若点在上，，则______； （2）如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 【答案】（1）； （2），见解析 【解析】 【分析】（）延长，交于点，证明得，，再根据，，得，进而得，由此可得的度数； （）当时，使得对于任意的点总有，延长到，使，连接，，先证明，得，，再证明，进而证明，则，进而得，则，据此可得； 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，多边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：延长，交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，使得对于任意的点总有，证明如下： 延长到，使，连接，，如图所示， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在五边形中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，对于点与直线给出如下定义：若点关于直线的对称点到轴的距离不超过1，则称点存在关于直线的近距对称点．（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0．） （1）在点，，中，存在关于轴的近距对称点的是______； （2）如图，点A在轴正半轴上，点在第一象限，，若点存在关于直线的近距对称点，直接写出的取值范围； （3）已知直线与轴交于A，与轴正半轴交于点，若经过点与点的直线上任意一点，都存在关于直线的近距对称点，直接写出的度数及点到直线的距离的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或； 【解析】 【分析】（1）求出、、关于y轴的对称点，判断其与y轴的距离，进而得出结果． （2）作点P关于直线的对称点为Q，连接，作于D点，则可得，从而得出，根据即可求出t的范围． （3）由题意得，直线关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且到y轴的距离小于等于1．分A点在x轴的负半轴上和A点在x轴的正半轴上两种情况讨论．当A点在x轴的负半轴上根据轴对称的性质以及三角形内角和定理可求得． 当直线l经过直线与直线的交点C时，B点与直线的距离最大为1.由此可得d的范围．同理可求得A点在x轴的正半轴上时的度数和d的范围． 【小问1详解】 解：∵点，，关于轴的对称点分别是，，，它们到y轴的距离分别是，，， ∴点、是关于轴的近距对称点，点不是关于轴的近距对称点． 故答案为：， 【小问2详解】 解：作点P关于直线的对称点为Q，连接，作于D点， 则，， ∴， ， ， ∵点存在关于直线的近距对称点， ∴， 解得． 【小问3详解】 由题意得，直线关于直线l的对称直线m须与y轴平行，且到y轴的距离小于等于1． ①如图，A点在x轴负半轴上时， 设直线与l的交点为D点， ∵， ∴， ， ， ， ． 当直线l经过直线与直线的交点C时，B点与直线的距离最大， ∵直线与直线关于直线对称， ∴到直线OC的距离等于到直线的距离，即， ； ②如图，A点在x轴正半轴上时， 设直线与l的交点为D点， ∵， ∴， ， ， ， ． 当直线l经过直线与直线的交点H时，B点与直线的距离最大， ∵直线与直线关于直线对称， ∴到直线的距离等于到直线的距离，即， ； 综上，的度数为或，且． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质以及三角形内角和定理，分类讨论解答此题的关键． 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